2023届高考数学特训营 第五单元 平面向量与复数

第五单元平面向量与复数

第1节平面向量的概念及线性运算

目标任务

课程标准解读命题方向数学素养

1.理解平面向量的意义与两个向量相等的含义1.平面向量的有

及向量的几何表示和基本要素.关概念

数学抽象

2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何2.平面向量的线

直观想象

意义.性运算

数学运算

3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两

3.共线向量定理逻辑推理

个向量共线的含义.

的应用

4.了解向量线性运算的性质及其几何意义

即屈医圈01.........＞知识必记课前预案

知识I必记〕夯基础构体系

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小，又有________的量；

向量向量的大小叫作向量的平面向量是自由向量

________（或称________）

长度为________的向量；其方

零向量记作________

向是任意的

单位向量长度等于________长度的向量非零a的单位向量为哈

平行向量（共线方向________或________的非

0与任一向量________或共线

向量）零向量

长度________且方向_________两向量只有相等或不等，不能

相等向量

的向量比较大小

长度______且方向________

相反向量0的相反向量为0

的向量

［注意］单位向罐;有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量。平行

的单位向量有两个，即向端和一病

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运舁律

交换律：a+b=

力b

求两个向量和的________♦

加法三角形法则

运算结合律：（a+8）+c

a

平行四边形法则

求a与5的相反二

a—b=a+

减法向量-一的和的

运算三角形法则

如a)=_______;

|冽=囚同,当2>0时，痴与

a+〃)”=

求实数％与向量aa的方向相同；当2<0时，/M

数乘________,

的积的运算与a的方向相反；当％=0

z(a+Z>)=

时,九1=0

［思考］向苣二加法与减法的运算法则如何快速记忆？

（1）加法三角形法则：首尾接，首尾连.

⑵加法平行四边形法则：共起点，对角线.

⑶减法三角形法则：共起点，连终点，指被减.

甘泉究］三角形加法法则的推论是什么？

提示：多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a+b+c表示从始点

指向终点的向量，只关心始点、终点.

AbB

a+h+cC

3.共线向量定理

向量融屋g&5B，当且仅当有唯—个实数人使得

注意：只有存0才保证实数2的存在性和唯一性.

［常用结论］⑴若向量。，5不共线，如果xa=y伙X,yGR),则x=y=O.

(2)C是线段AB的中点的充要条件是犹J曲+曲.

(3)若G是△ABC的重心，。是BC边的中点，则：

①◎+仍+比=0；②亿=；(劝+祝)；③⑶=：(潴+比)=斯^+祀).

(4)在四边形A3CD中，若E为AO的中点，F为8c的中点，则曲+阮=2曲.

必记答案：1.方向长度模001个单位相同相反平行相等相同

相等相反

2.b~\-aa+S+c)(—b)za+AZ>

拓展链接:拓知能联高考

1.［知识外延］向量加、减法的几何意义

(l)|a+Z>|2+|«-6|2=2(|a|2+|6|2)(a,b不共线)的几何意义是“平行四边形两条对角

线的平方和等于它的四条边的平方和

(2)已知共起点的向量a,b,若|a—"=|"+"，则以向量a,5为邻边形成的四边

形为矩形.

【例1】设非零向量a，)满足|a+勿=|。一"，则()

A.albB.⑷=网

C.a〃bD.|a|>|6|

答案：A

解析：法一：利用向量加法的平行四边形法则.

在口A8CO中，设才方=a,Ab=b.

由|a+"=|a-",知|而=|仍|,

从而四边形A5CD为矩形，AB1AD,故a_LZ>.

法二：V\a+b\=\a-b\,

/.|a+Z»|2=|a一方F，

.'.a2+b2+2a*b=a2+b2—2a,b,

••<z*6=0,••zz_L6.

(3)向量模的三角不等式：

ll«|—l*||<|a-*|<|«|+|*|

【例2】若非零向量a和b满足|°+加=步|=2,则同的取值范围是,

仙一臼的取值范围是.

答案：(0,4][2,6]

解析：(1)因为IM+加一回W|a|=M+。一加WM+例+步1=4,又存0,所以⑷的取值范

围是(0,4].

(2)因为M—加+M+Z>|>2|Z>|=|(a+6)—(a—6)|>||a-b\—|a+&||,所以一4<|a-b\—\a

+b\<A,

\a-b\+\a+b\>4,又|a+例=2,解得|“一例的取值范是[2,6].

2.[学以致用]三点共线定理的妙用

若A、B、。三点共线且温=2仍+〃沈，则2+〃=1.

[注意]只有当两个共线向量具有公共点时才能满足三点共线.

【例3】已知等差数列｛a“的前〃项和为S”若仍=aioo0A+moi犹，且A、B、

。三点共线(该直线不过点。)，则5200=.

答案：100

解析：•.•仍=aioo厉+aioiOt,且A、B、C三点共线(该直线不过点。)，

/.izi(x)+aioi=1,

200(ai+。20()),

=

S2oo=--------------100x(ai+«2oo)=100x1=100.

【例4】已知初=a+54Bt=-2a+8b,Cb=3(a-b),则()

A.A、B、。三点共线

B.A、B、。三点共线

C.B、C、。三点共线

D.A、C、。三点共线

答案：A

解析：Bb=Bt+Ct)=(-2a+Sb)+3(a-b)=a+5b,

又牯=4+5"所以牯=卧，则碌与沉)共线,

又感与就有公共点8,所以A、B、。三点共线.故选A.

对点

1［易错诊断］（1）对于非零向量。，。，“Q+b=。是九勿”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：若a+〃=0,则a=一所以。〃机若a〃b,则a+6=0不一■定成立.故

前者是后者的充分不必要条件.

【易错点拨】对向量共线定理的条件把握不准确致误.

（2）已知向量a,b,若⑷=2,例=4,则|a—勿的取值范围为.

答案：［2,6］

解析：当a与）方向相同时，|a—6|=2;当a与b方向相反时，|a—6|=6;当a

与8不共线时，2〈|。一勿＜6.所以|。一口的取值范围为［2,6］.此题易忽视a与8方

向相同和a与b方向相反两种情况.

【易错点拨】对于向量加减法的几何意义（向量三角不等式）认识不清致误.

2.（多选题）给出下面四个命题，其中是真命题的是（）

A.A^+BA=OB.J&+配=祝

C.Ab+At=BtD.O-A^=M

答案：ABD

解析：因为4&+助=脑一牯=0,A正确；

Ab+Bt=At,由向量加法知B正确；

牯+祀=沅不满足加法运算法则，C错误：

由息+助=0,所以明=0—弗，故D正确.

故选ABD.

3.［模拟演练］（2022・山西太原高三三模）已知△ABC的重心为。，则尻＞=（）

B.

2fIfIf.2f

c.-^AB+^ACD.一§初+§祝

答案：c

解析：设E,F,。分别是AC,AB,BC的中点，由于。是三角形ABC的重心,

29?121_.

所以由=Q旗=铲（掂―初）=铲（5配一牯）=一,戏+大衣.故选c.

4.［真题体验］（2020・全国I卷）设a,b为单位向量，且|«+”=1,则心一〃=

答案：小

解析：由单位向量概念及向量加法、减法的几何意义可得，向量a,b,a+b构

成等边三角形，又。一方与互相垂直且平分（如图），

解三角形得心一加=小.

核心突破课堂学案

特训点1平面向量的有关概念【自主冲关类】

［题组•冲关］

1.设。，8都是非零向量，下列四个条件中，使言=磊成立的充分条件是（）

\U|

A.a=­bB.a〃b

C.a=2bD.a4且⑷=|加

答案：C

解析：因为向量言的方向与向量a的方向相同，向量备的方向与向量白的方向相

同，且詈=白，所以向量a与向量力的方向相同，故可排除选项A,B,D.当。=

2万时，而=两=而，故"=2b是面=而成立的充分条件.

2.(多选题)给出下列命题，不正确的有()

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,B,C,。是不共线的四点，且牯=觉，则四边形A3C0为平行四边形

C.的充要条件是团=|可且aZ仿

D.已知九"为实数，若入a=Rb,则a与万共线

答案：ACD

解析：A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相

等，不一定有相同的起点和终点；

B正确，因为筋=觉，所以区直=|觉|且储〃成，又A,B,C,。是不共线的

四点，所以四边形A8CO为平行四边形；

C错误，当。题＞且方向相反时，即使|a|=|",也不能得到。=)，所以|a|=|以且a%

不是的充要条件，而是必要不充分条件；

D错误，当/=〃=0时，a与》可以为任意向量，满足&1=油，但a与8不一定

共线.故选ACD.

3.设@0为单位向量，下列命题中为假命题的是.

①若a为平面内的某个向量，则a=|a|ao；②若a与ao平行，则a=|a|ao；③若a

与ao同向平行且⑷=1,则a=ao.

答案：①②

解析：向量是既有大小又有方向的量，。与⑷血的模相等，但方向不一定相同，

故①是假命题；若a与四平行，则a与四的方向有两种情况：一是同向，二是

反向，反向时a=一|a|ao,故②也是假命题.

［锦囊•妙法］

平面向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数

图象的移动混淆.

(4)非零向量a与告的关系：言是与a同方向的单位向量.

特训点2平面向量的线性运算【多维考向类】

方法教练研典例导解法

考向1向量的线性运算

典例1（2022*安徽合肥高三质检）在AABC中，就=；配，若加=a,At=b,

则劝等于（）

2112

-+-力-

A.33B.W+-3

八12,21,

C.^a—^bD.-^a~^b

答案：A

解析：法一：如图，过点。分别作AC,A8的平行线交45,AC于点及F,则

四边形AEDE为平行四边形，所以不力=助+#.因为协=；沅，所以助=|A力，

所以祝=|«+；。，故选A.

I12121

法二：Ab=A^+Bb=A^+^Bt=A^+^At：—Ab)=^Ai+^At=^a-\-^b,故

JJJJ-J

选A.

法三：由协=g反?，得m_牯=/祝一牯)，

i2121

所以45=劝+,祀一牯）=/^+W业?=乎+葩，故选A.

点拨

向量线性运算的技巧

（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解，共起点的向量求和一般用平

行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.

（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相

反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

考向2根据向量的线性运算求参数

典例2(2022«辽宁大连高三三模)在三角形ABC中，At)=2仍，P

为线段OE上的动点，若劝=2牯+幺配，九〃6R,则％+4=()

A.1B.|

C.^D.2

［解题指导］

直观表示分析图形的线性运算构造

边角关系方程求参数

答案：B

解析：根据题意得。为线段AB的三等分点靠近8点的点，E为线段AC的三等

分点靠近。点的点，

所以办=A&+亦=Ab+x瓦=At)+x(助—电=屈+(1_刈次力=|入祀+|(1

—X)油,

22222

所以〃=1尤，2=w（l—%）,所以2+〃=y+w（l—x）=].故选B.

点拨

利用向量线性运算求解参数的思路：(1)先利用向量的线性运算得到相关的线性表

示；(2)对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解.

特训点3共线向量定理的应用【师生共研类】

方法教练J研典例导解法

典例3设两个非零向量。与8不共线.

(1)若Bt=2a+8b,Cb=3(a-b),求证：A,B,。三点共线.

(2)试确定实数%,使总+/＞和。+劭共线.

［解题指导］

:褊埃薮;谪量共线的；'二二二；］八共线…向一量二口-；五-，一-方

\\^AB=)AC\基本定理有公共/三点共线:

解：(1)、•初=。+方，Bt=2a+8b,Cb=3(a-b),

：.Bt)=Bt+Cb=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5Ak,

：.Ah,百方共线，又它们有公共点8,

B,。三点共线.

⑵•：ka+b与a+心共线，

,存在实数九使匿i+

即（左一/l）a=（2左一1）5.

又a,b是两个不共线的非零向量,

%—2=0,

/./?—1=0,/.^=±1,

◎思维发散◎

1.（变条件）若将本例（1）中“配=2a+8。”改为"配=“十，》”，则当实数机为何值

时，A,B,。三点共线？

解：Bb=Bt+cb=a+mb+3（a-b）=4a+（m-3）b,

若A,B,。三点共线，则存在实数人使百方=湿，

即4。+（机-3）方=，“+方），

4=九”

,解得m=7.

,m—3=2,

故当〃?=7时，A,B,。三点共线.

2.（变条件）若将本例⑵中的“共线”改为“反向共线”，则实数%为何值？

解：因为ki+Z>与a+心反向共线，

所以存在实数九使版+。=23+妨）（衣0）,

k=k,

所以，所以k=±l.

〔以=1,

又2<0,k=1,所以女=-1.

故当％=—1时，两向量反向共线.

规律

共

九、

实数

存在

，瓦若

量。

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线：对

向量共

线［证明

共线

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0）,贝

=秋8

向：、使。

量

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磁］瞽

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