第十二章 全等三角形 易错必考60题（9个考点）专练（解析版）

第十二章全等三角形易错必考60题（9个考点）专练【精选2023年最新题型训练】易错必考题一、全等图形1．（2023秋·全国·八年级专题练习）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个．【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形，∴周长为2×（3+4）＝1414＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，∴能围出不全等的长方形有3个，故选：A．【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．2．（2023秋·七年级课时练习）有下列说法，其中正确的有(

)①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；③两个正方形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的，反之，是错误的，如②是正确的，①③④是错误的．【详解】解：①错误，不是三角形的图形也能全等；②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同；③错误，边长不同的正方形不全等；④错误，面积相等的两个图形边数不一定相等，也不一定是全等图形．所以正确的只有一个.故选A．【点睛】本题考查全等形的概念和特点，做题时要根据定义进行判断．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为．【答案】6【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.4．（2023·江苏·八年级假期作业）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．【答案】见解析【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同．【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键．易错必考题二、全等三角形的性质1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，，线段的延长线过点E，与线段交于点F，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的内角和定理求得；然后由全等三角形的对应角相等得到．则结合已知条件易求的度数；最后利用的内角和是180度和图形来求的度数．【详解】解：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．2．（2021秋·山西运城·八年级统考期末）如图，中，，，，若恰好经过点，交于，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即，，再得到对应边，再根据等边对等角求出的度数，然后根据三角形内角和定理得到，的度数即可．【详解】∵，∴，，，∴，∴，∴，∴，故选：．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的关系．3．（2022秋·山东日照·八年级校考阶段练习）如图，点在上，下列结论：；；；若，则；其中错误结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据全等三角形的性质对应边相等、对应角相等分别进行判断即可；【详解】解：故正确；即：故错误，正确；由可知：由可知:故正确；共有个错误故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．4．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图，，，点A，D，C在一条直线上，点B，E，C在一条直线上，则．

【答案】30【分析】先利用得到，利用得到，，则利用平角的定义可计算出，，然后利用互余可计算出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，，∴．故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．掌握全等三角形的性质是解决问题的关键．5．（2023·全国·八年级专题练习）如图，，

的延长线交于点F，，则=°．【答案】87【分析】根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出的度数，再根据“对顶角相等”和三角形内角和定理即可求得的度数.【详解】

故答案为：87．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理.熟练掌握以上知识是解题的关键.6．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，．求：(1)的度数．(2)与的周长之和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到，进而得到，再利用已知条件，得出，即可求出的度数；（2）根据全等三角形的性质，得到，，据此即可求出与的周长之和．【详解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：，，，，，和的周长和．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．7．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期末）如图所示，已知，，，交于点M，交于点P．

(1)试说明：；(2)可以经过某种变换得到，请你描述这个变换；(3)求的度数．【答案】(1)见解析(2)绕点顺时针旋转可以得到(3)82°【分析】（1）根据全等的性质，得到，进而得到，即可得证；（2）点与点为对应点，，即可得出结论；（3）根据全等得到由（1）得到，利用三角形的外角的性质进行求解即可．【详解】（1）解：，．．．（2）∵点与点为对应点，，点和点为对应点，，∴绕点顺时针旋转可以得到．（3），∴∵，．【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角．熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．易错必考题三、添加条件使三角形全等1．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）如图，，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有（

）①；②；③；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据三角形全等的判定定理（定理、定理）逐个判断即可得．【详解】解：①在和中，，，则条件①符合题意；②在和中，，，则条件②符合题意；③在和中，，，则条件③符合题意；④在和中，，，则条件④符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】运用全等三角形的判定定理，逐一判定即可．【详解】∵∴，∵，∴添加，不能得出，故A选项符合题意；添加，则，可根据得出，故B选项不符合题意；添加，可根据得出，故C选项不符合题意；添加，可根据得出，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，在下列条件：①；②；③；④中，只补充一个就一定可以判断的条件是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根据等角的补角相等可得，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．【详解】解：∵，∴，①∵，∴（），∴①符合题意；②∵，∴（），∴②符合题意；③∵，∴（），∴③符合题意；④∵，不能判断，∴④不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．4．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线，，，请补充一个条件，使，可以补充的条件是（任意填写一个即可），对应全等的理由是．

【答案】（或或或）（或或或）【分析】在已知条件中有一对直角相等和一组直角边相等，根据全等三角形的判定方法可以补充条件即可．【详解】∵，，∴可再补充，利用可以判定，也可以补充，利用可以判定；也可补充，利用可以判定；也可补充，利用可以判定；故答案为：（或或或）；（或或或）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法和是解题的关键．5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，这个条件可以是，理由是；这个条件也可以是，理由是；这个条件还可以是，理由是．【答案】【分析】条件可以是，可利用判定；条件也可以是，可利用判定；条件还可以是，可利用判定．【详解】解：添加，在和中，，；添加，在和中，，；添加，在和中，，；故答案为：，；，；，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．6．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，要使，还需要添加一些条件（不添加其他字母及辅助线）．

(1)请结合图形补充一个恰当的条件：__________，使，并说明理由；(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．【答案】(1)补充：，证明见解析(2)【分析】（1）补充：，再利用“”证明即可；（2）先证明，再证明，从而可得答案．【详解】（1）解：补充：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查的是添加一个添加证明三角形全等，全等三角形的性质的应用，理解题意，添加合适的条件是解本题的关键．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．

(1)请添加一个条件________使，并说明理由．(2)在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析．【分析】（1）利用判定定理，添加即可判断；（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．【详解】（1）解：添加条件：，理由如下：∵，，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．易错必考题四、结合尺规作图的全等问题1．（2023·全国·八年级专题练习）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（

）A． B．C．若，则 D．点在的平分线上【答案】C【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．【详解】解：由题意可知，，，故选项A正确，不符合题意；在和中，，，在和中，，，，故选项B正确，不符合题意；连接OP，，，在和中，，，，点在的平分线上，故选项D正确，不符合题意；若，，则，而根据题意不能证明，故不能证明，故选项C错误，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，按图示痕迹作，得到．则在作图时，这两个三角形满足的条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据所给条件直接判定即可.【详解】解：由题可得：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）故选：D【点睛】此题考查三角形全等的判定-三边分别相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此题的关键.3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为．【答案】35°/35度【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．【详解】解：连接CD，EF由题目中尺规作图可知：，在和中AH平分故答案为：．【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．4．（2023秋·八年级单元测试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的②当，时，可得到形状唯一确定的③当，时，可得到形状唯一确定的其中所有正确结论的序号是．【答案】②③/③②【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确．如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确．综上：②③正确．故答案为：②③【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．5．（2023·全国·八年级专题练习）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：①画EF=BC；②在线段EF的上方画∠F=∠C；③画DE=AB；④顺次连接相应顶点得所求三角形．(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．【答案】(1)见解析(2)2，；(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；（2）根据所画图形填空即可；（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．【详解】（1）解：如图所示：（2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，故答案为：2，；（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键．6．（2023春·全国·七年级专题练习）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：（1）在OA和OB上分别截取．（2）分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在的内部两弧交于点C．（3）作射线OC，则有．你能指出作法中的道理吗？【答案】见解析【分析】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC．【详解】解：由作法得：OE=OD，CE=CD，而OC为公共边，即OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠AOC=∠BOC．【点睛】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．易错必考题五、全等三角形的有关动点问题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（

）A．2 B．1或 C．2或 D．1或2【答案】B【分析】由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．【详解】解：由题意知，，，，与全等，分两种情况求解：①当时，，即，解得；②当时，，即，解得，，即，解得；综上所述，的值是1或，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点运动，点，都运动到各自的终点时停止.设运动时间为（秒），直线经过点，且，过点，分别作直线的垂线段，垂足为，.当与全等时，的值不可能是（

）A．2 B．2.8 C．3 D．6【答案】C【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．即当P在上，Q在上时；当P在上，Q在上时；当P在上，Q在上时．【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作于点E，于点F，于点D，∵，∴，∵于E，于F．∴，，∴，∵，∴，∵，∴，解得；

∵点Q速度比点P速度快，当点Q运动到C点时，点P还在上，∴当P在上，Q在上时，，此时P、Q重合，∵，，由题意得：，解得；当点Q运动到点A，P在上时，，∵由题意得，，解得．综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿路径向终点运动；点从点出发，沿路径向终点运动．点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点和作于点，于点，则点运动时间为（

）时，与全等．A．1s B．4s C．1s或4s D．1s或3.5s【答案】D【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可．【详解】解：分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，∵，∴，∵，∴，∴，∵与全等，∴，即，；②如图2，P在上，Q在上，∵由①知：，∴，∴；∵，∴此种情况不符合题意；③当P、Q都在上时，如图3，，；④当Q到A点停止，P在上时，此时，则该情况不成立．综上所述，点运动时间为1或，与全等，故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键．4．（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使与全等，则x的值为（

）A．8 B．20 C．10 D．10或20【答案】C【分析】分和，两种情况讨论求解．【详解】解：①当时，则：，∵P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，∴，∴，解得：；②当时，则：，即：，此时：米，∵点C在线段MA上，米，∴，故不符合题意；综上：当时，与全等；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．5．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，点C在线段上，于点B，于点D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，点P，Q同时停止运动．过点P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值不可能是（

）A．15 B．1 C． D．【答案】A【分析】根据全等三角形的性质可得，然后分三种情况根据分别得出关于t的方程，解方程即得答案．【详解】解：当点P在上，点Q在上时，如图，∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，∴，∴，解得：；当点P在上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，∴，∴，解得：；当点P在上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，∴，∴，解得：；综上所述：t的值为1或或．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，正确分类、灵活应用方程思想、熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，在长方形中，，点在线段上，且，动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，同时点在线段上．以的速度由点向点运动，当与全等时，的值为．【答案】或【分析】当与全等时，有两种情况：当时，当时，，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】当与全等时，有两种情况：当时，，，，；动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，点和点的运动时间为：，的值为：；当时，，，，，，．故的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识点，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则．

【答案】或【分析】设运动时间为秒，由题意可知，，，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用全等三角形的性质，分别求出的值，即可得到答案．【详解】解：设运动时间为秒，由题意可知，，，，，①当时，，，，解得：，②当时，，，，解得：，综上可知，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．8．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）如图，在矩形中，cm，cm，点从点B出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为时，与全等．【答案】2或【分析】设运动时间为t，根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当，时；②当，时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可．【详解】解：设点Q从点C出发ts，同时点P从点B出发ts，①当，时，，，，，，解得：，，，解得：；②当，时，，解得：，解得：；综上所述，当或时，，故答案为：2或．【点睛】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，列出方程是解题关键．9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【答案】或【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，，∵，∴①当，时，，此时，解得，∴，此时，点Q的运动速度为厘米/秒；②当，时，，此时，，解得，∴点Q的运动速度为厘米/秒；综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．10．（2022秋·福建泉州·八年级校联考期中）如图，，垂足为点A，厘米，厘米，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以1厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E离开点A后，运动秒时，与全等．【答案】4秒或12秒或16秒【分析】分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况，进行计算即可．【详解】解：①当E在线段AB上，时，，∵，∴，∴，∴点E的运动时间为秒；②当E在BN上，时，∵，∴，∴，∴点E的运动时间为秒；③当E在线段AB上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，时，，，点E的运动时间为秒．故答案为：4秒或12秒或16秒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想分析三角形全等是解决问题的关键．11．（2022秋·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，线段，于点，，射线于点，点从点向点运动，每秒走，点从点沿方向运动，每秒走．若点，同时从点出发，当出发秒后，在线段上有一点，使以点，，为顶点的三角形与全等，求的值．

【答案】5秒【分析】分两种情况考虑：当≌时与当≌时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．【详解】解：当时，，即，解得：；当时，，此时所用时间为10秒，，与点C在线段上矛盾，不合题意，舍去；综上，出发5秒后，在线段上有一点，使以点，，为顶点的三角形与全等．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解本题的关键．12．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动，运动时间为．(1)用含t的代数式表示线段，；(2)若点P，Q同时出发，经过多少秒钟后与是否全等？求出此时t的值及Q点的运动速度；(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿△ABC的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？【答案】(1)，(2)出发或者后与全等，Q点的运动速度分别为，(3)经过，点P与点Q第一次在的边上相遇【分析】（1）根据题意直接列式即可作答；（2）现求出，根据（1）可知：，，在分当时、当时、当或者时、当或者时几种情况讨论，根据全等三角形的性质即可作答：（3）先确定Q点的运动速度，设经过后，P、Q两点相遇，列出一元一次方程，解方程即可求出所需的时间，再计算出P点运动的距离为：，即可最终确定相遇时，P点位置，问题随之得解．【详解】（1）∵点P在线段上以运动，∴，∵，∴，故答案为：，；（2）∵，D为的中点，∴，根据（1）可知：，，当时，则有，，∴，，∴，∴Q点的运动速度为，即出发后，与全等，Q点的运动速度为；当时，则有，，∴，，∴，∴Q点的运动速度为，即出发后，与全等，Q点的运动速度为；当或者时，同理可求出：出发后，与全等，Q点的运动速度为；当或者时，同理可求出：出发后，与全等，Q点的运动速度为；综上：出发或者后与全等，Q点的运动速度分别为，；（3）当Q点的运动速度分别为,P、Q两点的速度相同，两点同时出发时，不可能相遇，当Q点的运动速度时，设经过后，P、Q两点相遇，刚出发时，P、Q两点初始相距，根据题意可得：，解得：，∴经过相遇时，P点运动的距离为：，∵在中，，，∴的周长为：，即，∵，∴，即此时P点在上，∴点P与点Q第一次在的边上，∴经过，点P与点Q第一次在的边上相遇．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，动点几何问题等知识，掌握全等三角形的性质和分类讨论的思想是解答本题的关键．13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：(1)

．（用的代数式表示）(2)当为何值时，？(3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2t(2)(3)存在，2或【分析】（1）根据点的运动速度可得的长；（2）根据全等三角形的性质即可得出即可；（3）此题主要分两种情况①得到，②得到，然后分别计算出的值，进而得到的值．【详解】（1）点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒：∴,故答案案为：；（2）当时，．理由：∵，∵，∴，∴，∴，（3）①当时，∴，∵，∴，∴，，解得：，，，解得：；

②当P时，∴∵，∴，，解得：，

，，解得：

综上所述：当或时，与全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是全等三角形性质的掌握．14．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．(1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．(2)当时，求的值．(3)若，求所有满足条件的值．【答案】(1)时，，时，(2)(3)【分析】(1)根据点F从点B出发的速度和图形解答即可；(2)根据题意列出方程，解方程即可；(3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．【详解】（1）解：当时，，，当时，，．（2）解：由题意知：，当时，，，(舍去)．当时，，，．（3）解：当时，，当时，，当时，，，．当时，，，(舍去）．∴当时，．【点睛】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．易错必考题六、利用全等三角形求角度1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，点分别在上，与相交于点，，，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件证明，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：，，，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，中，，，垂足为D，平分交于E，点F是C关于的对称点，连接．若，则的度数是（）

A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】C【分析】由平分，得到又，，推出，得到，由轴对称的性质可知，，由三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∵F是C关于的对称点，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质，轴对称的性质求出∠EFC的度数．3．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图所示，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为°．

【答案】40【分析】先证明，可得，再利用三角形的外角和的性质可得答案．【详解】解：∵，，，∴，而，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．4．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，已知，，，．

(1)与是否全等？说明理由；(2)如果，，求的度数．【答案】(1)，理由见解析；(2)．【分析】（1）由证明即可；（2）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，然后由平行线的性质得，即可解决问题．【详解】（1）与全等，理由如下：∵，∴，即，在与中，，∴；（2）由()可知，，∴，∴，∵，∴，∴，即的度数为．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，已知．(1)尺规作图：在线段的下方，以点D为顶点，作（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，请说明；(3)若，平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）用尺规作图作一个角等于已知角即可；（2）先找到角相等，最后通过判定方法证明平行即可；（3）根据角平分定义得出角相等，再利用两直线平行，内错角相等求解即可．【详解】（1）解：作，如图，以B为圆心，任意半径画弧交于N，交于M，以D为圆心画弧，交于G，以G为圆心，长为半径画弧，与以D为圆心画的弧交于H，连接并延长，与的交点为F．即为所求．

（2）证明：（已知），（两直线平行，同位角相等），又（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行）（3）解：，（已知），（两直线平行，同位角相等），平分（已知），∴（角平分线的定义），（已知）∴（两直线平行，内错角相等）．【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质和判定，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定及其应用．易错必考题七、利用全等三角形求长度1．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，D，A，E三点在一条直线上，并且有，若，，，则的长为（

）

A．8.5 B．12 C．13.5 D．17【答案】D【分析】利用余角的性质可得，然后利用证明，再利用全等的性质求出，，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，又，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等，求出，．2．（2023春·甘肃陇南·七年级统考期末）如图，，垂足分别是点，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角的余角相等得，再利用证明，得，从而得出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．3．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）如图，平分，，于点E，，，则的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过C作交延长线与F，先根据角平分线的定义和全等三角形的判定与性质，证明和得到，，进而可求解．【详解】解：过C作交延长线与F，

∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，则，故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．4．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在中，为中点，为边上的动点，连接，交的延长线于点，若，则的值是．

【答案】5【分析】由平行线的性质可得，由证明，得到，最后由即可得到答案．【详解】解：，，为中点，，在和中，，，，，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键．5．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为．【答案】【分析】过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可．【详解】解：如图，过点作于点为的中线，，又，在和中，即，，为的中线，又解得：故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题．6．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题：(1)如图，，．①求证：；②猜想，，之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长．【答案】(1)①见解析；②，见解析(2)【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出；（2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果．【详解】（1）解：①，，，，在与中，，；②猜想：，理由：由（1）得：，，，；（2），且，，在和中，，，，，四边形的周长为，，，又的周长为，，，，，，即．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形．易错必考题八、全等三角形中的最值问题1．（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为

边上一动点，当的值最小时，的度数是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在上截取，连接，如图：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：∵，，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解．【详解】解：连接，平分交于点，，，，，且，当点在线段上时，的最小值是，，的最小值为7．故选：

【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．3．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是．

【答案】4【分析】以角平分线构造轴对称型全等模型，根据垂线段最短即可求解．【详解】解：在上取一点，使得，如图所示：

故当时，有最小值，如图所示：

故答案为：4【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系、垂线段最短等知识点．根据条件得出是解题关键．易错必考题九、全等三角形的综合问题1．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图所示，已知是经过顶点的一条直线，分别是直线上两点，且．下面可能得不到的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据三角形的内角和定理，等量代换得到角度相等，再根据三角形形全等的判定方法逐个判断即可．【详解】解：A、∵，∴，∴，∵，，，∴，故A不符合题意；B、∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，故B不符合题意；C、∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，故C不符合题意；D、，，，不能判定三角形全等，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：，注意不能判定全等．2．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，梯形中，，E是的中点，平分，以下说法：①；②；③；④，其中正确的是（

）．A．①②④ B．③④ C．①②③ D．②④【答案】D【分析】过点E作于点F，证明，得到，，，再证明，得到，由此判断③错误；根据判断②正确；根据全等三角形的性质及，得到，由此判断④正确；题中无条件证明，故①错误．【详解】解：过点E作于点F，则，∵E是BC的中点，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故③错误；∵，∴，即，∴，故②正确；∵，，∴，即，故④正确；题中无条件证明，故①错误；正确的有②④故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线及掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，已知中，，以为边作，使，E是边上一点，连接，，连接．下列四个结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如图，延长至G，使，从而构造条件，得到，通过全等或线段的等量代换运算对结论进行判别，从而得到答案．【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M，，，垂直平分，，，,即，，，，在和中，，，，故结论①正确；，，，平分,故结论③正确；，在和中，当时，，则，当时，则无法说明与垂直，故结论②错误；，，，，故结论④正确．综上所述，其中正确的有①③④．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质；解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的是本题的突破口．4．（2023春·湖南长沙·七年级校考期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：；；四边形的面积．其中正确的结论有．

【答案】【分析】根据已知条件，结合图形依据“”可判定，对此可对结论进行判断．由的结论可得出，进而可依据“”判定，由此得，然后根据平角的定义可得出，据此可对结论进行判断．由可知，再根据三角形的面积公式，，然后由，可对结论进行判断，综上所述即可得出答案．【详解】解：在和中，，，结论正确；由可知：，，在和中，，，，，，，结论正确；由可知：，，，又，．结论正确．综上所述：结论正确．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等．5．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于．（1）的度数为．（2）若，则线段的长为．

【答案】/120度8【分析】（1）利用，角平分线的定义，即可得出答案；（2）由题中条件可得，进而得出，通过角之间的转化可得出，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【详解】解：（1），，分别平分，，；故答案为：；（2）如图，在上截取，连接．

平分，在和中，，，，，，在和中，，，，．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在上截取，得出是解题关键．6．（2021秋·江苏南京·八年级南京钟英中学校考期中）如图，在C中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动．(1)点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等；（直接写出答案）(2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数；(3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，则此时______．（直接写出答案）【答案】(1)当时，与的面积相等(2)45°或90°或67.5°或37.5°(3)5【分析】（1）根据题意可知当CP=6时，证△PCD≌△BCD（SAS），即可得出结论；（2）根据题意由（1）得：∠PCD=45°，分两种情况：①点P在AC上，若PC=PD，则∠PDC=∠PCD=45°，则∠CPD=90°；若DP=DC时，∠CPD=∠PCD=45°，若CP=CD，则∠CPD=∠CDP=67.5°；②点P在AD上时，存在DP=DC，则∠CPD=∠PCD，求出∠CDP=105°，由三角形内角和定理得∠CPD=37.5°即可；（3）由题意可知当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，则MP'∥AC，证△PCM≌△P'CM（AAS），得MP=MP'，CP=CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME的值最小，则EP'∥AC，由平行线的性质得∠BEP'=∠A=30°，由直角三角形的性质