2024届福建省福州八中数学高一上期末统考试题含解析

2024届福建省福州八中数学高一上期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．计算2sin2105°-1的结果等于（）A. B.C. D.2．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A.3米 B.4米C.6米 D.12米3．已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A. B.C. D.4．设集合，集合，则等于（）A(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]5．已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（）A.4 B.-4C. D.不确定6．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（）A.2 B.1C.-1 D.-27．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.8．下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.9．将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（）A. B.C. D.10．若且，则函数的图象一定过点（）A. B.C. D.11．方程的实数根所在的区间是（）A. B.C. D.12．若，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有的解的和为___________.14．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限15．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________.16．不等式对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）已知，，，求的最小值；（2）把角化成的形式.18．求下列函数的值域（1）（2）19．已知奇函数和偶函数满足（1）求和的解析式；（2）存在，，使得成立，求实数a的取值范围20．已知为第四象限角，且，求下列各式的值（1）；（2）21．已知集合，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.22．已知函数，其中m为常数，且（1）求m的值；（2）用定义法证明在R上是减函数

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】．选D2、A【解析】主要考查二次函数模型的应用解：设隔墙长度为，则矩形另一边长为=12－2，矩形面积为=（12－2）=，0<<6，所以=3时，矩形面积最大，故选A3、A【解析】由扇形的面积公式即可求解.【详解】解：设扇形圆心角的弧度数为，则扇形面积为，解得，因为，所以扇形的圆心角的弧度数为4.故选：A4、B【解析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.5、B【解析】利用三角函数的定义求得.【详解】依题意是第四象限角，所以，.故选：B6、D【解析】由奇函数定义得，从而求得，然后由计算【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，所以，而当时，，所以，所以当时，，故.由于为奇函数，故.故选：D.【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键7、D【解析】借助正方体模型还原几何体，进而求解表面积即可.【详解】解：如图，在边长为的正方体模型中，将三视图还原成直观图为三棱锥，其中，均为直角三角形，为等边三角形，，所以该几何体的表面积为故选：D8、B【解析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.【详解】函数、在区间上为减函数，函数在区间上为增函数，函数在区间上不单调.故选：B.9、B【解析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得.故选：B.10、C【解析】令求出定点的横坐标，即得解.【详解】解：令.当时，，所以函数的图象过点.故选：C.11、B【解析】令，因为，且函数在定义域内单调递增，故方程的解所在的区间是，故选B.12、B【解析】结合指数函数、对数函数的图象按和分类讨论【详解】对数函数定义域是，A错；C中指数函数图象，则，为减函数，C错；BD中都有，则，因此为增函数，只有B符合故选：B二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】根据给定条件，分析函数，函数的性质，再在同一坐标系内作出两个函数图象，结合图象计算作答.【详解】当时，，则函数在上单调递减，函数值从减到0，而是R上的偶函数，则函数在上单调递增，函数值从0增到，因，有，则函数的周期是2，且有，即图象关于直线对称，令，则函数在上递增，在上递减，值域为，且图象关于直线对称，在同一坐标系内作出函数和的图象，如图，观察图象得，函数和在上的图象有8个交点，且两两关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为.故答案为：【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.14、二【解析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号15、【解析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围【详解】由题意可知，的定义域为R，因为，所以为奇函数.因为，且在R上为减函数，所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.又，所以，所以，解得.故答案为：.16、【解析】根据给定条件将命题转化为关于x的一元二次不等式恒成立，再利用关于y的不等式恒成立即可计算作答.【详解】因为对于任意的x，y∈R恒成立，于是得关于x的一元二次不等式对于任意的x，y∈R恒成立，因此，对于任意的y∈R恒成立，故有，解得，所以实数k的取值范围为.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）利用基本不等式可求得的最小值；（2）将角度化为弧度，再将弧度化为的形式即可.【详解】解：（1）因为，，，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为；（2），.18、（1）（2）【解析】(1)由，可得，从而得出值域；(2)令将原函数转化为关于的二次函数，再求值域即可.【详解】（1）值域为（2）设当时y取最小值当时y取最大值所以其值域为【点睛】本题主要考查的是三角函数最值，主要用型和换元后转换成二次函数求最值，考查学生的分析问题，解决问题的能力，是基础题.19、（1），（2）【解析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出的最值，进而求出实数a的取值范围.【小问1详解】因为奇函数和偶函数满足①，所以②；联立①②得：，；【小问2详解】变形为，因为，所以，所以，当时，在上有解，符合要求；令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，要想上有解，只需，解得：，所以；若且，在上单调递增，要想上有解，只需，解得：，所以；综上：实数a的取值范围为20、（1）（2）【解析】（1）先根据同角三角函数的关系求解可得，再根据同角三角函数的关系化简即可（2）先根据，再根据求解即可【小问1详解】∵是第四象限角，∴，，又∵，∴，故∴（负值舍去），，∴故【小问2详解】∵，∴21、（1）；（2）【解析】（1）可利用数轴求两个集合的交集；（2）根据子集关系列出不等式组，解不等式组即可【详解】（1）（2）因为，所以当时，有，解得，所以实数的取值范围是【点睛】解决集合问题应注意的问题：①认清元素的属性：解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件；②注意元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很