辽宁省2023年高中学业水平合格性考试数学试卷真题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年7月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学试卷本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分100分，考试时间90分钟第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的虚部是A． B． C． D．2．已知集合，，则＝（

）A． B． C． D．3．若“，”是真命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．函数（，且）的图象一定过点（

）A． B． C． D．6．已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为3，则球的体积为（

）A． B． C． D．7．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（

）时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（

）A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.178．函数零点的个数为A． B． C． D．9．的值是（

）A． B． C． D．10．2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件：小明选大寨村，事件：小明选荆竹村，事件：小明选绿江村．已知，，则＝（

）A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.911．在中，若，则最大角为（

）A． B． C． D．12．已知函数与的图象关于对称，则的值域为（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共64分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程）13．在中，点为边的中点，若，则实数的值为.14．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是．15．已知，则的最小值为．16．已知关于的方程有两个不相等的实数根，并且两根之积等于两根之和，则实数的值为．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．向量，如图所示，求：(1)；(2)．18．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求：(1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；(2)该选手至多进入第二轮考核的概率．19．《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.如图所示，是长方体.(1)求证：三棱锥为鳖臑；(2)若，，，求三棱锥的表面积.20．已知函数．(1)求的图象的对称中心和对称轴；(2)写出的单调递增区间；(3)当时，求的最值．21．已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求：(1)时，的解析式；(2)不等式的解集．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】利用复数的除法运算，将分子分母同乘以分母的共轭复数，化简为复数的标准形式a+bi(a,b∈R)，b即为虚部.【详解】，所以复数的虚部是．2．D【分析】解分式不等式与二次不等式化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为集合，，所以，则．故选：D．3．B【分析】利用全称命题或特称命题的相关性真假求解参数【详解】由题意，，恒成立，因为，所以，所以．故选：B．4．A【分析】选项A由平行的传递性可得；BCD由长方体中的线面、面面位置关系举反例可知.【详解】选项A，若，，则由平行的传递性可知，，故A正确；选项B，若，，则或都有可能，如图，长方体中（以下同），设直线为，直线为，底面为，满足，，但，与不平行，故B错误；选项C，若，，则与不一定垂直，如图，设上底面为，下底面为，平面为，满足，，但，与不垂直，故C错误；选项D，若，，则或或与相交都有可能，如图，设直线为，直线为，设上底面为，满足，，但，与不平行，故D错误．故选：A.5．C【分析】根据对数函数所过定点，令即可求解.【详解】因为对数函数（，且）的图象过定点，所以令，解得，此时，即的图象过定点．故选：C．6．C【分析】根据正方体的体对角线求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】由正方体的对角线为其外接球的直径可得，，解得，所以外接球的体积．故选：C．7．B【分析】根据周期求得，进而求得正确答案.【详解】由表中数据知，，即，解得，所以，当时，．故选：B8．B【详解】在同一直角坐标系下，做出函数和的图象，如图所示.函数的零点等价于的根等价于函数和的交点.由图可知，有一个交点，所以有一个零点.故选B.9．D【分析】利用正切的和角公式，计算即可.【详解】．故选：D10．C【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式即可得解.【详解】由题意，得事件，，为互斥事件，所以，则.故选：C．11．B【分析】由正弦定理得到，从而确定最大角，利用余弦定理即可求.【详解】由正弦定理，得，设，，，，因为，所以，所以，因为，所以，即这个三角形的最大角是．故选：B12．D【分析】根据对称性可知，利用二次函数及对数函数单调性即可求得值域为.【详解】因为与的图象关于对称，所以与互为反函数，即可得．因为，所以，因为，所以在上单调递减，即可得，即的值域为．故选：D．13．2【分析】利用向量的加减运算化简即可求解.【详解】因为，，所以，所以，即.故答案为：214．31【分析】先排序，再计算，然后可得.【详解】把这8个数据按从小到大的顺序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，计算8×25%＝2，所以这8人年龄的25%分位数是．故答案为：3115．4【分析】利用基本不等式即可求出答案.【详解】因为，且，所以，当且仅当时，取等号．故答案为：4.16．【分析】利用根与系数关系列方程，从而求得的值.【详解】设关于的方程的两根为，，所以，．因为两根之积等于两根之和，所以，即，解得或，因为，解得，所以．故答案为：17．(1)(2)16【分析】（1）先根据题图求得，，再根据向量数量积的坐标公式，模长公式以及夹角公式即可求解；（2）结合（1）得到，，再根据数量积的坐标表示求解．【详解】（1）由题图知，，，所以，，，所以．（2）结合（1）可得，，所以．18．(1)(2)【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得.（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得.【详解】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则事件，，相互独立，且，，.因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰，所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为.（2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥.所以该选手至多进入第二轮考核的概率为.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据长方体的性质得，，从而，为直角三角形，再根据线面垂直的判定定理得，从而，为直角三角形，根据鳖臑定义得证；（2）结合直角三角形面积公式，利用三棱锥表面积公式直接计算即可.【详解】（1）因为是长方体，所以，所以，，，所以，为直角三角形.因为为长方形，所以．因为，，，所以，所以，所以，为直角三角形，所以三棱锥为鳖臑.（2）因为四边形为长方形，，，所以.因为，，，为直角三角形，所以，所以三棱锥的表面积.20．(1)对称中心为，对称轴方程为(2)(3)最小值为，最大值为2【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用正弦函数的性质求对称中心及对称轴.（2）根据，再利用正弦函数的性质解决单调递增区间.（3）根据正弦函数性质即可求得最大最小值.【详解】（1）由题意，得函数．令，解得，所以函数的对称中心为．令，解得，所以函数的