2024届五年高考数学（文课）真题分类训练：专题六 数列

第1页专题六数列考点15等差数列题组一、选择题1.[2023全国卷甲，5分]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a6=A.25 B.22 C.20 D.15[解析]解法一由a2+a6=10，可得2a4=10，所以a4=5，又a4a8=45，所以a8=9.设等差数列解法二设等差数列{an}的公差为d，则由a2+a6=10，可得a1+3d=5①，由a4a82.[2021北京，4分]已知{an}和{bn}是两个等差数列，且akbk1≤k≤5A.64 B.100 C.128 D.132[解析]因为{an}和{bn}是两个等差数列,所以2a3=a1+a5=288+96=3843.[2020浙江，4分]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0，且a1d≤1.记bA.2a4=a2+a6 B.[解析]由bn+1=S2n+2-S2n，得b2=a3+a4=2a1+5d，b4=a7+a8=2a1+13d，b6=a11+a12,b84.[2020北京，4分]在等差数列{an}中，a1=-9,a5=-1A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项[解析]设等差数列{an}的公差为d，∵a1=-9，a5=-1,∴a5=-9+4d=-1,∴d=2,∴an=-9+n-1×2=2n-11.令an=2n-11≤0,则n≤5.5,∴n≤5时,a5.[2019全国卷Ⅰ，5分]记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0A.an=2n-5 B.an=[解析]解法一设等差数列{an}的公差为d，∵S4=0,a5=5解法二设等差数列{an}的公差为d，∵S4=0,a5=5,∴4a1+4×32d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d=【方法技巧】等差数列基本运算的常见类型及解题策略（1）求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想.（2）求通项.a1和d是等差数列的两个基本元素（3）求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.（4）求前n项和.利用等差数列的前n项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解.二、填空题6.[2022全国卷乙，5分]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3[解析]因为2S3=3S2+6,所以27.[2020全国卷Ⅱ，5分]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,[解析]解法一设等差数列{an}的公差为d，则由a2+a6=2，得a1+解法二设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a6=2a48.[2020新高考卷Ⅰ，5分]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an[解析]设bn=2n-1,cn=3n-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,得n=3m-12=3m-3+29.[2019全国卷Ⅲ，5分]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,[解析]解法一设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得a1+2d=5解法二由题意，得公差d=14a7-a3【方法技巧】在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间无明显联系，则均可以化成关于a110.[2019全国卷Ⅲ，5分]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,[解析]设等差数列{an}的公差为d,由a2=3a1，即a11.[2019北京，5分]设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,[解析]设等差数列{an}的公差为d，∵a2=-3,S5=-10,即a1+d=-3,5a1三、解答题12.[2023全国卷乙，12分]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知（1）求{an[答案]设{an}的公差为d解得a1=13,所以{an}的通项公式为（2）求数列{an}的前n[答案]由（1）得∣a当n≤7时，T当n≥8时，T综上,Tn13.[2022新高考卷Ⅰ，10分]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1,（1）求{an[答案]因为a1=1，所以又{Snan}所以Sna所以Sn=因为当n≥2时，a所以n+13an所以a2a所以an=nn+所以an=（2）证明：1a[答案]因为an=nn+所以1a114.[2021全国卷甲，12分]记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0,a2=3[答案]由题意可知，数列{Sn}的首项为a1，设等差数列{S则d=S所以Sn=即Sn=所以an即an=所以an+1-an=2a1，所以数列15.[2021新高考卷Ⅱ，10分]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若（1）求数列{an[答案]设等差数列{an}的公差为则由题意，得a1+2d=所以an=（2）求使Sn>an成立的[答案]Sn=则由n2-5n>2n-6，整理得n2因为n∈N*，所以使Sn>a16.[2019全国卷Ⅰ，12分]记Sn为等差数列{an}的前n项和（1）若a3=4，求[答案]设{an}的公差为由S9=-a5得a1+4d=0于是a1=8,因此{an}的通项公式为（2）若a1>0,求使得Sn≥a[答案]由（1）得a1=-4d,故an=由a1>0知d<0,故Sn≥an所以n的取值范围是{n|考点16等比数列题组一、选择题1.[2023天津，5分]已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，anA.3 B.18 C.54 D.152[解析]解法一因为an+1=2Sn+2，所以当n≥2时，an=2Sn-1+2，两式相减得an+1-an=2an，即an解法二设等比数列{an}的公比为q，因为an+1=2Sn+2，所以公比q≠1，且a1qn=2a2.[2023新高考卷Ⅱ，5分]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5,A.120 B.85 C.-85 D.-[解析]解法一设等比数列{an}的公比为qq≠0，由题意易知q≠1，则a11-q解法二易知S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6，……为等比数列，所以S4-S22=S2⋅S6-S4,解得S2=-1或S2=53.[2022全国卷乙，5分]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-aA.14 B.12 C.6 D.3[解析]解法一设等比数列{an}的公比为q，由题意可得a1+a2+a3=168,a解法二设等比数列{an}的公比为q,易知q≠1,由题意可得a11-q314.[2021全国卷甲，5分]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4，A.7 B.8 C.9 D.10[解析]解法一因为S2=4,S4=6，所以公比q≠1，所以由等比数列的前n项和公式，得S2=a11-q21解法二易知公比q≠±1，则S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列，由等比中项得S【方法技巧】设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…k∈N*构成等差数列;设Sn是等比数列5.[2020全国卷Ⅱ，5分]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3A.2n-1 B.2-21-[解析]解法一设等比数列{an}的公比为q，则由a5-a3=a1q4-a1q2解法二设等比数列{an}的公比为q,因为a6-a4a5-a【方法技巧】在选择题或填空题中考查等差数列或等比数列的基本性质时,通常有两种解决方法：（1）将已知条件中的等式转化为关于首项a1或公差d（公比q)的方程（组）进行求解；（26.[2020全国卷Ⅰ，5分]设{an}是等比数列，且a1+a2+A.12 B.24 C.30 D.32[解析]解法一设等比数列{an}的公比为q，所以a2+a3+a4a1+a解法二令bn=an+an+1+an+2n∈N*，则bn+1=an+1+an+2+an+37.[2019全国卷Ⅲ，5分]已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3A.16 B.8 C.4 D.2[解析]设数列{an}的公比为qq>0，由a5=3a3+4a1，得a1q4=3a1q2+4a1，得q4-3q2-4=0二、填空题8.[2023全国卷甲，5分]记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6=[解析]由8S6=7S3，可知数列{an}的公比q≠1,所以89.[2019全国卷Ⅰ，5分]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,[解析]解法一设等比数列{an}的公比为q，由a1=1及S3=34，易知q≠1.把a1=解法二设等比数列{an}的公比为q，因为S3=a1+a2+a3=a11解法三设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn=A1-qn（其中A为常数），则a三、解答题10.[2020全国卷Ⅲ，12分]设等比数列{an}满足a（1）求{an[答案]设{an}的公比为q，则由已知得a1+a1q=4,所以{an}的通项公式为（2）记Sn为数列{log3an}的前n项和.若[答案]由（1）知log3a故Sn=由Sm+Sm+1=Sm解得m=-1（舍去）或m11.[2020新高考卷Ⅰ，12分]已知公比大于1的等比数列{an}满足a（1）求{an[答案]设{an}的公比为q.由题设得a1q解得q=12（舍去）或q=2所以{an}的通项公式为（2）记bm为{an}在区间(0,m]m[答案]由题设及（1）知b1=0，且当2n≤所以S100=考点17递推数列与数列求和题组一一、选择题1.[2021北京，4分]数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+A.9 B.10 C.11 D.12[解析]因为数列{an}满足三个特征，整数数列，递增，前n项和为100，所以欲求n的最大值，需要保证ak+1-akk≤n-1的值取最小的正整数，又a1≥3，故可取a1=3，ak+1-ak=1，数列2.[2019浙江，4分]设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,A.当b=12时,a10>10 B.当C.当b=-2时,a10>10 D.当b[解析]解法一当b=12时,因为an+1=an2+12,所以a2≥12,又an+1=an2+12≥2an,故a9≥a2×27≥12×27=42,a10>a92解法二当b=12时，an+1=an2+12，则a2=a12+12=a2+1二、填空题3.[2021新高考卷Ⅰ，5分]某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×[解析]依题意得，S1=120×2当n=3时，共可以得到5dm×6dm，52dm×12dm,10当n=4时，共可以得到5dm×3dm，52dm×6dm,54dm×12dm,10……所以可归纳Sk=所以∑nk所以12×由①-②得，12×所以∑nk4.[2020全国卷Ⅰ，5分]数列{an}满足an+2+-1n[解析]因为数列{an}满足an+2+-1nan=3n-1，所以当n=2k(k∈N*)时，a2k+2解法一所以a1+a3+a5+a7+…+a15解法二所以a2k-1=a1+3k2+3k+1-10k【拓展结论】12三、解答题5.[2023新高考卷Ⅱ，12分]已知{an}为等差数列,bn=an-6,n为奇数,2an,n为偶数.（1）求{an}[答案]设等差数列{an}的公差为因为bn所以b1=a1-6，因为S4=32，所以4a解得a1=5,d=2,（2）证明:当n>5时，[答案]由（1）知an=所以Sn=n[当n为奇数时，Tn=-1+14+当n>5时，T所以Tn>当n为偶数时，Tn=当n>5时，T所以Tn>综上可知，当n>5时，T6.[2022全国卷甲，12分]记Sn为数列{an}的前n项和（1）证明:{an}[答案]由2Snn+n所以2Sn②-①，得2an化简得an+1-an=1（2）若a4,a7,a9成等比数列，求S[答案]由（1）知数列{an}由a72=a4解得a1=-所以Sn=-所以当n=12或13时，Sn取得最小值,最小值为7.[2021新高考卷Ⅰ，10分]已知数列{an}满足a（1）记bn=a2n,写出b1,b[答案]依题意有a2n+所以bn+又b1=所以{bn}是以2所以b2=5,（2）求{an}的前[答案]a2n+设cn=a2n-1，则{cn}故{an}的前20项和为8.[2020全国卷Ⅲ，12分]设数列{an}满足a（1）计算a2,a3,猜想{[答案]a2=5,猜想an=2nan+an-…a2-因为a1=所以an=（2）求数列{2nan}的前[答案]由（1）得2nanSn=3从而2Sn=①-②得-Sn所以Sn=9.[2019全国卷Ⅱ，12分]已知数列{an}和{bn}满足a1（1）证明:{an+bn}[答案]由题设得4an即an+因为a1+b1=1,所以{an由题设得4an+1-b因为a1-所以{an-bn}（2）求{an}和{[答案]由（1）知,an+bn=所以an=bn=【易错点拨】在利用等差（比）数列的定义时，既需注意是从第二项起，又需注意是后项与前项的差（比），在运用等比数列的通项公式时，注意不要与等比数列的前n项和公式搞混．10.[2019天津，13分]设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知（Ⅰ）求{an}和{[答案]设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意,得3q=3+2d,所以{an}的通项公式为an=3n,（Ⅱ）设数列{cn}满足cn[答案]a1c记Tn=1则3Tn=②-①得,2Tn所以,a1c题组二一、选择题1.[2022浙江，4分]已知数列{an}满足a1=1，A.2<100a100<52 B.5[解析]因为a1=1,an+1=an-13an2=-13an-322+34≤34,所以an≤34n≥2，易知an≠0，所以有an+1an=1-13an≥34>0n≥2，所以可得an>0(2.[2021浙江，4分]已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1+A.32<S100<3 B.3<[解析]因为a1=1,an+1=an1+an，所以an>0，a2=12,所以S100>32.1an+1=1+anan=1an+1an=1an+122-14.【方法技巧】利用放缩法，结合累加法与累乘法求得an≤61n+1-二、解答题3.[2023新高考卷Ⅰ，12分]设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=n2+nan,记Sn（1）若3a2=3a1+[答案]因为3a2=3a所以3d=a1+2d所以an=因为bn=n2+n所以S3=3a1因为S3+所以6d+9d=21，解得d因为d>1，所以d所以{an}的通项公式为（2）若{bn}为等差数列，且S99[答案]因为bn=n2+所以2b2=b1所以6a1+d-解得a1=d或①当a1=d时，an=S99=T99=因为S99-所以99×50d即50d2解得d=5150或d②当a1=2d时，an=S99=T99=因为S99-所以99×51d即51d2解得d=-5051（舍去）或d综上，d=514.[2022天津，15分]已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn,{（Ⅰ）求{an}，[答案]设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a1=b1=所以an=2n-1（Ⅱ）证明：Sn+[答案]解法一因为Sn为数列{an}的前n则Sn+Sn+所以Sn+解法二因为Sn为数列{an}的前nSn+所以Sn+（Ⅲ）求∑2n[答案]令cn=[当n为奇数时，cn=当n为偶数时，cn=则∑2nk令Tn=则4Tn所以-3T所以Tn=令An=所以∑2nk5.[2021全国卷乙，12分]设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn=na（1）求{an}和[答案]设{an}的公比为q，则因为a1,3a2,9a3成等差数列，所以1+9q2=2（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}[答案]由（1）知Sn=1-13n1-13=32即23T整理得Tn=则2Tn-Sn6.[2021天津，15分]已知{an}是公差为2的等差数列,其前8项和为64,{bn}是公比大于0（Ⅰ）求{an}和{[答案]因为数列{an}是公差为2的等差数列,且前8项和为64,所以8a1+所以an=设等比数列{bn}的公比为qq>0,因为b1=4,b3-b2=48,所以（Ⅱ）记cn=b（i）证明{cn2[答案]因为cn=所以cn2所以cn+所以{cn2（ii）证明∑n[答案]ana令tn=n2n(n∈N*两式相减,得12∑所以∑nk所以∑nk即∑nk7.[2020浙江，15分]已知数列{an},{bn},{cn}满足a1（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比q>0,且b1+b[答案]由b1+b2=解得q=1由cn+1=4由an+1-a（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差d>0，证明：[答案]由cn+1=b所以c1+由b1=1,d>0得bn+18.[2020天津，15分]已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，（Ⅰ）求{an}和[答案]设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1=1，a5=5a4-a3,可得d=1,从而{an}的通项公式为an=n（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn[答案]由（Ⅰ）可得Sn=nn+12,故SnSn+2（Ⅲ）对任意的正整数n，设cn=3an-2bn[答案]当n为奇数时，cn=当n为偶数时，cn=对任意的正整数n,有∑nk∑nk=由①得14∑n由①②得34∑从而得∑nk因此，∑2nk所以，数列{cn}的前2n项和为【方法技巧】一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an⋅bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法求和，一般等式两边同乘以等比数列{bn}的公比q考点18数列的综合应用题组一、填空题1.[2022北京，5分]已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足①{an}的第2②{an}③{an④{an}中存在小于1其中所有正确结论的序号是①③④.[解析]因为an⋅Sn=9，所以a1⋅S1=9，又an>当n≥2时，由Sn=9an，得Sn-1=9an-1，两式作差可得an=9an-9an-1n≥2，即an=9an-1-ananan-1n≥2，整理得anan-1=9-a2.[2020江苏，5分]设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}[解析]由题意可得S1=a1+b1=1，当n≥2时，an+bn=Sn-S【速解】由等差数列和等比数列的前n项和的特征可得等差数列{an}的前n项和Hn=n2-n，等比数列{bn}的前n【方法技巧】公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn,其中A=d2,B=a1-d2;公比为q二、解答题3.[2023天津，15分]已知数列{an}是等差数列，a2（1）求{an}[答案]设{an}的公差为由a2+a5=16,所以{an}的通项公式为a2n-1=2⋅2n-1+从a2n-1到a2n-1所以i=2n-12（2）已知{bn}为等比数列，对于任意k∈N*（i）当k≥2时，求证:[答案]因为当2k-1≤n所以当2k≤n+1可得an<因为{an}为递增数列，所以若2k-1≤n≤2同理可得2k+故可得2k+1所以2k-综上，当k≥2时，2（ii）求{bn}的通项公式及其前n[答案]由题意知{bn}是q≠1的正项等比数列，（若q=1,设{bn}的通项公式为bn=p⋅qn(p由i知,2n-1<b则有1-1①当q2>1，即∃n0∈N*，使得p②当0<q2<1，q≠1∃n1∈N*，使得p⋅故q=2.（思路引导：从i的结论可以观察出bn=2n，通过反证法证明q>2和0因为2n-所以bn=设{bn}的前n项和为Sn4.[2022新高考卷Ⅱ，10分]已知{an}是等差数列，{bn}（1）证明：a1[答案]设等差数列{an}的公差为由a2-b2=a3-由a2-b2=b4-a4得a1+d-（2）求集合{k|bk=[答案]由（1）知an=a1+由bk=am+由a1=b1≠由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1000，所以k=2,3，4，…,10，共9个数，即集合{k|b5.[2022浙江，15分]已知等差数列{an}的首项a1=-1，公差d>1.记（Ⅰ）若S4-2a[答案]因为在等差数列{an}中，a1=-所以-4+整理得d2-3d=0，解得d所以Sn=即Sn=（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn,使an+cn,a[答案]易知an=-所以an+1=dn因为an+cn,an所以an+整理得cn2由题意知关于cn的二次方程有解,所以