专题10 相似三角形的应用经典60题（解析版）

专题10相似三角形的应用经典60题【精选2023年最新考试题型专训】【题型目录】1．（2023秋·九年级课时练习）如图，圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面形成阴影，已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面，则地面上阴影部分面积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【详解】解：构造几何模型如图：

依题意知，，∴，∴，即，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C．此时，她与左边较低的树的水平距离（

）

A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m【答案】A【分析】连接并延长交于点N，过N作于点M，设，证明，由相似三角形的性质即可求得x的值，从而确定答案．【详解】解：如图，连接并延长交于点N，过N作于点M，∵，均垂直于直线，∴，∴，；由题意知，四边形是矩形，则；设，则，∵，∴，∴，即，解得：；当王红刚好看到右边较高的树的顶端C时，她与左边较低的树的水平距离为，当她看不到较高的树的顶端C时，则她与左边较低的树的水平距离应小于；故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，灵活利用相似三角形的性质是解题的关键．3．（2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（

）．

A．1.5米 B．1.2米 C．1米 D．0.9米【答案】D【分析】如图，先证明，然后根据对应边成比例列列方程求解即可．【详解】解：如图：

∵由题意可得，∴，∴∴∴米．∴捣头点E上升了米．故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能将实际问题抽象到相似三角形中并利用相似三角形对应边成比例列出方程是解答本题的关键．4．（2023·河北沧州·模拟预测）将一把直尺与纸片按如图的方式摆放，与直尺的一边重合，、分别与直尺的另一边交于点，，若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点到边的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得：，然后作于点G，交于点H，如图，证明，根据相似三角形的性质求解即可.【详解】解：由题意可得：，作于点G，交于点H，如图，则，∵，∴，∴，即，解得：，即点到边的距离为2cm；故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，某同学在A处看见河对岸有一大树．想测得A与的距离，他先从A向正西走90米到达的正南方处，再回到A向正南走30米到处，再从处向正东走到处，使得，A，三点恰好在一条直线上，测得米，则A与的距离为（

）

A．米 B．120米 C．135米 D．150米【答案】D【分析】证明，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出．【详解】解：由题意可得：，∴，，∴，∴，∴，∵米，米，米，∴米，∴，解得：米，∴点A与P的距离为150米，故选：D．【点睛】本题考查了简单几何问题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．6．（2023·河南郑州·统考二模）凸透镜成像的原理如图所示，．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为（焦点和关于O点对称）（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到结论．【详解】解：∵，，，∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，由缩小的实像是物体的，可知：∴，∵焦点和关于O点对称，∴焦点到凸透镜的中心线的距离，∴，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．7．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，在一把尺子（单位：cm）上自左向右的三个位置（都为整十数刻度），依次放置了点光源，竖立的木条，竖直安装的投影幕，已知，且可以在尺子上左右移动，木条在投影幕上的投影为．现将木条从图示位置向左移动，下列说法正确的是（

）．

A．伸长了 B．伸长了C．缩短了 D．缩短了【答案】B【分析】先证可得，再分别求出向左移动前后的长度，进而求出向左移动前后的长度即可解答．【详解】解：由题意可得：,∴,∴,∴,∵，,,∴，解得：，将木条从图示位置向左移动,则，∴，解得：．∴现将木条从图示位置向左移动，伸长了．故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、相似三角形的应用等知识点，理解题意、证得是解答本题的关键．8．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）我们都听说过“小孔成像”吧，下图是爱动手操作的小迪做的小实验。小迪测量蜡烛到带孔的挡板的距离是，屏幕到挡板的距离是，屏幕上火焰的高是，则火焰的实际高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可得到答案．【详解】解：根据题意可知，，火焰的实际高度与屏幕上火焰的高之比等于蜡烛到带孔的挡板的距离与屏幕到挡板的距离之比，，，，即火焰的实际高度为,故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．9．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（

）A．5m B．6m C．7.5m D．8m【答案】B【分析】解：如图，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，则，，，，，证明，则，即，求的值，然后根据，计算求解即可．【详解】解：如图，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，∴，，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的是安装在广告架上的一块广告牌，和分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌在地面上的影长，在地面上的影长，广告牌的顶端A到地面的距离，则广告牌的高为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据太阳光线是平行的可得，从而可得；接下来根据相似三角形的性质可得，代入数值求出的长，进而可求出广告牌的高．【详解】解：∵太阳光线是平行的，∴，∴，∴，由题意得：，∴，解得，∴．故选A．【点睛】本题考查了平行投影，以及相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．11．（2023·广东深圳·校考三模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明，得到，求出，即可得到“步云阁”的高度．【详解】解：，，，，，，，测得眼睛D离地面的高度为，，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质时解题关键．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵镜子垂直于地面，∴入射角等于反射角，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确找出两个相似三角形是解题关键．13．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米，，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（）A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】∵，，，，，答：点，之间的距离为0.96米，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．14．（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边按图2放置，从“矩”的一端（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．若，，，，则的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意和图形，可以得到然后根据相似三角形的性质，可以得到．【详解】解：由图2可得，∴，∵∴∴∴，即解得，，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．【详解】解：根据题意可知，，，，，即，解得m，路灯高的长是m，故选：C．【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边成比例和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．16．（2023秋·全国·九年级专题练习）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm【答案】A【分析】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解．【详解】解：如图2，连接BD，∵AE=CF=28，BE=DF=35

，∴，又∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD，∴，又EF=20，∴，解得：BD=45，如图3，连接BD，∵BEDF，BE=DF，∴四边形EFDB是平行四边形，∵∠BEF=90°，∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20，∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm），故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键．17．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高.动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1，长方形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=（

）秒时，S1=2S2．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解．【详解】解：∵，边上的高，∴，∵，∴，∵PE∥BC，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．18．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考阶段练习）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高等于（

）A． B． C． D．都不对【答案】C【分析】先判定，再根据相似三角形对应边成比例解答．【详解】解：在与中，即树的高为故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．19．（2023秋·全国·九年级专题练习）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（

）米．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【详解】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD=3，经检验，CD=3是所列方程的解，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．20．（2022春·九年级课时练习）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，AD=2m，斜梁AC=4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示．若EF=3m，则斜梁增加部分AE的长为（）A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m【答案】D【分析】根据已知条件证明△ABD∽△EBF，得到，即可得解；【详解】∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴AD∥EF，∴△ABD∽△EBF，∴，∵AD垂直平分横梁BC，∴，∴，解得EB=6(m)，∴AE=EB-AB=6-4=2(m)．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．21．（2023秋·广东深圳·九年级校考期末）如图，甲、乙两盏路灯相距30米，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为米，那么路灯甲的高为米．

【答案】9【分析】由于人和地面是垂直的，即人和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．【详解】：如图，设路灯甲高为，路灯乙底部为点C，小刚身高为米．则米，米，米．

根据题意知，，∴，∴，∴，即，解得：（米）故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是将具体问题数学化，利用相似三角形的性质求解．22．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，小明在测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为．

【答案】8m/8米【分析】根据题意，画出示意图，易得∽，进而可得，即，代入数据可得答案．【详解】解：根据题意，作；

树高为，且，，，，，，又，∽，；即，代入数据可得，解得（负值舍去）．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是通过投影的知识结合三角形的相似的知识正确进行计算．23．（2023秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，身高米的小明（）在太阳光下的影子长米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，则立柱的高为米．【答案】【分析】将太阳光视为平行光源，可得，，即可得的值，故计算即可．【详解】如图所示，过点作平行线交于点，过点作平行线交于点，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判断即性质，由太阳光投影判断出平行关系进而求得相似是解题的关键．24．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）瑞光塔，位于江苏省苏州市区西南隅盘门内，始建于北宋景德元年．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量瑞光塔的高度，如图2，瑞光塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出瑞光塔的高度（结果精确到）．

【答案】【分析】设，则，证明，得到，，根据，得到，解方程即可得到答案．【详解】解：设，则，，，，，，，，，，，，即，解得：，经检验，是原方程的解，，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题及熟练掌握三角形相似比的灵活运用．25．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为

【答案】【分析】现根据题意画出几何图形，延长交于，，，，易得，，再根据在同一时刻物高与影长的比相等，得到，从而可以算出，然后计算即可．【详解】解：如图，表示树高，表示树在地上的影长，表示树在台阶上的影长，为第一级台阶的高，延长交于，，，，易得为矩形，，，，，，，故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等，熟练画出几何模型是解题的关键．26．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）教学楼前有一棵树，小明想利用树影测量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高．他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵树实际高度为m．

【答案】3.6/【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度．【详解】解：同一时刻物高与影长成比例，，即：，解得落在地上的影长对应的树的高度，树的高度为：，故答案为：3.6．【点睛】本题考查相似三角形的应用，明确把影长分为两部分计算，然后再求和就是树的高度是解题的关键．27．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是．

【答案】//【分析】根据相似三角形的性质，进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：∵，∴，∵点O到的距离为，点O到的距离为，∴由相似三角形对应高之比是相似比可得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．28．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考开学考试）如图，小明测得长的竹竿落在地面上的影长为．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是m．

【答案】8【分析】根据在同一时刻物高和影长的比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，然后求解作答即可．【详解】解：如图，延长、交于，

由物高与影长成正比得，，即，解得（），∴（），同理，即，解得（），故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．29．（2023·浙江台州·统考一模）A、B两人位于东西朝向的大道上，相距6米，如图所示，在靠近B的区域，离大道2米处有一摄像机C，镜头可视角度为90°，此时B恰好位于视野边缘，而A需向东前进1米才能刚好出现在视野边缘；若A、B两人保持原位置不变，摄像机需往北移动米，再适当旋转镜头，使A、B两人刚好处于视野边缘．【答案】或【分析】设为摄像机往北移动后的位置，作于点H，先证，求出，，再证，求出，则．【详解】解：如图，设为摄像机往北移动后的位置，作于点H，由题意知，点C在上，，，，，设，则，，，，，，又，，，即，解得或，当时，，，，当时，，，，同理可证，，，当，时，，；当，时，，；摄像机需往北移动米或米．故答案为：或．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意构造相似三角形．30．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得，，．设，，则y与x之间的函数关系式为．【答案】【分析】根据题意可得：，，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，，，∴，，∴，∴，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．31．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，有一路灯杆（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长m，沿方向到达点F处再测得自己得影长m，如果小明的身高为m，则路灯杆的高度为．【答案】【分析】由得可以得到，，故，，证，进一步得，求出，再得，求出即可．【详解】解：由题可知：，∴，，∴，，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴因此，路灯杆的高度．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．证明三角形相似，是解题的关键．32．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为步．【答案】1255【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明得到，即②，所以，接着利用比例的性质求出，然后计算的长．【详解】解：根据题意得步，步，步，步，，，，即①，，，，即②，由①②得，即，，，，，（步），即山峰的高度为1255步．故答案为：1255．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相应线段的长．33．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，（点，，在同一直线上），已知小明的身高是，那么楼的高度等于．【答案】【分析】过点作，交于,可得四边形、是矩形，即可证明，从而得出，进而求得的长．【详解】解：如图，作于，交于∴四边形、是矩形，∴，，，∴，∴由题意知，，∴，∴，即，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质掌握．34．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板宽，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度为．图3是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面的高度是．【答案】120【分析】由点A与点F重合能够得出的长，从而可以求出点A离地面的高度．连接并延长，交于点Q，得到直角三角形，又由使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，得到，得到，利用相似三角形的性质可以求出的长，进而利用勾股定理可以求出点A到地面的高度．【详解】∵将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，∴．∴，即点A离地面的高度为120．如图，连接并延长，交于点Q，则．∵使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，∴，，∴，∴，即，解得．在中，由勾股定理，得，即点A到地面的高度是．故答案为：120，．【点睛】本题是一道实际应用题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解题意，能够将实际问题转化成数学问题是解题的关键．35．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为．（1）与；（填“位似”或“不位似”）（2）屏幕图形的高度为．【答案】位似【分析】（1）根据题意作出图形，根据位似三角形的定义即可得出结论；（2）根据题意作出图形，过点作于点，线段的延长线交与点，再根据相似三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）由题意作出下图，结合图形可知：，，与位似．故答案为：位似．（2）过点作于点，线段的延长线交与点，，，，由题意：，，，由（1）得，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，位似三角形的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．36．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后，再选点，使，用视线确定和的交点．此时如果测得米，米，米，则两岸间的大致距离为米．【答案】100【分析】证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴，∴，即有，解得米，即两岸间的大致距离为100米．故答案为：100．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．37．（2023·四川成都·模拟预测）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高m．【答案】5【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，，，，∴，∴，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．38．（2023秋·浙江·九年级专题练习）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中的光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方穼：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为3.0米，树的底部与平面镜的水平距离为12.0米．若小文的眼睛与地面的距离为1.7米，则树的高度约为米（注：反射角等于入射角）【答案】6.8【分析】先证，可得，把将已知条件代入可得即可.【详解】解：由已知可得，∴，∴，即，解得(米).故答案为：6.8.【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意发现相似三角形是解答本题的关键.39．（2023秋·九年级课时练习）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离米时，才能发现C处的儿童．【答案】/【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，再证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理求出的长，进行计算即可解答．【详解】在中，，，，，，，，，，在中，米，，，汽车从处前行米，才能发现处的儿童，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．40．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝cm．【答案】/【分析】根据题中所给的信息，利用对称性得出各个线段长度，再根据得出，利用相似比即可求出长．【详解】解：过作交于，如图所示：根据题意可知，根据对称性可知，，，，，，，

，即，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查利用相似比求线段长，读懂题意，看懂图形，结合图形对称性找出各个线段的长度是解决问题的关键．41．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度．在灯光下，当大华站在D点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达G点，此时又测得大华的影长为4米．如果大华的身高为米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度．

【答案】米【分析】由得，则，由得，则，得到，解得，则，即可求得的高度．【详解】解：如图，于点D，于点G，

由题意可知，，米，米，米，米，∴，∴，∴，即①，∵，，∴，∴，∴，即②，由①②得，，解得，，经检验，是方程的根且符合题意，∴，解得，．答：路灯杆AB的高度为米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，在本题中关键是根据两组相似三角形中的公共边和身高建立关于的方程．42．（2022·陕西西安·校考模拟预测）张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一长方形的笔记本和一根笔直的长约厘米的木条．测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所在平面在竖直平面内），另一位同学沿笔记本边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端与边在一条直线上．这时让木条的一端与点重合．用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与边交于点．经测量点到地面的距离为米，笔记本的长厘米，宽厘米，厘米．一位同学从点的正下方走向树的底部共走了步，若该同学每一步的长为厘米，请求出这棵树的高度．

【答案】米【分析】根据题意补全图形，利用，可得，又因为，得出比例式，解出即可．【详解】解：如图，

根据题意可知，（米），米，米，米，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得，∵，∴，∴，∴，解得，答：这棵树的高度为米．【点睛】此题考查了相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．43．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，点B、D、F、M在同一直线上．方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离善导塔的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为．

请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度．我选择方案_______．【答案】一（答案不唯一），善导塔的高度为．【分析】若选择方案一：过点E作，垂足为H，延长交于点G，根据题意可得：，从而可得，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；若选择方案二：过点E作，垂足为M，延长交于点N，根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【详解】若选择方案一：如图：过点E作，垂足为H，延长交于点G，

由题意得：，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴善导塔的高度为；若选择方案二：如图：过点E作，垂足为M，延长交于点N，

∵，∴，由题意得：，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴善导塔的高度为；故答案为：一（答案不唯一）．【点睛】考查了相似三角形的应用，解题关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形．44．（2021秋·陕西西安·九年级校考期中）某校社会实践小组为测量一建筑物（图2）的高度，测量示意图如图1所示，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好又在同一直线上，这时测得米，米，已知点、点、点、点与该建筑物底部的点在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该建筑物的高度．【答案】米【分析】首先证明，由相似三角形的性质可得，代入数值可得；再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，易得，可解得的值，即可获得答案．【详解】解：根据题意得米，米，米，米，∵，，，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，解得米，∴米．【点睛】本题主要考查了运用相似三角形解决实际问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．45．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）某校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜小明刚好看到大雁塔的顶端M的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和塔顶M在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点N、C、B、F、D在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）．【答案】大雁塔的高度为64米【分析】设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可．【详解】解：设米．∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，经检验是分式方程的解，答：大雁塔的高度为64米．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．46．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）位于陕西省北部神木县红碱淖景区的大门口，树立着一座精致的王昭君雕像．在当地人看来，当年王昭君就是走过神木大地，去完成和亲使命的．她因为远离家乡而伤心落泪，泪水也因此化作了一颗“沙漠明珠”——红碱淖．某校社会实践小组为了测量这座雕像（如图）的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，雕像的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到雕像的顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点、、、与雕像的底端在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该雕像的高度．（平面镜大小忽略不计）

【答案】米．【分析】由和，可以证得，即可证得，从而等到与之间的等量关系式，由光的反射的性质可以得出，再结合和，可以证得，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴，解得：，∴该雕像的高度为米．【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．47．（2022秋·福建莆田·九年级校考开学考试）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）

【答案】43.5米【分析】利用相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：根据题意得，，，，即①；，，，，即②，由①②得，解得，，解得，答：小雁塔的高度为43.5米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算．48．（2023秋·浙江·九年级专题练习）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度，测量方法如下：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到瞭望塔的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中，，三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度约为，测得，，请你帮助他求出该瞭望塔的高度．．

【答案】【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【详解】解：解：由题意得：，，，，，，，，该瞭望塔的高度为．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．49．（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）某学校九年级一班进行课外实践活动，晓玲和张华利用所学过的知识测年楼房的高．如图，是楼房附近的一棵小树，张华测得地面上的点E、小树顶端和楼顶在一条直线上，米，米；在阳光下，某一时刻，晓玲站在点处时，恰好发现她自己的影子顶端与楼房的影子顶端重合，米，晓玲的身高米，米．已知点、、、、在同一水平直线上，，，，请计算出楼房的高度．【答案】18米【分析】分别证明，，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，又，∴，∴，∵米，米，∴①；∵，，∴，又，∴，∴，∵米，米，米，米，∴②，由①②解得(米)，(米)，答：楼房的高度为18米．【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，会利用相似三角形的性质解决实际测高问题是解答的关键．50．（2023·陕西宝鸡·统考二模）小红和小华决定利用所学数学知识测量出一棵大树的高度如图，小红在点处，测得大树顶端的仰角的度数；小华竖立一根标杆并沿方向平移标杆，当恰好平移到点时，发现从标杆顶端处到点的视线与标杆所夹的角与相等，此时地面上的点与标杆顶端、大树顶端在一条直线上，测得米，标杆米，米，已知、、、在一条直线上，，，请你根据测量结果求出这棵大树的高度．

【答案】这棵大树的高度为米【分析】根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，，，，解得：，这棵大树的高度为米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．相似三角形的对应边成比例．51．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．

【答案】【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度．【详解】解：由题意可知：，，，，，．设，则，解得：，，，．答：该古建筑高．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．52．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．求住宅楼的高度是多少米．

【答案】住宅楼的高度为．【分析】过作，交于点，交于点，由相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长，进而得出结论．【详解】解：如图所示，过作，交于点，交于点．

由已知可得．．又，所以．所以，即，解得．所以．所以住宅楼的高度为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟悉并掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．53．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．

【答案】【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解．【详解】证明：，故，即，，，，光在镜面反射中的入射角等于反射角，，又，，，，解得：，灯泡到地面的高度为．【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键．54．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）为测量一建筑物的高度，如图，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑物的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和建筑物顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．

【答案】10米【分析】可证，从而可得，设米，可求，再证，可得，即可求解．【详解】解：由题意得：，，，，，，设米，，，，，，，，，解得：，答：建筑物的高度为10米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，理解题意，掌握判定方法及性质是解题的关键．55．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期末）如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度．在河对岸有一棵高4米的树，树在河里的倒影为，，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点B处时看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面的距离米，米，米，，，，，，视线与水面的交点为D，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度．【答案】7.2米【分析】首先推知，，利用相似三角形对应边成比例求得线段米，则米．【详解】解：∵，，，∴，，∴，∴，即，∴．∵，，∴，∵，∴．∴，即，∴，∴米，∴河的宽度为7.2米．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．56．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，小明同学用自制的直角三角