人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.1 任意角和弧度制-重难点题型精讲（含解析）

专题5.1任意角和弧度制-重难点题型精讲1．任意角(1)角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的表示如图：

①始边：射线的起始位置OA；

②终边：射线的终止位置OB；

③顶点：射线的端点O；

④记法：图中的角可记为“角SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”或“AOB”.(3)角的表示在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.(4)角的相等设角SKIPIF1<0由射线OA绕端点O旋转而成，角SKIPIF1<0由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(5)角的加、减法①角的加法

设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是任意两个角.我们规定，把角SKIPIF1<0的终边旋转角SKIPIF1<0，这时终边所对应的角是SKIPIF1<0+SKIPIF1<0.

②相反角的概念

我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角SKIPIF1<0的相反角记为-SKIPIF1<0.

③角的减法

像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(-SKIPIF1<0).这样，角的减法可以转化为角的加法.2．象限角与终边相同的角(1)终边相同的角若角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0终边相同，则它们的关系为：将角SKIPIF1<0的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角SKIPIF1<0.

一般地，我们有：所有与角SKIPIF1<0终边相同的角，连同角SKIPIF1<0在内，可构成一个集合SKIPIF1<0，即任一与角SKIPIF1<0终边相同的角，都可以表示成角SKIPIF1<0与整数个周角的和.(2)象限角、轴线角①象限角、轴线角的概念在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.

②象限角的集合表示

③轴线角的集合表示

(3)区间角、区域角

区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如SKIPIF1<0.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.(4)角的终边的对称问题与垂直问题

角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的SKIPIF1<0.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.(2)弧度制的相关概念①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.(3)弧度数在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为SKIPIF1<0rad，那么SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0的正负由角SKIPIF1<0的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.4．角度与弧度的换算(1)弧度与角度的换算公式(2)特殊角的度数与弧度数的对应表(3)用弧度表示终边相同的角用弧度表示与角SKIPIF1<0终边相同的角的一般形式为SKIPIF1<0，这些角所组成的集合为SKIPIF1<0.5．弧长公式、扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)弧长公式由公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.(2)扇形面积公式SKIPIF1<0.(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示6．弧度制下角的终边的对称与垂直角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：【题型1终边相同的角的表示】【方法点拨】根据与角SKIPIF1<0终边相同的角的集合为SKIPIF1<0，进行求解即可．【例1】（2022·山东·高二阶段练习）下列与角2π3的终边一定相同的角是（

A．5π3 B．k·360∘C．2kπ+2π3(k∈Z) D．(2k+1)π+【解题思路】根据终边相同角的表示，即可得解.【解答过程】与角2π3终边相同角可以表示为{α|α=2π3+2kπ,k∈对A，由{α|α=2π3+2kπ,k∈Z}找不到整数k对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，C项正确，对D项，当k=0时，角为5π3，当k=−1时，角为−π3故选：C.【变式1-1】（2022·浙江高一期末）下列选项中与角α=−30°终边相同的角是（A．30∘ B．240∘ C．390【解题思路】写出与角α=−30∘终边相同的角的集合，取【解答过程】解：与角α=−30∘终边相同的角的集合为取k=1时，β=−30故选：D.【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）终边落在直线y=3x上的角α的集合为（A．αα=k⋅180°+30°,k∈ZC．αα=k⋅360°+30°,k∈Z D．【解题思路】先确定y=3x的倾斜角为【解答过程】易得y=3x的倾斜角为当终边在第一象限时，α=60°+k⋅360°，k∈Z；当终边在第三象限时，α=240°+k⋅360°，k∈Z．所以角α的集合为αα=k⋅180°+60°,k∈故选：B.【变式1-3】（2022·全国·高一课时练习）如果角α与角x＋45°具有相同的终边，角β与角x－45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（

）A．α+β=0° B．α−β=90°C．α+β=k⋅360°k∈Z D．【解题思路】先根据终边相同的角分别表达出α,β，再分析α+β，α−β即可.【解答过程】利用终边相同的角的关系，得α=n⋅360°+x+45°n∈Z，β=m⋅360°+x−45°则α+β=m+n⋅360°+2xn∈Z,m∈Z又α−β=n−m因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用kk∈Z所以α−β=k⋅360°+90°k∈Z故选：D．【题型2象限角的判定】【方法点拨】判断角SKIPIF1<0是第几象限角的常用方法为将SKIPIF1<0写成SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范围内）的形式，观察角SKIPIF1<0的终边所在的象限即可.【例2】（2021·福建省高三开学考试）已知点α=130°，则角α的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据象限角概念求解即可.【解答过程】因为90°<130°<180故选：B.【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定不是负角B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．钝角的终边在第二象限【解题思路】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.【解答过程】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．故选：D．【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若k⋅360°<α<k⋅360°+180°k∈Z，则αC．钝角一定是第二象限角D．三角形的内角是第一或第二象限角【解题思路】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.【解答过程】对A选项，如−210°<30°，故A错误.对B选项，α为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误.对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误.故选:C.【变式2-3】（2022·全国·高一课时练习）设α是第三象限角，且sinα2=−sinαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】由α是第三象限角，求出α2所在的象限，再由sin【解答过程】因为α是第三象限角，所以π+2kπ<α<所以π2+kπ<α又sinα2=−sinα故选：D．【题型3角度与弧度的换算】【方法点拨】根据角度与弧度的换算公式进行换算，再进行求解即可.【例3】（2022·安徽省高一开学考试）315°角的弧度数为（

）A．3π4 B．7π4 C．−【解题思路】利用公式可求315°角的弧度数.【解答过程】315°角对应的弧度数为315180故选：B.【变式3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（

）A．－150°化成弧度是−7π6radC．67°30'化成弧度是3π8【解题思路】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.【解答过程】对于A，−150°=−150×π对于B，−10π对于C，67°30对于D，π12故选：A.【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）210°化成弧度是（

）A．5π6 B．7π6 C．5π【解题思路】直接根据角度制与弧度制的互化即可得解.【解答过程】解：210°=210×π故选：B.【变式3-3】（2021·四川成都·高一期末）75°用弧度制表示为（

）A．π75 B．π3 C．5π【解题思路】直接利用角度与弧度间的互化公式求解即可【解答过程】75°=75×π故选：C.【题型4角的终边的对称问题与垂直问题】【方法点拨】根据角SKIPIF1<0终边的位置关系，进行求解即可.【例4】（2022·全国·高一课时练习）若α=k⋅360°+θ，β=m⋅360°−θk,m∈Z，则角α与角β的终边一定（

A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【解题思路】根据角θ与角−θ的终边关于x轴对称即可得解.【解答过程】解：因为角θ与角−θ的终边关于x轴对称，所以角α与角β的终边一定也关于x轴对称．故选：C.【变式4-1】（2020·河南洛阳·高一期中）若α=2kπ+θ,β=2k+1π−θ,其中k∈Z,则角αA．关于原点对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于y=x对称【解题思路】根据角度的终边周期性分析即可.【解答过程】根据角度的性质有α=2kπ+θ与θ的终边相同,β=2k+1π−θ与π−θ的终边相同,且θ故角α与β的终边关于y轴对称.故选：C.【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z）【解题思路】根据终边关系直接可得.【解答过程】∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°+k•360°（k∈Z）．故选：D．【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）若2π<α<4π，且角α的终边与角−7π6的终边垂直，则α=A．7π3 B．10π3 C．4π【解题思路】先得到角−7π6的终边相同的角的集合为B=β|β=56π+2kπ,k∈Z,因为角α的终边与角−7π6的终边垂直,所以角α的终边相同的角的集合为【解答过程】由题,设角−7πB=β|β=−因为角α的终边与角−7π则α=β+π2所以角α的终边相同的角的集合为A=α|α=43因为2π<α<4π,所以当k=1时,α=10π3或故选：D.【题型5弧长公式与扇形面积公式的应用】【方法点拨】结合具体条件，利用弧长公式与扇形面积公式进行转化求解即可.【例5】（2023·广东·高三学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．12 B．23 C．【解题思路】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．【解答过程】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则αr=3,12α故选：C．【变式5-1】（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB的周长为（

）A．32 B．24 C．62 D．【解题思路】根据扇形面积和弧长公式即可求解.【解答过程】圆心角α=2，扇形面积S即8=12×2×所以弧长l=故扇形AOB的周长L=故选：D.【变式5-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（

）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6【解题思路】根据弧长之比得到半径之比，从而求出小扇形的半径，再根据弧长公式计算可得.【解答过程】解：如图，依题意可得弧AB的长为60cm，弧CD的长为20则OAOC=60因为AC=16cm，所以OC=8所以该扇形的中心角的弧度数α=20故选：B.【变式5-3】（2022·广东·高二期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA=OB=r，弧AB的长为l(l<r).为了方便观光，欲在A,B两点之间修建一条笔直的走廊AB.若当0<x<12时，sinx≈x−x36，扇形OAB的面积记为A．2l−C．1l−【解题思路】由题可得AB=2rsinl2r【解答过程】设扇形OAB的圆心角为α，则α=l在△OAB中，AB=2rsin又S=1∴ABS=2r∴ABS故选：B.【题型6与弧度有关的实际应用问题】【方法点拨】先读懂题意，明确题干的叙述，然后将所求问题转化为弧度的问题，如角度的表示、弧度制下的弧长及扇形面积等，最后回归到实际问题，得到答案.【例6】（2022·湖南·高一课时练习）时钟的分针长6cm，从10:30到10:55，求：(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形的面积；(3)分针尖端所走过的弧长．【解题思路】（1）根据每5钟分针转30°（2）根据扇形的面积公式进行求解即可；（3）根据弧长公式进行求解即可.【解答过程】(1)因为从10:30到10:55，所以一共走了25分钟，而每5钟分针转30°所以分针转过的角为(25÷5)×30°=又因为分针转过的角度为负数，所以分针转过的角的弧度数为−5π(2)因为分针长6cm，所以分针尖端所走过的弧长为：5π6因此分针扫过的扇形的面积为：12(3)因为分针长6cm，所以分针尖端所走过的弧长为：−5π【变式6-1】（2022·湖