第3讲导数及其应用

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•数学

（理科·湖南）2集合、函数与导数专题一导数及其应用第3讲3

以函数为载体，以导数为工具，以考查函数的性质及导数极值理论，单调性及其应用为目标，是最近几年在函数与导数交汇处命题的显著特点和趋向，高考中导数问题命题有五大热点：

热点一、在导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等.命题的特点：三次函数求导后为二次函数，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想.

热点二、在导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题.

热点三、在导数与解析几何交汇点命题：主要考查对导数的几何意义,切线的斜率,导数与函数单调性,最（极）值等综合运用知识的能力.热点四、在导数与向量问题交汇点命题：依托向量把函数的单调性、奇偶性，解不等式等知识融合在一起，既考查了向量的有关知识，又考查了函数性质及解不等式等内容.热点五、在导数与函数模型构建交汇点命题：主要考查考生将实际问题转化为数学问题，运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力.451.(2009·江西卷)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为()A.4B.C.2D.解析感悟

理解和运用导数的几何意义是高考中的常见的题型.由已知g′(1)=2，而f(x)=g′(x)+2x，所以f′(1)=g′(1)+2×1=4，故选A.6

2.(2009·湖南卷)若函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是()7因为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在区间[a,b]上是增函数，即在区间[a,b]上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A.注意C中y′=k为常数噢.解析感悟理解和运用导数的几何意义、单调函数的图象特征.83.(2009·湖南卷)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数K，定义函数：取函数f(x)=2-x-e-x.若对任意的x∈(-∞,+∞)，恒有fK(x)=f(x)，则()A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为19解析

由f′(x)=-1+e-x=0，知x=0，所以当x∈(-∞,0)时，f′(x)>0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)max=f(0)=1，即f(x)的值域是(-∞,1]，而要使fK(x)=f(x)在R上恒成立,结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时fK(x)=f(x)，故选D.感悟利用导数研究函数的单调性和极值、最值.10

(2009·滨洲一模)设函数（1）若直线l与函数f(x)、g(x)的图象相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求实数p的值；（2）若f(x)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围.考点一

例1

导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值问题11思路切线的斜率即为函数在切点处的导数，求单调区间即为解不等式f′(x)>0(或<0)；已知函数在区间D上递增（减），则f′(x)≥0（或≤0）在区间D恒成立.解析（1）解法1：因为,所以f′(1)=2(p-1).直线l：y=2(p-1)(x-1).设l与g(x)=x2相切于点M（x0,y0).因为g′（x)=2x，所以2x0=2(p-1)，所以x0=p-1，y0=(p-1)2,代入直线l的方程，解得p=1或p=3.解法2：因为，，所以l：y=2(p-1)(x-1).将直线方程l代入y=x2，得2(p-1)(x-1)=x2,整理得x2-2(p-1)x+2(p-1)=0，所以Δ=4(p-1)2-8(p-1)=0，解得p=1或p=3.12（2）因为，①要使f(x)为单调增函数，须f

′(x)≥0在(0，+∞)恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞)上恒成立.又，所以当p≥1时，f(x)在(0,+∞）上单调递增.②要使f(x)为单调减函数，须f′(x)≤0在（0，+∞）上恒成立.即在(0,+∞)上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立.又，所以当p≤0时，f(x)在(0,+∞)为单调减函数.综上，若f(x)在（0，+∞）上为单调函数，则p的取值范围为{p|p≥1或p≤0}.13点评求曲线的切线，关键是由切点的导数得到切线的斜率;求函数的极值、最值首要是研究函数的单调性.14已知函数f(x)=1-ax2(a>0,x>0)，该函数图象在点P（x0,f(x0))处的切线为l，设切线l交x轴、y轴分别为M（x1,0)和N(0,y2)两点.（1）将△MON(O为坐标原点）的面积S表示为x0的函数S(x0)；（2）若函数y=f(x)的图象与x轴交于点T（t，0），则x1与t的大小关系如何？请证明你的结论；（3）若在处，S(x0)取得最小值，求此时a的值及S(x0)的最小值.变式训练1思路第(1)问首先得求出切线方程，再得截距，求出面积；第(3)问利用函数的单调性求最值.（1）f′(x)=-2ax.切线l的方程为即令y=0，得，令x=0，得所以，15解析（2）由f(x)=1-ax2=0及x>0，得，即.于是,所以,x1≥t，当且仅当时取等号..由S′(x0)=0，a>0，x0>0，得.当3ax20-1>0，即时，S′(x0)>0；当3ax20-1<0，即时，S′(x0)<0.所以时，S(x0)取得最小值，为.由，得，此时.16研究函数的单调性就可得函数图象的大致情况，由图看到函数的极大、小值的位置，所以利用导数研究函数的性质主要是弄清其单调区间.点评17

(2008·四川改编)已知x=3是函数的一个极值点.若函数y=f(x)-b有3个零点，求b的取值范围.考点二结合函数的图象、零点与性质求参数的取值范围问题

已知x=3是一个极值点,必有f′(3)=0,函数y=f(x)-b的零点就是方程f(x)=b的根,就是函数y=f(x)-b的图象与x轴的交点的横坐标，从而研究其单调性.思路

例2

18解析因为，所以，因此a=16.当a=16时，由此可知，当x∈(1,3)时，f(x)单调递减；当x∈(-1,1)时，f(x)单调递增.当x∈(3,+∞)时，f(x)单调递增.所以，当a=16时，x=3是函数的一个极值点.于是，a=16.由，得x∈(1,3).所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),(3,+∞)，f(x)的单调递减区间是(1,3).y=f(x)-b有3个零点，等价于f(x)=b有3个实数根，此时，函数f(x)=b的图象与x轴有3个不同的交点.令,则令，解得1<x<3.所以的单调增区间是(-1,1),(3,+∞)，单调减区间是(1,3),

(1)为极大值，(3)为极小值，可得y=(x)的示意图.为使y=(x)图象与x轴有3个不同的交点，必须y=(x)的极大值大于零，极小值小于零，即

，可化为解得，所以32ln2-21<b<16ln2-9.1920点评

曲线与曲线的交点、方程的根、函数的零点等相互转化就可把困难的问题变得容易.21曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.变式训练2思路

已知函数f(x)=-x2+8x，g(x)=6lnx+m，是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.22解析

函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.因为由，所以是减函数.当x∈（0,1)，x∈(3,+∞)时，是增函数.所以，因为当x充分接近0时，；当x充分大时，.

所以要使的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

解得7<m<15-6ln3.所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15-6ln3).23研究函数的图象、方程的根、函数的零点等问题时，常将这些问题进行合理转化为研究函数的单调性、极值和最值等问题，根据函数的这些性质，利用数形结合，使问题得以求解．这些是高考的出题热点.点评24考点三

函数与导数、不等式、数列的综合问题设函数f(x)=lnx-px+1.（1）求函数f(x)的极值点；（2）当p>0时，若对任意的x>0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围；（3）证明：

例3思路

导数为0的点不一定是极值点，极值点的导数值必为0.恒成立的问题一般变为求某函数的最值.25解析（1）因为,所以f(x)的定义域为当p≤0时，f′(x)>0,f(x)在（0,+∞）上无极值点.当p>0时，令f′(x)<0，所以,即函数在上递增，在上递减,所以,当p>0时,f(x)有惟一的极大值点（2）由（1）知，当p>0时，f(x)在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使f(x)≤0恒成立，只须所以p≥1.所以p的取值范围为[1,+∞).（3）证明：令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，所以lnx≤x-1.因为n∈N，n≥2，所以lnn2≤n2-1,所以所以所以结论成立.2627函数、导数、方程、不等式、数列综合在一起,解决极值，最值等问题,这类问题涉及到求极值、极值点、最值.证明不等式f(x)≥g(x)在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值大于等于零；而证明不等式f(x)>g(x)在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最大（小）值问题.点评28已知函数在x=0处取得极值，曲线y=f(x)过原点O(0,0)和点P(-1,2)，若曲线y=f(x)在P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且l的倾斜角为钝角.(1)求f(x)的解析式；(2)若y=f(x)在区间［2m-1,m+1］上是增函数，求实数m的取值范围；(3)若x1、x2∈［-1,1］，求证：|f(x1)-f(x2)|≤4.

第（1）问由曲线y=f(x)在P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，可由切线的斜率得a、b；第（3）问求函数的最值即可.变式训练3思路29解析

令f′(x)>0,即x(x+2)>0,所以x>0或x<-2,所以f(x)的增区间为(-∞,-2］和［0,+∞),又因为f(x)在区间［2m-1,m+1］上是增函数，所以或所以或

解得m≤-3或