2024届新教材二轮复习 空间向量与立体几何 作业

单元疑难突破练(一)(60分钟100分)一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成为空间一组基底的关系是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))【解析】选C.对于选项A，由结论eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，即eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；对于B，D选项，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故只有选项C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面．2．(2023·宁波高二检测)已知空间向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，n，2))，b＝(－2，1，2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．eq\f(3\r(5),2)B．eq\f(5\r(3),2)C．eq\f(\r(37),2)D．eq\f(\r(21),2)【解析】选A.由空间向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，若2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即2a·b＝b2，即2n＋4＝9，即n＝eq\f(5,2)，即a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)，2))即|a|＝eq\r(1＋\f(25,4)＋4)＝eq\f(3\r(5),2).3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且eq\o(BP,\s\up6(→))⊥平面ABC，则eq\o(BP,\s\up6(→))等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，\f(15,7)，－3)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，－\f(15,7)，－3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，\f(15,7)，－3))【解析】选B.由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0得3＋5－2z＝0，所以z＝4.又因为eq\o(BP,\s\up6(→))⊥平面ABC，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－3＋y－12＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)．))所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3)).4．已知A(1，2，1)，B(－1，3，4)，C(1，1，1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则|eq\o(PC,\s\up6(→))|为()A．eq\f(\r(77),3)B．eq\r(5)C．eq\f(\r(77),9)D．eq\f(77,9)【解析】选A.设P(x，y，z)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))得(x－1，y－2，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，所以x＝－eq\f(1,3)，y＝eq\f(8,3)，z＝3，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(8,3)，3))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(5,3)，－2))，所以|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(77),3).5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是所在棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是()A.30°B．45°C．60°D．90°【解析】选B.以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B1(1，1，0)，D1(0，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，设平面B1D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则，可取n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，又＝(0，1，－1)，设AB1与平面B1D1EF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝eq\f(\r(2),2)，故AB1与平面B1D1EF所成的角为45°.6．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5)D．eq\f(2\r(6),5)【解析】选B.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6，3，0)、F(3，6，0)时，A1，E，F，C1共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得可取n1＝(－1，2，1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1，1)，故平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,2).二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正确的是()A．①B．②C．③D．④【解析】选ABC.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确．又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，所以eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则C正确．由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3，4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故D错误．8．如图，已知在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，下列结论中正确的是()A.C1D1∥平面CHDB．AC1⊥平面BDA1C．三棱锥D­BA1C1的体积为eq\f(5,6)D．直线EF与BC1所成的角为30°【解析】选ABD.由题意，C1D1∥CD，C1D1⊄平面CHD，CD⊂平面CHD，所以D1C1∥平面CHD，所以A正确；建立空间直角坐标系，如图所示；由AB＝1，则＝(－1，1，1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，＝(1，0，1)；所以·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1－1＋0＝0，·＝－1＋0＋1＝0，所以⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，⊥DA1，所以⊥平面BDA1，所以B正确；三棱锥D-BA1C1的体积为V三棱锥D-BA1C1＝V正方体ABCD­A1B1C1D1－4V三棱锥A1­ABD＝1－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)，所以C错误；Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)，\f(1,2)))，＝(－1，0，1)，所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·BC1,|\o(EF,\s\up6(→))|·|BC1|)＝eq\f(1＋0＋\f(1,2),\r(\f(3,2))×\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))与所成的角是30°，所以D正确．三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确的答案填在题中的横线上．9．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝________．【解析】eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－b＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)(a＋c－2b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c10．已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．【解析】因为cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(\r(2),2)，〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)11．如图，已知二面角α­l­β的平面角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ.所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－2cosθ)，即AD的长为eq\r(3－2cosθ).答案：eq\r(3－2cosθ)12．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AD＝CD＝PD＝2，AB＝1，E，F分别为棱PC，PB上一点，若BE与平面PCD所成角的正切值为2，则(AF＋EF)2的最小值为________．【解析】取CD的中点H，连接BH，EH.依题意可得，BH⊥CD.因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BH，从而BH⊥平面PCD，所以BE与平面PCD所成角为∠BEH，且tan∠BEH＝eq\f(BH,EH)＝eq\f(2,EH)＝2，则EH＝1，则E为PC的中点．在Rt△PAB中，cos∠APB＝eq\f(AP,PB)＝eq\f(2\r(2),3).因为PB＝3，PC＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(5)，所以cos∠BPC＝eq\f(\r(2),2)，所以∠BPC＝eq\f(π,4).将△PBC翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中cos∠APC＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠APB＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)－\f(1,3)))＝eq\f(4－\r(2),6)，当F为AE与PB的交点时，AF＋EF取得最小值，此时，(AF＋EF)2＝AE2＝(2eq\r(2))2＋(eq\r(2))2－2×2eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(4－\r(2),6)＝eq\f(14＋4\r(2),3).答案：eq\f(14＋4\r(2),3)13．如图，已知三棱锥A­BCD的所有棱长均相等，点E满足eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EB,\s\up6(→))，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为____________．【解析】设棱长为4a，PB＝x(0＜x≤4a)，则PE＝eq\r(x2＋a2－ax).正四面体的高为eq\f(4\r(6),3)a，设P到平面BCD的距离为h，则eq\f(h,\f(4\r(6),3)a)＝eq\f(x,4a)，所以h＝eq\f(\r(6),3)x，所以sinθ＝eq\f(\f(\r(6),3)x,\r(x2＋a2－ax))＝eq\f(\f(\r(6),3),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)))，所以x＝2a时，sinθ的最大值为eq\f(2\r(2),3).答案：eq\f(2\r(2),3)14．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，O为坐标原点，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).则|2a＋b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)【解析】2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋（－5）2＋52)＝5eq\r(2).又eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，由eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq\o(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此，此时点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).答案：5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．15．(10分)已知空间中三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c；(2)已知向量ka＋b与b互相垂直，求k的值；(3)求△ABC的面积．【解析】因为空间中三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，0，－4)－(1，－1，－2)＝(2，1，－2)，因为|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(2，1，－2)＝(2m，m，－2m)，所以|c|＝eq\r(（2m）2＋m2＋（－2m）2)＝3|m|＝3，所以m＝±1，所以c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2).(2)由题得a＝(－1，－1，0)，b＝(1，0，－2)，所以ka＋b＝k(－1，－1，0)＋(1，0，－2)＝(1－k，－k，－2)，因为向量ka＋b与b互相垂直，所以(ka＋b)·b＝1－k＋4＝0，解得k＝5.所以k的值是5.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，1，－2)，cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(1,\r(10))，sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\f(1,10))＝eq\f(3,\r(10))，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×|eq\o(AB,\s\up6(→))|×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(5)×eq\f(3,\r(10))＝eq\f(3,2).16．(10分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝eq\f(π,2)，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．【解析】(1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1.因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2).所以cos〈，〉＝＝eq\f(0＋0＋4,2\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(1,2)，由于θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故θ＝eq\f(π,3).17．(10分)如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求二