电路及磁路课件

电阻电路的等效变换

2.1二端网络等效的概念1、二端网络：由多个元件组成的电路，但只有两个端纽与外部连接。二端网络的性质可以由其端钮的伏安特性表示。2、无源二端网络：内部不含独立源的二端网络，一般可等效为一个电阻。3、有源二端网络：内部含独立源的二端网络，一般可等效为一个电压源和一个电阻的串联，或一个电流源和一个电阻的并联。4、等效二端网络：如果两个二端网络N1和N2端钮上的伏安特性完全相同，则N1和N2等效。注意：1）等效是指N1和N2对外接电路的作用完全相同，即端钮上等效，不是指内部结构相同。2）同一电路，端口不同，则等效电路不同。 因为等效电路在电路中对外部电路的作用完全相同，所以等效电路在电路中可以相互替换。

2．2电阻串、并联电路的等效电路

2.2.1电阻的串联

2.2.2电导的并联

2.2.1电阻的串联

R为串联电阻的等效电阻， 可以证明：R=R1+R2+…+Rk， 简单证明如下，对N1,其伏安关系： U=I×(R1+R2+…+Rk) 对N2,其伏安关系：U=IR ∵N1与N2等效∴R=R1+R2+…+Rk由几个电阻相串联组成的二端网络N1，可以用一个电阻来等效（N2），如右图。2.2.2电导的并联由几个电导并联组成的二端网络，可以用一个电导来等效。等效电导为：G=G1+G2+…+Gk一个由电阻串并联组成的二端网络，也可以用一个电阻来等效。运用电阻串并联等效变换，可以把一个复杂的纯电阻二端网络逐步化简为一个等效电阻。

2.2.3电阻的混联例:如图电路，求a、b端的等效电阻。

2．3实际电压源和实际电流源的电路模型及其等效变换

2.3.1实际电压源的电路模型

2.3.2实际电流源的电路模型

2.3.3两种电源模型的等效变换2.3.4两个结论2.3.1实际电压源的电路模型1、实际电压源用理想电压源和电阻串联作为电路模型，如图。当I=0时，即实际电压源空载时，U=US，称US为空载电压；

当U=0时，即实际电压源短路时，

——短路电流；

当RS=0时，U=US——理想电压源；RS称为实际电压源的内阻。

2、端钮伏安关系式：U=US-IRS2.3.2实际电流源的电路模型1、用理想电流源和电阻并联作为实际电流源的电路模型，如图。

2、端钮伏安关系：I=IS-GSU

当U=0、I=IS，IS为实际电流源端钮短路时输出电流——短路电流；当I=0，即实际电流源开路时，U=ISRS——开路电压；当R→∞，I=IS——理想电流源，RS为实际电流源的内阻。

2.3.3两种电源模型的等效变换实际电压源模型和实际电流源模型可以等效变换。

1、等效的条件：两个网络端钮上的伏安关系相同。

实际电压源模型的伏安关系：

实际电流源模型的伏安关系：

①

②

当US=IRS，RS=RS’（等效条件），①式②式完全相同，两种电源模型等效。

等效的条件：US=IRS，RS=RS’。2、实际电压源模型等效变换为实际电流源模型：注意：电流源参考方向与电压源参考极性一致。

等效条件为：

3.实际电流源模型等效变换为实际电压源模型：

注意：IS和US的参考方向应一致。

等效条件为：

例:如图电路分别求含电流源和电压源的最简等效电路。

2.3.4两个结论 1、与理想电压源并联的元件（电流源或电阻）在求其组成的二端网络的等效电路时可以去掉！

2、与理想电流源串联的元件（电压源或电阻）在求其组成的二端网络的等效电路时可以去掉！

2．4含独立源支路的等效电路2.4.1理想电压源的串联

2.4.2理想电流源的并联2.4.3含独立源和电阻的二端网络的化简2.4.1理想电压源的串联如图，由3个理想电压源串联组成的二端网络N。 VAR:KVL：U-US1-US2+US3=0∴U=US1+US2-US3

可见，N可以用1个理想电压源来等效（参考极性上+下-）， US=US1+US2-US3，US为几个串联电压源的等效电压源。注意：等效时要先确定等效电压源US的参考极性。2.4.2理想电流源的并联如图，由3个理想电流源并联组成的二端网络N。 VAR:KCL：I=IS1+IS2-IS3

可见，N可以用1个理想电流源来等效（参考方向向上）， IS=IS1+IS2-IS，IS为几个并联电流源的等效电流源。

注意：等效时要先确定等效电流源IS的参考方向。

2.4.3含独立源和电阻的二端网络的化简结论：由独立源和电阻串、并联及混联联接组成的二端网络总可以化简为一个电压源和一个电阻的串联组合或一个电流源和一个电阻的并联组合。 化简方法：反复运用电阻的串、并联等效，理想电压源、电流源的串、并联等效，实际电源两种模型的等效。

例:如图电路，求含电压源的最简等效电路。

2．5混联电路的分析

等效化简分析法的基本思想：通过等效变换将电路化简为一个单回路电路或单节偶电路，再利用全电路欧姆定律或弥尔曼定理求解。

例:如图电路，求U。

此电路可认为是广义的单节偶电路，将电导与电压源串联支路用电流源与电导并联支路来等效替代

根据弥尔曼定理，节偶电压

此式称推广的弥尔曼定理，该式的分母是各支路电导的和；分子是各电源流入假定高电位点电流的代数和，包括与电压源和电阻相串联支路等效的电流源的电流。以后课直接用推广的弥尔曼定理求解题目。

2．6含受控源二端网络的化简及含受控源混联电路的分析2.6.1两个结论

2.6.2含受控源二端网络的化简思路

2.6.3含受控源混联的分析

2.6.1两个结论 1、任何由受控源和电阻通过串、并、混联构成的二端网络都可以用一个电阻来等效。 2、任何由受控源、电阻和独立源通过串并、混联构成的二端网络都可以用一个都可以用一个电压源和一个电阻相串联或一个电流源和一个电阻相并联的二端网络来等效。2.6.2含受控源二端网络的化简思路采用外加电压法或外加电流法。1、在二端网络端钮上加上一个电压源或电流源，标出端钮电压、电流的参考方向（尽量取关联）。2、将受控源作为独立源看待，将电路等效化简为单回路电路或单节偶电路。注意在进行等效变换时，应保留控制量所在的支路。3、列写端钮伏安关系，化简为U=IR或U=IR+US的形式。4、画出等效电路。例:如图电路，求等效电阻。

例:求下图二端网络最简等效电路。

2.6.3含受控源混联的分析分析方法：先对电路进行化简，再运用两类约束关系列 方程求解未知量。

例:如图求I。

2．7电阻的星形联接与三角形联接的等效变换

三个电阻可以接成星形，也可以接成三角形，两者可以等效变换。1、Y→△：

当R1=R2=R3=RY，R12=R13=R23=Ry时，有R△=3RY

2、△→Y当R1=R2=R3=RY，R12=R13=R23=R△时，有RY=1/3R△

电路的一般分析方法

3．12b法和支路电流法本节内容主要由学生根据教材自学。2b法思路：一个有b条支路，n个节点的电路，可以对任意n-1个节点列写n-1个独立的KCL方程，对b-n+1个独立的回路，列写b-n+1个独立的KVL方程,还有b个支路伏安关系方程。联立求解2b个独立的方程，可求出b个支路电流和b个支路电压。支路电流法思路：以b个支路电流为变量，列写n-1个独立的KCL方程和b-n+1个以支路电流表示的KVL方程。联立求解b个独立方程，可求出b个支路电流，然后根据伏安关系求出b个支路电压。3．2网孔分析法3.2.1思路3.2.2分析3.2.3例题及注意事项3.2.4分析的步骤和注意事项3.2.1思路

1）假设各个网孔的网孔电流。网孔电流是我们假想的电流，设想每个网孔中各有一个网孔电流（如下图中的Ia、Ib、Ic）在流动。 2）以网孔电流为变量，列写各网孔的KVL方程。 3）

联立求解，可求出各网孔电流 4)再根据伏安关系求出各支路电压。

3.2.2分析

如图所示电路中，有三个网孔电流，方向均取顺时针。以网孔电流的参考方向为绕行方向，列写各网孔的KVL方程:

式中：1）R11、R22、R33为网孔1、2、3的自电阻，为各网孔内所有电阻之和；2）R12、R13、R21等为两个相邻网孔的互电阻，为两相邻网孔公共支路的电阻之和。电路不含受控源时，Rij=Rji，且为负值（因为网孔电流流过公共支路时方向正好相反）；3）US11、US22、US33分别表示沿网孔电流方向上，各网孔电压源电压升的和。网孔方程的一般形式：本网孔电流×自电阻+∑（相邻网孔电流×互电阻）=沿本网孔电流方向电压源电压升之和本网孔电流×自电阻-∑（相邻网孔电流×公共电阻）=沿本网孔电流方向电压源电压升之和

3.2.3例题及注意事项

1）如果电路中含有电流源支路，应尽量将该支路移至某个网孔的边界支路。此时，该网孔的网孔电流就是该电流源的电流，可以少列一个网孔方程。

例:

求支路电流I1、I2

2）如果电路中所含的电流源支路不能移到边界位置，就要在该电流源两端假定一个电压U后才能列写网孔方程。（这样多出一个未知数，要补充一个方程）。

例:列出求解网孔电流Ia、Ib、Ic所需的方程组

3）网孔分析法用于分析含受控源的电路。

例3-3用网孔分析法求输入电阻Ri3.2.4分析的步骤和注意事项

1）当电路中含有电流源（含受控电流源）时，应尽量把电流源移到边界支路上去，或者进行等效变换，否则，一定要在电流源两端假设一个电压，并标出参考极性，在列写KVL方程时，必须把这个电压包括在内，并要补充一个KCL方程。 2）假设各网孔电流的参考方向，方向尽量取一致。

3）根据规律，分别写各网孔的网孔方程，注意互电阻的正负号，流过互电阻的两个网孔电流方向相同时取正号，相反时取负号。4）当电路含有受控源且控制量不是网孔电流时，必须补充一个方程。 5）

联立求解各网孔电流。 6）由网孔电流和支路的伏安关系求各支路的电流和电压。

3．3节点分析法3.3.1思路3.3.2分析3.3.3例题及注意事项3.3.4分析步骤和注意事项3.3.1思路

节点分析法是以电路中各节点电压为求解量的一种分析方法。1）

选择电路中的某一节点为参考点。2）

以各节点电压（各节点对参考点的电压降）为变量列写KCL方程。3）

联立求解各节点电压。4）

续求其他量。3.3.2分析

选节点4为参考点，有三个节点电压U1、U2、U3。

列写各节点的KCL方程:

式中：G11、G22、G33分别为节点1、节点2、节点3的自电导，为与各节点相联的电导之和；G12

、G21、G23、G31、G32为两节点之间的公共电导，称互电导，为负值。不含受控源时，Gij=Gji。

节点方程规律

自电导×本节点电压+∑（互电导×相邻节点电压）=与该节点相联接的流入该节点的电流源电流之和。或：自电导×本节点电压-∑（公共电导×相邻节点电压）=与该节点相联接的流入该节点的电流源电流之和。

注意：与电流源相串联的电阻不计入自电导和互电导之中。

3.3.3例题及注意事项

1）如果电路中含有电压源和电阻串联的支路，可将其等效为电流源和电阻并联的形式。

例3-4用节点分析法求U、I1、I2和I3

2）若电路中含有理想电压源支路，可选电压源的一端作为参考点，这样可以少列一个节点方程。

例:如图，求各支路电压。

3）若电路中所含的理想电压源两端都不与参考点相连，则应在该电压源所在支路假设一个电流I，列写节点方程时要把I当电流源考虑，还要补充一个KVL方程。

例:如图，求各支路电压。

3.3.4分析步骤和注意事项

1）指定参考节点并标出，其余节点依次标上序号。电路中有无伴电压源时，选择他的一端为参考点，这样已知一个节点电压；如果无伴电压源在两个独立节点之间，可在该电压源支路假定一个电流，列写节点方程时计入该电流，并补充一个KVL方程。2）根据规律列写各节点电压方程，注意自电导总是正的，负电导总是负的。3）当电路中含有受控源时，将受控源作为独立源看待，按一般形式列写节点方程，但受控源的控制量需用节点电压表示。4）联立求解各节点电压。5）由解得的节点电压求出其他支路电压或电流。

线性电路的几个定理

线性电路:

是指除独立源之外，由线性元件（电阻、受控源等）组成的电路。4．1叠加定理

1、叠加定理的内容： 任一线性电路中任一支路的电流或电压都可以看成是电路中各个独立源单独作用时在这条支路所产生的电流分量或电压分量的和。 注意：各独立源单独作用是指其他独立源置零（电压源短路，电流源开路）。

2、叠加定理的基本性质：1）可加性：I1=I1′+I1″，即某一支路的电流或电压是各个电源单独作用时产生的分量的代数和；2）齐次性：I1′=k1IS、I1″=k2US，即线性电路单个激励时，响应和激励成正比，激励扩大或缩小几倍，则响应也相应扩大或缩小几倍。3）应用迭加定理只能用来求支路的电压或电流，不能直接用来求功率。4）对于含不同类型电源的电路必须用迭加定理来求解。5）对受控源的处理：受控源不能单独作用于电路（因受控源不能脱离独立电源单独对电路起作用）；各独立源单独作用时，受控源必须保留在电路中，其控制量须用控制分量表示。

3、叠加定理的应用

例1如图。例2如图，N为线性电阻和线性受控源组成的网络。已知当Us=1V，Is=1A时，U2=0；当Us=10V，Is=0A时，U2=1V；求，U2=？

4．2戴维南定理

1、戴维南定理的内容：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电压源和一个电阻串联的二端网络来等效。其中电压源等于该网络的开路电压Uoc，串联电阻R0等于二端网络中所有电源都置零（理想电压源短路，理想电流源开路）后所得到的无源网络的等效电阻。

3、用戴维南定理求解电路的方法断开待求量所在支路，求出二端网络的戴维南 等效电路，然后将待求量所在支路接回，就得 到一个但回路电路，继续求解。

4、求解戴维南等效电路的方法1）

等效变换。2）外加电压法或外加电流法，列写端钮VAR,写成 U=Uoc+IR0的形式，再画出等效电路。3）分步法，即分别求出Uoc和R0，再画出等效电路。

其中方法2）、3）为含受控源的二端网络R0时应采用的方法。

例1证明

例2电路如图所示，应用戴维南定理，求I。

例3电路如图所示。用戴维南定理求I。

4．3诺顿定理

1、诺顿定理的内容：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流源和一个电阻并联的二端网络来等效。其中电流源等于该网络的短路电流Isc，串联电阻R0等于二端网络中所有电源都置零（理想电压源短路，理想电流源开路）后所得到的无源网络的等效电阻。2、求解诺顿等效电路的方法：可根据电源等效变换的原则，由戴维南等效电路求得诺顿等效电路，也可以分别求ISC、R0的方法来得到诺顿等效电路。4．4最大功率传输定理

1、分析： 如图，某实际电源（US、RS一定）带一可调负载，则

可见，在RL=0和RL=∞之间存在着一个使RL的功率为最大的电阻值，在这点上有

，根据此式可求出使PL最大的RL值。

2、结论：当负载电阻和电源内阻相等时，负载从给定电源中可获得最大功率——最大功率传输定理。

RS=RL——称为最大功率匹配条件

此时

3、推广：一个含源的二端网络可用它的戴维南等效电路来代替，最大功率传输定理又可叙述为：由线性二端网络传输给可变负载RL的功率为最大的条件是：负载RL和该二端网络和戴维南等效电阻R0相等，此时

4、注意1）负载获得最大功率的条件是US和RS不变，如果RS可变，则负载获得最大功率的条件将是RS=0。2）从负载获得最大功率的角度看，上述匹配是最佳的状态。但从电路功率的角度看，上述状态不是最佳的，因为效率只有50%。

例：如图电路，负载RL为多大时取得最大功率，最大功率是多少？

正弦交流电路的功率6正弦交流电路的功率6.1

R、L、C元件的功率和能量

1.电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为pR(t)=u(t)I(t)设流过电阻元件的电流为

IR(t)=ImsinωtA其电阻两端电压为

uR(t)=ImRsinωt=UmsinωtV则瞬时功率为pR(t)=u(t)i(t)=2URIRsin2ωt=URIR（1-cos2ωt）W由于cos2ωt≤1,故此

pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0

其瞬时功率的波形图如6-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）≥0，说明电阻元件是耗能元件。图6-10电阻元件的瞬时功率电阻的平均功率

可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。2.电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为

则电感电压为：

其瞬时功率为

上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形图如图6-11所示。

图6-11电感元件的瞬时功率

从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t)为负时，电感元件向外释放能量。pL(t)的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。电感消耗的平均功率为：

电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。

3．电容元件的功率在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为:

则电容电压为：

其瞬时功率为：uc

(t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图6-12所示。图6-12电容元件的瞬时功率

从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。电容的平均功率也为零，即：

电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。

6.26.36.4二端网络的功率1.瞬时功率在图6-13所示二端电路中，设电流i(t)及端口电压u(t)在关联参考方向下，分别为：则二端电路的瞬时功率为：

图6-13上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图6-14所示。

图6-14二端RLC电路的瞬时功率从图上看出，u(t)或i(t)为零时，p(t)为零；当二者同号时，p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时，p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。2.有功功率（也叫平均功率）和功率因素

式中称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差，也叫功率因素角。

2．功率因数的意义

功率因数是电力系统很重要的经济指标。它关系到电源设备能否充分利用。为提高电源设备的利用率，减小线路压降及功率损耗，应设法提高功率因数。3．提高功率因数的方法提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器。感性负载并联电容器后，它们之间相互补偿，进行一部分能量交换，减少了电源和负载间的能量交换.功率因数提高并C后并联电容分析:j1j2LRC+_再从功率这个角度来看:有功：UILcosj1=UIcosj2无功：UILsinj1>

UIsinj24.

感性负载提高功率因数的原理可用图说明。补偿容量的确定：j1j2补偿容量不同全欠过已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后)。要使功率因数提高到0.9,求并联电容C。例.P=20kWcosj1=0.6+_CLRC+_解：j1j2补偿容量也可以用功率三角形确定：j1j2PQCQLQ3.无功功率、视在功率无功功率用Q表示，定义

通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，即

S=UI4.有功，无功，视在功率的关系：有功功率:P=UIcosj单位：W无功功率:Q=UIsinj单位：var视在功率:S=UI

单位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_ºº+_功率三角形阻抗三角形电压三角形5.

复功率负载+_记为复功率，单位VA无功功率

单位:乏(var)一般情况下：复功率也可表示为6：复功率守恒已知如图，求各支路的复功率。例.+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：6.5正弦交流电路中的最大功率

以如图所示的电路相量模型为例，分析在US、ZS给定的条件下，负载ZL获得最大功率的条件。其中由图可知，电路中电流相量为电流的有效值为

负载吸收的功率

有内阻抗的交流电源

负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关,下面分两种情况进行讨论。

1.负载的电阻和电抗均可调节从式(6.8.1)可见，若RL保持不变，只改变XL，当XS+XL=0时，即XL=－XS，PL可以获得最大值，这时(6.8.1)

再改变RL，使P

L获得最大值的条件是即

得RL=RS，因此，负载获得最大功率的条件为故即

负载的阻抗与电源的内阻抗为共轭复数的这种关系称为共轭匹配。此时最大功率为(6.8.2)(6.8.3)

2．负载为纯电阻

此时，ZL=RL，RL可变化。这时式(3——47)中的XL=0，即(6.8.4)PL为最大值的条件是

例在图所示的正弦电路中，R和L为损耗电阻和电感。实为电源内阻参数。已知,R=5Ω，

L=50μH。

RL=5Ω，试求其获得的功率。当RL为多大时，能获得最大功率?最大功率等于多少?即(6.8.5)(6.8.6)

解电源内阻抗为设电压源的相量为电路中的电流为负载获得的功率为当时，模匹配，能获得最大功率，即

三相电路§7-1三相电源三相电路在生产上应用最为广泛。发电、输配电和主要电力负载，一般都采用三相制。三相交流发电机是产生正弦交流电的主要设备。NSNSNSNSNSNSNSNSNSNSNSNSNS三相交流发电机由三个对称的绕组组成，在空间上彼此相差120

，它们的始端记为A、B、C，末端记为X、Y、Z。三相对称电动势的表达式t0eAeBeC

XAYCBZSN+•++••

XAYCBZSN+••+•+

XAYCBZSN+•++••

XAYCBZSN+••+•+

XAYCBZSN+•++••

XAYCBZSN+••+•+

XAYCBZSN+•++••

XAYCBZSN+••+•+

XAYCBZSN+•++••

XAYCBZSN+•++••

XAYCBZSN+•++••

XAYCBZSN+••+•+

XAYCBZSN+•++••A相B相C相三相对称电动势的相量表示法与前面瞬时值表示法和波形曲线表示法对应三相对称正弦交流电也可用相量表示法表示：根据以上三种表示法都可以求得，对称三相交流电的任意瞬时值之和恒为0。发电机三相绕组的联接发电机三相绕组通常将三个末端接在一起，该点成为中点或零点(N)。即星形(Y)接法。CeAeBeCuBuCuAuABuBCuCAABNANBC三个始端A、B、C引出三根端线，加上中点引出的总线，称为三相四线制。相电压：每相绕组两端的电压，即端线与中先线之间的电压。其有效值为UA、UB、UC，一般用Up表示。线电压：任意两端线之间的电压。其有效值为UAB、UBC、UCA，一般用Ul表示。线电压与相电压的关系由电压瞬时值的关系可知30°由于它们都是同频率的正弦量，都可用有效值相量表示，即根据相量图，线电压与相电压的有效值关系可得即，由此，星形联接的发电机或变压器可以输出两种电压，如：220V和380V。线电压越前与相电压相位30°。§7-2.负载星形对称联接的三相电路三相电路的分析方法与单相基本一致。⑴根据实际电路画出电路模型图；⑵选择电压或电流的参考方向；⑶根据基本定律和分析方法求解电路i～u的关系；⑷再进一步确定三相功率。三相电路的负载有两种联接方法——星形(Y)联接和三角形(

)联接ABCN右图即是“电灯、电动机负载的星形联接”。负载电路的星形联接我国供电系统提供三相对称电源采用三相四线制，相电压为220V/线电压为380V，负载接入电路必须满足其电压的额定值。一般家用电器多为单相负载，国标规定为220V，应接入电源的端线与中线之间。这种情况一般构成单相交流电路，可应用第三章的分析方法进行讨论。但是各相负载对电源构成三相星形联接，应属于三相电路。对星形联接的三相电路，可就其各单相情况分别讨论，然后再总体分析三相负载的电流和电压以及功率等量。|ZA||ZB||ZC|iNiAiBiCuAuBuCACB星形联接电路中，负载的相电流等于电源的线电流线电压与相电压的关系为三相星形负载的电流计算对于星形联接的三相电路,每相负载中的电流为负载电路的星形联接各相负载的电压与电流之间的相位差分别为中线电流可由相量式表示如下：可用各个线电流的相量几何关系进行求和计算。对称负载星形联接电路的计算所谓对称负载应满足以下条件：和由于三相电压也是对称的，所以负载电流亦对称由此可知，此时总线电流等于零，即及既然中线没有电流通过，中线也就不需要了。由此，演变成星形接法的三相三线制电路。负载电路的星形联接在对星形联接三相对称电路进行计算时，一般只计算一相即可。例负载电路的星形联接一星形联接的三相对称负载电路，每相的电阻R=6Ω，感抗XL=8Ω。电源电压对称，设试求电流。|Z||Z||Z|iNiAiBiCuBuAuC解因负载对称，故只计算一相电路。由题意，相电压有效值UA=220V，其相位比线电压滞后30°，即A相电流在A相，电流iA比电压uA滞后

角所以，得根据对称关系，其它两相电流为负载电路的星形联接

相电压相量可分别表示为

相电流相量可分别表示为

由几何关系可求得中线电流为零，本题与无中线情况相同。星形联接负载对电源的要求：三相负载的相电压必须对称。若负载不对称而又没有中线时，负载的相电压就不对称。偏离电源相电压的额定值，过高或过低的电源相电压对负载是有危害的。中线的作用就在于使不对称的星形联接负载得到对称的相电压。为保证这种对称性，就不能让中线断开。因此，三相电源的中线内不接入熔断器或闸刀开关。§7-3.负载三角形对称联接的三相电路负载三角形联接的三相电路如右图：ABCiBiCuABuBCuCAiABiBCiCA|ZAB||ZBC||ZCA|iA每相负载的阻抗分别为|ZAB|、|ZBC|、|ZCA|。图中各相负载都接在电源的线电压上，负载的相电压与电源的线电压相等。不论负载是否对称，其相电压总是对称的，即UAB=UBC=UCA=Ul=Up各相负载相电流的有效值分别为各相负载的电压与电流的相位差分别为负载的线电流可由克希荷夫定律列式计算：如果负载对称，则|ZAB|=|ZBC|=|ZCA|=|Z|和

AB=

BC=

CA=

。此时，负载电流也是对称的。对称负载的线电流与相电流的关系由于负载对称，可根据线电流与相电流的关系作出相量图。显然线电流也是对称的，在相位上比相应的相电流滞后30°30°根据相量图，线电流的大小为I

l=2Ipcos30º=√¯¯Ip

3作为常见负载的电动机，其三相绕组可以接成星形，也可以接成三角形；而照明负载，一般都接成有中线的星形。§7-4.不对称三相电路通常，不对称三相电路，指的是负载不对称，而电源仍是对称的。相电压为Up=220V的对称电源；各相负载为电灯组，在额定220V电压下各相电阻分别为RA=5Ω,RB=10Ω,RC=20Ω。试求负载的相电压、负载电流及中线电流。负载电路的星形联接解例RARBRCiNiAiBiCuAuBuCACB

虽然负载不对称，因中 线的存在，负载相电压与电源的相电压相等也是对称的，有效值亦为220V。可用复数法表示为：及用复数法计算，求中线电流比较容易。先算各相电流：进而，根据电路的电流正方向规定，中线电流为：例线电压为380V的三相对称电源，各相电阻分别为RA=5Ω,RB=10Ω,RC=20Ω，无中线。试求负载的相电压、负载电流。RARBRCABCiAiBiCuaN'ubuc由线电压数值可知相电压应为220V，设A相电压则B、C相电压分别为欲求各相电压及电流，应用节点电压法先求负载中点电位即解借助相量图，计算中点电位，分子三项表示为三个相量求和，从而得：进而各相电流为§7-5.三相功率不论负载是星形联接还是三角形联接，电路总的有功功率必定等于光相有功功率之和。

当负载对称时，各相的有功功率都是相等的。因此三相总功率为对于星形对称负载对于三角形对称负载三相对称负载的有功功率无功功率和视在功率为例对称负载联成三角形，已知电源电压Ul=220V,安培计读数Il=17.3A,三相功率P=4.5kW。试求：每相负载的电阻和感抗；当AB相断开时，各安培计的读数和总功率；当A线断开时，求各安培计的读数和总功率。ABCiAiBiCAAAABC解由题意，视在功率根据得负载相电流负载阻抗为每相电阻和感抗为为1.中所求；对于2.中，AB断开不影响另两相负载，A、B两线的安培计读数等于负载的相电流，C线的安培计读数不变。即AC和BC间负载功率不变，AB间功率为0，则总功率为对于3.中的A线断开，其安培计读数为0。此时电路变成一单相电路。总阻抗|Z"|=44/3

B和C线上安培计的读数为则总功率为

互感与理想变压器8.1耦合电感元件8.1.1耦合电感的基本概念图8.1-1耦合电感元件φ12≤φ22,φ21≤φ11，所以图8.1-2耦合系数k与线圈相互位置的关系8.1.2耦合电感线圈上的电压、电流关系图8.1-3磁通相助的耦合电感图8.1-4磁通相消的耦合电感当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端，用标志“·”或“*”表示。图8.1-5互感线圈的同名端图8.1-6磁通相消情况互感线圈

图8.1-7互感线圈同名端的测定

例8.1-1图8.1-8(a)所示电路，已知R1=10Ω，L1=5H,L2=2H,M=1H，i1(t)波形如图8.1-8(b)所示。试求电流源两端电压uac(t)及开路电压ude(t)。图8.1-8例8.1-1用图

解由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R2上电压为零，L2上自感电压为零，L2上仅有电流i1在其上产生的互感电压。这一电压也就是d,e开路时的电压。根据i1的参考方向及同名端位置，可知在0≤t≤1s时(由给出的i1(t)波形写出)

在1≤t≤2s时在t≥2s时

例8.1-2

图8.1-9所示互感线圈模型电路，同名端位置及各线圈电压、电流的参考方向均标示在图上，试列写出该互感线圈的电压、电流关系式(指微分关系)。图8.1-9例8.1-2用图解§8-2含耦合电感的正弦交流电路的分析

一、基本分析分析含耦合电感的正弦交流电路，可以将耦合电感看作是两条支路，每条支路均由两个元件组成。一个元件是本线圈的自感抗，体现线圈的自感电压，一个元件是受控电压源，体现线圈中的互感电压。控制量是产生这个互感电压的另一个线圈的电流的相量，控制系数为互感。图8.2-18.2.1耦合电感的串联等效图8.2-2互感线圈顺接串联二、举例说明含耦合电感的正弦交流电路的分析

用耦合电感的含受控源等效电路代替原耦合电感后的电路为∴L=L1+L2+2M8.2-2

图8.2-3(a)为互感线圈的并联，其中a,c端为同名端，求端子1、2间的等效电感Leq。图8.2-3互感线圈并联解

应用互感T型去耦等效，将(a)图等效为(b)图(要特别注意等效端子，将(a),(b)图中相应的端子都标上)。应用无互感的电感串、并联关系，由(b)图可得8.3空心变压器分析8.3.1空心变压器电路

图8.3-1空心变压器电路在电工技术中，常需要用变压器作为能量传输器件或信号转换器，变压器一般由两个或两个以上有磁耦合的线圈组成。接电源——初级（原边）线圈

接负载——次级（副边）线圈

由KVL得8.3.2空心变压器的等效电路分析图8.3-2初级等效电路设次级回路自阻抗从初级端看的输入阻抗

应当清楚，该等效电路必须在求得了初级电流的前提下才可应用来求电流,特别应注意的是，等效源的极性、大小及相位与耦合电感的同名端、初,次级电流参考方向有关图8.3-3次级等效电路

例8.3-1互感电路如图8.3-4(a)所示，使用在正弦稳态电路中，图中L1、L2和M分别为初级、次级的电感及互感。将互感电路的次级22′短路，试证明该电路初级端11′间的等效阻抗其中图8.3-4例8.3-1用图证明(一)

由图可知证明(二)

例8.3-2

图8.3-5(a)所示互感电路，已知R1=7.5Ω,ωL1=30Ω,=22.5Ω,R2=60Ω,ωL2=60Ω,ωM=30Ω,=15∠0°V。求电流R2上消耗的功率P2。图8.3-5例8.3-2用图解8.4.1耦合电感的T型等效1.同名端为共端的T型去耦等效图8.4-1同名端为共端的T型去耦等效8.4耦合电感的去耦等效电路分析法2.异名端为共端的T型去耦等效图8.4-2异名端为共端的T型去耦等效

以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法，它们适用于任何变动电压、电流情况，当然也可用于正弦稳态交流电路。应再次明确，无论是互感串联二端子等效还是T型去耦多端子等效，都是对端子以外的电压、电流、功率来说的，其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数、互感系数有关，而且还与同名端的位置有关。

例8.4-1

图8.4-3(a)为互感线圈的并联，其中a,c端为同名端，求端子1、2间的等效电感Leq。图8.4-3互感线圈并联解

应用互感T型去耦等效，将(a)图等效为(b)图(要特别注意等效端子，将(a),(b)图中相应的端子都标上)。应用无互感的电感串、并联关系，由(b)图可得

例8.4-2

如图8.4-4(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈，已知us(t)=2cos(2t+45°)V，L1=L2=1.5H,M=0.5H，负载电阻RL=1Ω。求RL上吸收的平均功率PL。图8.4-4含有互感的正弦稳态电路解8.5理想变压器8.5.1理想变压器的三个理想条件

理想变压器多端元件可以看作为互感多端元件在满足下述3个理想条件极限演变而来的。条件1：耦合系数k=1,即全耦合。条件2：自感系数L1、L2无穷大，且L1/L2等于常数。条件3：无损耗。8.5.2理想变压器的主要性能图8.5-1变压器示意图及其模型1.变压关系

若u1,u2参考方向的“+”极性端都分别设在同名端，则u1与u2之比等于N1与N2之比。(8.5-2)(8.5-1)

在进行变压关系计算时是选用(8.5-1)式或是选用(8.5-2)式决定于两电压参考方向的极性与同名端的位置，与两线圈中电流参考方向如何假设无关。图8.5-2变压关系带负号情况的模型2.变流关系图8.5-3变流关系带负号(8.5-3)设电流初始值为零并对(6.4-6)式两端作0～t的积分，得在进行变流关系计算时是选用(8.5-4)式还是选用(8.5-5)式取决于两电流参考方向的流向与同名端的位置，与两线圈上电压参考方向如何假设无关。(8.5-5)(8.5-4)图8.5-4变流关系不带负号

理想变压器不消耗能量，也不贮存能量，所以它是不耗能、不贮能的无记忆多端电路元件。3.变换阻抗关系图8.5-5推导理想变压器变换阻抗关系用图

理想变压器次级短路相当于初级亦短路；次级开路相当于初级亦开路。(1)理想变压器的3个理想条件：全耦合、参数无穷大、无损耗。

(2)理想变压器的3个主要性能：变压、变流、变阻抗。

(3)理想变压器的变压、变流关系适用于一切变动电压、电流情况，即便是直流电压、电流，理想变压器也存在上述变换关系。

(4)理想变压器在任意时刻吸收的功率为零，这说明它是不耗能、不贮能、只起能量传输作用的电路元件。

例8.5-1

图8.5-6(a)所示正弦稳态电路，已知

(1)若变比n=2,求电流以及RL上消耗的平均功率PL;

(2)若匝比n可调整，问n=?时可使RL上获最大功率，并求出该最大功率PLmax。图8.5-6例8.5-1用图解(1)(2)改变变比n以满足最大输出功率条件例6.4-3

图6.4-8电路，求ab端等效电阻Rab。图6.4-8例6.4-3用图解

磁路与铁芯线圈电路§9-1.磁场的基本物理量对磁场特性的描述，已在大学物理中进行了详尽的讨论。这里将对几个基本物理量做以下复述。一、磁感应强度磁感应强度

B

是表示磁场空间某点的磁场强弱和方向的物理量。它是矢量。磁场对电流(或运动电荷)有作用，而电流(或运动电荷)也将产生磁场。电流(或运动电荷)电流(或运动电荷)磁场磁感应强度B

的大小及方向：电流强度为I

长度为l

的电流元，在磁场中将受到磁力的作用。实验发现，力的大小不仅与电流元I·l

的大小有关，还与其方向有关。当l

的方向与B

的方向垂直时电流元受力为最大F=Fmax，此时规定，磁场的大小磁场的方向，由三个矢量成右旋系的

的关系来定义。B的单位为特斯拉(T)当然，对磁感应强度的定义也可从运动电荷的角度进行定义。SNlIlI同理，三个矢量也构成右旋系关系。如洛仑兹力公式所表示二、磁通磁感应强度B

在面积S

上的通量积分称为磁通如果是均匀磁场，即磁场内各点磁感应强度的大小和方向均相同，且与面积S

垂直，则该面积上的磁通为或故又可称磁感应强度的数值为磁通密度。如果用磁力线描述磁场，磁力线的密度就反映了磁场的大小。通过某一面积的磁力线总数应表示通过该面积的磁通的大小。由于磁通的连续性，磁力线是闭合的空间曲线。磁通的单位是韦伯(Wb)，在工程中常用电磁制单位麦克斯韦(Mx)，两者关系为根据电磁感应公式磁通的单位为伏·秒(V·s)，由此，磁感应强度的单位也可表示为韦伯每平方米

(Wb/m2)。三、磁场强度磁场强度H是计算磁场时常用的物理量，也是矢量。它与磁感应强度矢量的关系为工程上常根据安培环路定律来确定磁场与电流的关系上式左侧为磁场强度矢量沿闭合回线的线积分；右侧是穿过由闭合回线所围面积的电流的代数和。电流的符号规定为：闭合回线的围绕方向与电流成右旋系时为正，反之为负。以环形线圈为例，计算线圈内的磁场强度。xI

SHx线圈内为均匀媒质，取磁力线作为闭合回线，且以磁场强度的方向为回线的绕行方向。于是而其中N为线圈的匝数；Hx

是半径为x处的磁场强度。乘积IN是产生磁通的原因，称为磁动势，用F

表示。单位是安培四、磁导率磁导率μ是表示磁场空间媒质磁性质的物理量，是物质导磁能力的标志量。前面已导出环形线圈的磁场强度H

，可得磁感应强度B为磁导率的单位真空磁导率μ0：实验测得，真空的磁导率相对磁导率：某种物质的磁导率μ与真空磁导率μ0的比值称为相对磁导率，用μr表示。上式说明，在同样电流的情况下，磁场空间某点的磁感应强度与该点媒质的磁导率有关，若媒质的磁导率为μ，则磁感应强度B

将是真空中磁感应强度的μr倍。自然界的所有物质可根据磁导率的大小，大体上可分为磁性材料和非磁性材料两大类。非磁性材料的相对磁导率为常数且接近于1；磁性材料的相对磁导率则很大。§9-2.磁路的基本概念和其基本规律为了使励磁电流产生尽可能大的磁通，在电磁设备或电磁元件中要放置一定形状的铁心。绝大部分磁通将通过铁心形成闭合路径——磁路。一、磁路的基本物理量1.磁通势F：某一线圈的电流I与其匝数N的乘积。 F=IN单位：（A）磁通势F的方向由产生它的线圈电流按右手定则确定2．磁压降Um：某一磁路段中的磁场强度H与磁路长度l的乘积

Um=Hl单位：（A）磁压降的方向与磁场强度H的方向一致1.磁通的连续性原理（KCL)对于磁路中的任一闭和面，在任一时刻，穿过该闭和面的各分支磁路的磁通的代数和等于零。Φ1+Φ2+Φ3=0

1232.磁路中的安培环路定理(KVL)

对于磁路中的任一闭和路径，在任一时刻，沿该闭和路径中的各段磁压降之和等于围绕此闭和路径的所有磁通势之和。二、磁路中的基本定律在具体应用此定律时，闭和路径所限定的面积的方向可由路径方向的右手定则确定。公式等号右边的正负号为：当电流的方向与该面积的方向一致为正号，不一致为负号。图示为交流接触器的磁路，磁通经过铁心和空气隙而闭合。得出或3.磁路欧姆定理注：由于磁性材料是非线性的，磁路欧姆定律多用作定性分析，不做定量计算。式中：F=IN称为磁动势，此为产生磁通的激励；Rm为磁阻，是磁路对磁通具有阻碍作用的物理量；l为磁路的平均长度；S为磁路的截面积。上式与电路中的欧姆定律在形式上相似，与磁路对照如下：磁路电路磁动势F磁通Φ磁感应强度B磁阻R=l/S电动势E电流I电流密度J电阻R=l/γSNI

+–EIR§9-3.线性磁路的计算

计算磁路问题时，可以应用上面介绍的磁路欧姆定律，但由于磁路的磁导率μ不是常数(随励磁电流而变)，往往要借助于磁场强度H这个物理量。或若磁路不均匀，由不同材料构成，则磁路的磁阻应由不同的几段串联而成，即I

0S0S1

1l1S1

2l2S2右图所示继电器的磁路就是由三段串联气隙中的磁场强度H0B0的单位为特斯拉，若用高斯为单位，则I

0S0S1

1l1S1

2l2S2然后计算各段磁路的磁压降Hl，进而求出磁路的磁动势，应用磁路欧姆定律对磁路进行分析。例一均匀闭合铁心线圈，匝数为300，铁心中磁感应强度为0.9T，磁路的平均长度为45cm,I

lS试求：(1)铁心材料为铸铁时线圈中的电流；(2)铁心材料为硅钢片时线圈中的电流。解：先从磁化曲线中查出磁场强度的H值，然后再计算电流。(1)H1=9000A/m，(2)H2=260A/m，可见由于所用铁心材料不同，要得到相同的磁感应强度，则所需要的磁动势或励磁电流是不同的。因此，采用高磁导率的铁心材料可使线圈的用铜量大为降低。§9-4.铁磁物质的磁特性磁性材料主要是指由过度元素铁、钴、镍极其合金等材料。它们主要的磁性能如下。一、高磁导率磁性材料的磁导率很大，μr>>1，可达102~105量级。分子电流和磁畴理论：分子中电子的绕核运动和自转将形成分子电流，分子电流将产生磁场，每个分子都相当于一个小磁铁。由于磁性物质分子的相互作用，使分子电流在局部形成有序排列而显示出磁性，这些小区域称为磁畴。高磁导率的成因磁性物质没有外场时，各磁畴是混乱排列的，磁场互相抵消；当在外磁场作用下，磁畴就逐渐转到与外场一致的方向上，即产生了一个与外场方向一致的磁化磁场，从而磁性物质内的磁感应强度大大增加——物质被强烈的磁化了。磁性物质被广泛地应用于电工设备中，电动机、电磁铁、变压器等设备中线圈中都含有的铁心。就是利用其磁导率大的特性，使得在较小的电流情况下得到尽可能大的磁感应强度和磁通。非磁性材料没有磁畴的结构，所以不具有磁化特性。磁性物质的磁化示意图(a)无外场，磁畴排列杂乱无章。(b)在外场作用下，磁畴排列逐渐进入有序化。二、磁饱和性磁性物质因磁化产生的磁场是不会无限制增加的，当外磁场(或激励磁场的电流)增大到一定程度时，全部磁畴都会转向与外场方向一致。这时的磁感应强度将达到饱和值。HBB0BBJO磁化曲线HB，μOμBμ与H的关系B0是真空情况下的磁感应强度；BJ是磁化产生的磁感应强度；B

是介质中的总磁感应强度。磁性物质的μ不是常数，Φ与H也不存在正比关系。三、磁滞性

在铁心线圈通有交变电流时，铁心将受到交变磁化。但当H减少为零时，B并未回到零值，出现剩磁Br。BHO12345磁感应强度滞后于磁场强度变化的性质称为磁滞性。如图为磁性物质的滞回曲线。要使剩磁消失，通常需进行反向磁化。将B=0时的H

值称为矫顽磁力

Hc，（见图中3和6所对应的点。）6磁性物质的分类

根据滞回曲线和磁化曲线的不同，大致分成三类：(1)软磁材料其矫顽磁力较小，磁滞回线较窄。(铁心)(2)永磁材料其矫顽磁力较大，磁滞回线较宽。(磁铁)(3)矩磁材料其剩磁大而矫顽磁力小，磁滞回线为矩形。(记忆元件)HBHBHB铸铁、铸钢及硅钢片的磁化曲线铸铁铸钢硅钢片铸铁铸钢硅钢片常用磁性材料的最大相对磁导率、剩磁及矫顽磁力材料名称

另外，磁路分析的问题一般都是非线性问题，磁阻的概念和线性磁路的计算方法只在定性分析中起重要的作用。

9-5交流铁心线圈电路2．交流铁心线圈电路铁心线圈分为两种：1．直流铁心线圈电路

直流铁心线圈通直流来励磁（如直流电机的励磁线圈、电磁吸盘及各种直流电器的线圈）。因为励磁是直流，则产生的磁通是恒定的，在线圈和铁心中不会感应出电动势来，在一定的电压U下，线圈电流I只与线圈的R有关，P也只与I2R有关，所以分析直流铁心线圈比较简单。本课不讨论。

交流铁心线圈通交流来励磁（如交流电机、变压器及各种交流电器的线圈）。起电压、电流等关系与直流不同，下面我们就来讨论之。一、电磁关系

磁动势F=iN产生的磁通绝大多数通过铁心而闭合，这部分磁通称为工作磁通Φ。

uΦσeeσiΦN铁心如图所示，

此外还有一少部分通过空气等非磁性材料而闭合，这部分磁通称为漏磁通，用Φσ表示。

这两个磁通在线圈中产生感应电动势e和eσ。e为主磁电动势，eσ为漏磁电动势。uΦσeeσiΦN这个电磁关系可表示如下：

式中Nφσ=Lσi中的Lσ为常数，称为漏电感，而i与φ不存在线性关系，即L不是常数。因此，铁心线圈是一个非线性的电感元件。Φ与i和L的关系如图所示。0Φ、LiΦL二、线圈两端的电压与电流之间的函数关系据KVL有：当为正弦量时，伏上式中的各量可视作正弦量，于是上式可用相量表示：uΦσeeσiΦN式中Xσ为漏磁感抗，R为线圈的电阻。相量表示式：设

则有效值为：

由于R和Xσ很小，∴UR和Uσ与U/相比可忽略Bm为铁心中磁感应强度的最大值。S为铁心面积即2．铁损三、功率损耗1．铜损①磁滞损耗由磁滞所产生的铁损称为磁滞损耗。可以证明，交变磁化一周在铁心的单位体积内所产生的磁滞损耗能量与磁滞回线所包围的面积成正比。磁滞损耗要引起铁心发热。为了减小磁滞损耗，应选用磁滞回线狭小的磁性材料制造铁心。硅钢就是变压器和电机中常用的铁心材料，其磁滞损耗较小。①磁滞损耗②涡流损耗②涡流损耗由涡流所产生的铁损称为涡流损耗△Pe0φi

当线圈中通有交流电时，它所产生的磁通也是交变的。因此，不仅要在线圈中产生感应电动势，而且在铁心内也要产生感应电动势和感应电流。这种感应电流称为涡流，它在垂直于磁通方向的平面内环流着。由涡流所产生的铁损称为涡流损耗△Pe0φi

当线圈中通有交流电时，它所产生的磁通也是交变的。因此，不仅要在线圈中产生感应电动势，而且在铁心内也要产生感应电动势和感应电流。这种感应电流称为涡流，它在垂直于磁通方向的平面内环流着。

在交流磁通的作用下，铁心内的这两种损耗合称铁损△PFe0铁损差不多与铁心内磁感应强度的最大值Bm的平方成正比，故Bm不宜选得过大。从上述可知，铁心线圈交流电路的有功功率为P=UIcos=I2R+△PFe0四、等效电路

铁心线圈交流电路也可用等效电路进行分析，所谓等效电路，就是用一个不含铁心的交流电路来等效代替它。

等效的条件是：在同样电压作用下，功率、电流及各量之间的相位关系保持不变[注意：铁心线圈中的非正弦周期电流已用等效正弦电流代替]。这样就使磁路计算的问题简化为电路计算的问题了。

先把铁心线圈的电阻R和感抗Xσ划出，剩下的就成为一个没有电阻和漏磁通的理想铁心线圈电路。但铁心中仍有能量的损耗和能量的储放。因此可将这个理想的铁心线圈交流电路用具有电阻R0和感抗X0的一段电路来等效代替。其电路如图所示。φiuRXσuσuRu/iuRXσuσuRu/R0X0其中电阻R0是和铁心中能量损耗（铁损）相应的等效电阻，其值为感抗X0是和铁心中能量的储放（与电源发生能量互换）相应的等效感抗，其值为等效电路的阻抗模为例：有一交流铁心线圈，电源电压U=220V，电路中

电流I=4A，功率表读数P=100W，频率f=50Hz,

漏磁通和线圈上的电压降可忽略不计，

试求（1）铁心线圈的功率因数

（2）铁心线圈的等效电阻和感抗解：（1）(2)铁心线圈的等效阻抗为等效电阻和感抗分别为例题：要绕制一个铁心线圈，已知电源电压U=220V，频率f=50Hz,今量得铁心截面为30.2cm2，铁心由硅钢片叠成，设叠片间隙系数为0.91（一般取0.9-0.93）。（1）如取Bm=1.2T,问线圈匝数应为多少？（2）如磁路平均长度为60cm，问励磁电流应为多大？解：铁心的有效面积为S=30.2×0.91=27.5cm2(1)线圈匝数可根据求出（2）从图7-7中可查出，当Bm=1.2T时，Hm=700A/m，所以

电路中的过渡过程12.1换路定律及初始值的确定

12.1.1换路定律

通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。

该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC、iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC、iL是相等的，可表达为：

uC(0+)=uC(0-)

iL(0+)=iL(0-)必须注意：只有uC、

iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。12.1.2初始值的确定

换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用uC(0+)和iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间

t=0-电路确定uC(0-)和iL(0-)，再由换路定律得到uC(0+)和iL(0+)的值。

电路中其他变量如iR、uR、uL、iC的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法是：画出t=0+电路，在该电路中若uC(0+)=uC(0-)=US，电容用一个电压源US代替，若uC(0+)=0则电容用短路线代替。若iL(0+)=iL(0-)=IS，电感一个电流源IS代替，若iL(0+)=0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。例1：在图12-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)和uL(0+)。图12-3例1图解(1)电路在t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0-电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于开路。同理iL也不再变化，diL/dt=0，故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0-时刻的等效电路如图12-3(b)）所示，由该图可知：（2）由换路定理得因此，在t=0+瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+时刻的等效电路，如图12-3(C)所示。（3）在t=0+电路中，应用直流电阻电路的分析方法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即

iC(0+)=2-2-1=-1AuL(0+)=10-3×2-4=0

例2:电路如图12-4(a)所示，开关S闭合前电路无储能，开关S在t=0时闭合，试求

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