2023年人教版高考数学总复习大题规范满分练(四)立体几何综合问

大题规范满分练(四)立体几何综合问题

1.(2021・安阳模拟)如图①，在平面五边形必如中，AD//BC,ADLAB,AD=2BC=2AB,将

弘3沿折起到尸的位置，使得平面为8,底面力腼，如图②，且£为外的中点.

(1)求证：〃〃平面为8；

(2)若PA=PB=6,AB=4,求三棱锥力以方的体积.

【解析】⑴设夕为必的中点，连接硒FB,

因为后为阳的中点，所以EF〃加,EF=\AD,

乙

又因为BC〃AD,AD=2BC,所以EF〃BC,EF=BC,

所以四边形腔尸为平行四边形，所以EC〃BF,

又因为BFu平面PAB,的平面PAB,所以"〃平面PAB；

(2)如图，设。为48中点，连接尸0,OD,过£作胡〃尸。交切于点〃,

因为处=%=6,48=4,所以加_L/3,PO=4yj2,

又因为平面PABL底面ABCD,平面PABC底面ABCD=AB,

所以产入底面/比。而PO〃EH,所以"，底面/比。

所以"是三棱锥A/8C的底面46c上的高，且用RA2吸,

又AD〃BC,ADLAB,BC=AB,

所以S△.AB•BC=gX4X4=8,

乙乙

,11R16A/2

所以/卜BCE=VE-ABC=RS&\BC•EH=~X8X2yj2—&.

ooo

2.（2022•山师附中模拟）已知四棱锥?力筋中，为_1_平面力比》,且为=a,底面力腼是边

长为人的菱形，ZABC=6Q°.

⑴求证：平面4切平面为C

（2）设〃'与6〃交于点。，"为0。中点，若二面角快〃的正切值是2m，求a：6的值.

【解析】⑴因为必，平面/颇，应七平面/时，所以用，物，因为485为菱形，所以力。

工BD,又因为AC^PA=A,所以应LL平面PAC,因为Bk平面PBD,所以平面版_L平面PAC.

⑵过。作OHLPM于H,连接DH,

因为如，平面PAC,所以由三垂线定理可得DHLPM,

所以NOHD是34快〃的平面角，

「#b3b„OHAP

又OD=^-b,OM=~,AM~,且而=~,

ODm416a2+9-2,

TANA0HD=r

-5H=2卜ab=2/，所以a：Q3：4.

3.（2021•泰安模拟）如图，在等腰直角三角形/。尸中，N/=90°,AD=3,B,。分别是仍

加上的点，且比〃E,尸分别是4?,用的中点.现将△皈沿6。折起，得到四棱锥P-ABCD,

连接EF.

(1)证明："〃平面必〃；

⑵是否存在点8,当△咖沿8。折起到ELL四时，二面角AS£的余弦值等于匕？若

5

存在，求出46的长；若不存在，请说明理由.

【解析】⑴作。加〃46交/〃于点也连接掰，取中点M连接4V,FN.

如图，由中位线定理得知〃CM且CM,

因为点后是的中点，所以力£〃0队，

且熊=号CM,WFN〃AE,且外三力£,

所以四边形/牙”是平行四边形，所以9〃AN,

因为明平面为〃4A匕平面为。，所以£F〃平面为〃

⑵存在点3使得二面角门破£的余弦值等于坐，此时13=1.

5

因为BCLPB,且ABCPB=B,

所以凡人平面为6,

又BC//AD,所以ADL平面PAB,

所以为_L/〃，ABLAD,

又PAUB,所以以/作为坐标原点，4〃，/P所在直线分别为x,%z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，

3_____

设48=a,则阳=6C=3—a,由战力8,得0＜水］，必=^9—6a,

所以/!(0,0,0),C(a,3—a,0),Z?(0,3,0),P(0,0,^9-6a),

所以比=(a,—a,0),DP=(0,—3,.9—6a),

设平面AN的法向量为A=(x,y,z),

DC,n=ax—ay=0

则—

DP,n=—3y+z\]9—6a=0

又平面物'的一个法向量为勿=(0,0,1),

依题意，Icos",ni)

解得a=l,即.故存在点反此时44=1.

4.(2021•衡水中学模拟)将长(4而、宽(况)、高(44)分别为4,3,1的长方体点心盒用彩

绳做一个捆扎，有如下两种方案：

方案一：如图(1)传统的十字捆扎；

方案二：如图(2)折线法捆扎，其中A、E=FB=BG=HC、=C、1=JD=DK=LA、=\.

(1)哪种方案更省彩绳？说明理由；

(2)求平面用H与平面G0所成角的余弦值.

【解析】(1)方案②更省彩绳.

原因如下：

方案①中彩绳总长度为1=2X(4+3)4-4=18.

方案②中彩绳总长度为勿=2乂m+6X^2<2X2.5+6X1.5=14.

即加，所以方案⑵更省彩绳.

(2)以点〃为原点，DA,DC,加所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则点以3,1,1),夕(3,3,0),K(l,0,0),G(2,4,0),Z(0,3,1),7(0,1,0),KE=

(2,1,1),KF=(2,3,0),JG=(2,3,0),JI=(0,2,1),

设平面跖T的法向量为(X，y”z),平面677的法向量为2=(如%，zj,

(2xi+必+Zi=0

则由，即＜

12为+3%=0

z?i,脐=0

令-ni•JG=O2%+3%=0

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