高三数学一轮复习曲线与方程文大纲人教版

1.了解解析几何的基本思想．2．了解坐标法.

【考纲下载】第4讲曲线与方程1．曲线的方程和方程的曲线一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)

＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上的

均是这个方程的解；②以这个方程的解为

均是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形)． 提示：看一个方程是否是曲线的方程，曲线是否是方程的曲线，应严格 对照概念中的两个条件，缺一不可．点的坐标坐标的点2．求曲线方程的一般步骤：

(1)建立适当的

，设M(x，y)为曲线上的任意一点；

(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；

(3)用

表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；

(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 提示：求曲线方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明清楚．坐标系坐标3．曲线的交点两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解，可见求曲线的交点问题，就是求方程组的实数解．即如果曲线C1，C2的方程分别是f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，则C1，C2有交点⇔有解．1．已知点A(3，－4)、B(－2，2)、C(2,2)、D(5sinθ，5cosθ)，其中在曲线x2＋y2＝25上的点有(

)

A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：把点分别代入方程x2＋y2＝25验证，只有A、D符合． 答案：B2．下面各组方程中，表示同一曲线的一组方程是(

)A．y＝与x＝y2B．y＝x与＝1C．|y|＝|x|与x2－y2＝0D．y＝lgx2与y＝2lgx

解析：每组方程都可以化为相同的表达式，但是只有C中的x，y的取值范围完全一致，所以选C.

答案：C3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是(

)

A．一个点 B．一条直线

C．两条直线 D．一个点和一条直线 解析：∵x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.

答案：C4．动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是________．解析：设P(x，y)，则|x|＋|y|＝2.它的图形是一个以2为边长的正方形，故S＝(2)2＝8.

答案：8

(1)直接法就是根据题中的等量关系建立等式，将其坐标化，整理得所求轨迹方程．(2)在求出轨迹方程之后，要注意检查轨迹的“纯粹性”和“完备性”，确保轨迹上的点“不多不少”．【例1】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于

B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

思维点拨：如图所示，设M(x，y)，利用建立等式求解．

解：设点M的坐标为(x，y)．∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，∴kPA·kPB=-1,而kPA=，kPB=(x≠1)．∴整理得x+2y-5=0(x≠1)．∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x+2y-5=0.综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.变式1：已知两点M（－2,0）、N（2,0），点P为坐标平面内的动点，满足

求动点P(x，y)的轨迹方程．解：由题意，

两边平方，化简得y2＝－8x.

所以动点P的轨迹方程是y2＝－8x.如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即得所求．【例2】如图所示，已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．思维点拨：连结QP交AB于R，则R是矩形APBQ

的中心．因而可选R的坐标为中间变量，先求R的轨迹方程，再将Q的坐标代入R的轨迹方程中即可．解：设AB

的中点为R，坐标为(x1，y1)，Q点坐标为(x，y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－．又|AR|=|PR|=，所以有即因为R为PQ的中点，所以代入方程得整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程．变式2：已知△ABC的顶点B(－3,0)、C(1,0)，顶点A在抛物线y＝x2上运动，

求△ABC的重心G的轨迹方程．解：设G(x，y)，A(x0，y0)，由重心公式，得

∴

又A(x0，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝x.③

将①，②代入③，得3y＝(3x＋2)2(y≠0)，

即y＝3x2＋4x＋(y≠0)，这就是所求的轨迹方程.若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程．【例3】如图所示，已知圆C：（x+1）2＋y2=8,定点A（1,0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E，求曲线E的方程．解：∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|.又|CN|＋|NM|＝2，∴|CN|＋|NA|＝2>2.∴动点N的轨迹以点C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a＝2，焦距为2c＝2.∴a＝，c＝1.∴曲线E的方程为＋y2＝1.变式3：在△ABC中，A为动点，B、C为定点，

，且满

足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是(

)A.B.C.的左支

D.的右支解析：sinC－sinB＝sinA，由正弦定理得到：|AB|－|AC|＝|BC|＝a(定值)．所以A点的轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为，焦距为|BC|＝a.∴虚半轴长为，由双曲线标准方程得(y≠0)的右支．答案：D【方法规律】

1．求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程．2．求曲线轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点的坐标为(x，y)，然后求x与y的关系．3．在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该分为两个方面：一是用定义法，

(从已知曲线类型、或从距离关系中)能判断到曲线类型时，再用待定系数法求曲线方程；二是，当未知曲线类型时用其它四种方法求曲线方程．

4．仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的求轨迹方法，哪些类型、哪些已知条件适合哪一种方法，要融汇贯通，不可乱用方法！

已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即