电磁场全套课件

波导

*

微波简介*

导行电磁波的分类及其一般特性*

矩形波导*

介质波导*

谐振腔低、中频区（双导体）中高频区（微带线）高频区（金属波导）图8.0.1各种载波体

8.0微波简介8.0.1频谱表频段2

音频（VF)）

8

基低频（VLF）

4

低频（LF）

5

中频（MF）

6高频（HF）

7

甚高频（VHF）

8

特高频（UHF）

9超高频（SHF）

10极高频（EHF）

11121314

超长波（VLW）

长波（LW）

中波（MW）

超短波（VSW）（米波）分米波厘米波毫米波

3Hz30Hz300Hz3kHz30kHz300kHz3MHz30MHz300MHz3GHz30GHz300GHz3THz30THz300THz105km104km103km102km10km1km100m10m1m10cm1cm1mm100

10

1

（公里）（米）（厘米）（毫米）（微米）

无线电电磁频谱表

短波（SW）

音频雷达频率微波频率红外视频8.0.2微波特点1.类似于光波的特性

波长很短，直线传播。可将电磁能量集中在很小的角度内定向辐射(雷达；航天遥控、遥感、遥测、通信等）2.穿越电离层的透射性

给空间通信、卫星导航、卫星遥感、射电天文学等提供了无线通道。4.抗低频干扰特性

自然干扰（来自宇宙、大气层）和人为干扰（各种电气设备、电子设备等产生的电子垃圾），大多数集中在数兆、数十兆以下的频域（低、中频区）内，用微波滤波器便可拒之门外。3.宽频带特性

传输的信息越多，占用的频带越宽。如30kM~100kM频带可以传送200路电视或100，000路双向电话，这是短波通信望尘莫及的。

信息传输的速度越来越高，如1秒钟内传输个数据，非微波莫属。图1.2对流层、同温层和电离层的配置（白天）图8.02不同波长的传播途径上左：长波传播；上右：短波传播；下：微波传播8.1导行电磁波分类及其一般特性8.1.1导行波的分类推导波动方程及其解的一般形式，从中分析波的分类。设：•

载波体无限长，具有轴向均匀性（无反射）•

载波体为完纯导体，其周围是理想介质（无损耗）•

载波体中无激励源

•

电磁波沿z轴传播，且随时间作正弦变化。电磁场基本方程对式（1)、(2）取旋度，式（3)、(4）代入其中，有波动方程式中，仅有入射波，且沿z轴传播的通解形式为把通解代入到方程（5)、(6），得到假设条件下的波动方程式中——横向拉普拉斯算子。根据和的存在与否，将波分为三种类型

1.TEM波

只有当时，即，式(9)中场的横向分量存在，此时

说明任一时刻，在xoy平面上场的分布与稳态场相同2.TE波（），亦称横电波

3.TM波（），亦称横磁波

根据纵向场法解得和，再由Maxwell方程解得其它四个场分量8.1.2波导中波的传播特性传播特性取决于传播常数，由，可知可传播模式迅速衰减模式临界状态——截止波长a.波导的滤波作用

当工作频率（信号源发出频率）或时，信号可以通过波导，否则截止。b.相位常数波导中的相位常数小于无界空间的相位常数，由此导致c.波导波长d.波导波速

或——截止频率，几何色散波8.2矩形波导8.2.1TM波（）边界条件用分离变量法解得其余4个场分量式中，特征值仅与波导形状，尺寸、波型有关。传播特性：a.沿x，y方向为驻波；b、m，n0

，不存在TM00，TM0n，TMm0。采用纵向场法，先求的边值问题方程图8.2.1矩形波导8.2.2TE波（）采用纵向场法，先求的边值问题用分离变量法解得其余4个场分量式中kc同上，传播特性：a.截止频率fc；b.波沿

z轴方向传播，沿x、y方向为驻波；c.m，n不同时为零，即不存在TE00模式。8.2.3传播特性1.截止频率和截止波长2.传播特点沿x，y方向均为驻波，电磁波沿

z轴方向传播。3.传播模式及主模

·

m，n不同时为零的任何整数的任意组合成TEmn模，最低模式为TE10；

·

波导中传播的最低模式称为主模，矩形波导的主模为TE10。4.简并现象不同模式的波具有相同的截止波长，称为简并现象。

除TEm0，TE0n模之外的所有模式均为简并模式。如TE11与TM11，TE21与TM21等。为什么？

·

m，n

的任何整数的任意组合构成TMmn模，最低模式TM11；波导中fc最小的模式称为最低模式，所以8.2.4电磁场分布特性TE10波：图8-5TE10波的电场分布图8-7TE10波的立体电磁场分布图8-8矩形波导中TE10模的管壁电流图8-6TE10波的磁场分布（a）EE′横截面（b）DD′纵截面

例8.2.1

矩形波导的截面尺寸a=7cm，b=3cm。求若干个模的截止波长，并指出简并模型；2）若频率f=3×109Hz，，波导中存在哪些模式的波；3）若只传播TE10波，波导尺寸如何改变？解（1）根据(2)工作波长其中，简并波型为（TM11、TE11）,(TE21、TM21),(TE31、TM31）14765.514.674.563.683.5模和选a=3.5cm,b=1.5am

及其它。（3）若只传播TE10，工作波长满足由于小于TE10~TE11、TM11的，故这5个模式的波可以传播。8.4谐振腔8.4.1谐振腔的形成过程图8.4从LC回路到谐振腔的演变过程特点：（1）电磁能以分布的形式存在，不得分开；（2）具有多谐性；（3）储存较多的电磁能量，且低损耗，故品质因数高。图8.4.2几种常见的微波谐振腔（a）矩形腔（b）圆柱腔（c）同轴腔（d）孔-缝腔（e）扇形腔8.4.2谐振腔中的场结构特点：沿x，y，z三个方向均为驻波1.TM波（）边值问题：

的通解其余4个分量式中

图8.4.3矩形谐振腔2.TE波（）边值问题：

的通解其余场量式中不可同时为零；3.谐振频率将TE、TM波型中任一解代入微分方程，得到特征方程谐振频率为可见，fo仅与谐振腔的形状、尺寸、填充介质及波型有关。谐振腔的特点a)多谐性。当谐振腔尺寸确定后，有无穷多个谐振频率。b)简并模式。不同的模式其具有相同的谐振频率。c)主模。最谐振频率的模式为TM110（当a>b>l)4.品质因素与集总电路中谐振回的品质因素定义相同计算略

恒定磁场

•

实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有恒定电场，同时还有不随时间变化的磁场，简称恒定磁场（StaticMagneticField）。

•

恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。

•

恒定磁场的知识结构框图。磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律）H

的旋度B的散度基本方程磁位()（J=0）分界面上衔接条件磁矢位（A）边值问题数值法解析法分离变量法镜像法有限元法有限差分法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算图3.0恒定磁场知识结构框图基本实验定律(安培力定律）3.1磁感应强度3.1.1安培力定律

1820年,法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律,称为安培力定律(Ampere’sforceLaw)。

电流

的回路对电流I回路的作用力

F式中真空中的磁导率H/m3.1.2毕奥——沙伐定律•

磁感应强度

电流之间相互作用力通过磁场传递。

电荷之间相互作用力通过电场传递。定义：磁感应强度单位T（wb/m2）特斯拉。式中图3.1.1两载流回路间的相互作用力写成一般表达式，即毕奥——沙伐定律（Biot—SavartLaw)2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B

的散度与旋度）。3）对于体分布或面分布的电流，Biot-SavartLaw可写成例3.1.1

试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。解采用圆柱坐标系，取电流Idz，则式中，当时，图3.1.2长直导线的磁场1）适用条件：无限大均匀媒质，且电流分布在有限区域内。解：元电流

Idl

在其轴线上P点产生的磁感应强度为

例3.1.2

真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。图3.1.4圆形载流回路轴线上的磁场分布根据圆环磁场对

P

点的对称性，图3.1.3圆形载流回路

由于是无限大电流平面，所以选P点在

y轴上。根据对称性,整个面电流所产生的磁感应强度为

例3.1.3

图示一无限大导体平面上有恒定面电流,求其所产生的磁感应强度。解：在电流片上取宽度为

的一条无限长线电流，它在空间引起的磁感应强度为图3.1.5无限大电流片及B

的分布3.2磁通连续性原理•

安培环路定律3.2.1磁通连续性原理矢量恒等式所以

表明

B是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立）两边取散度可从Biot-SavartLaw

直接导出恒定磁场

B

的散度。1.恒定磁场的散度则可以作为判断一个矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。图3.2.1计算体电流的磁场2.磁通连续性原理

这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零，称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律

(Gauss’sLawfortheMagneticfield)。

仿照静电场的

E线，恒定磁场可以用

B

线描绘，B线的微分方程在直角坐标系中散度定理图3.2.2磁通连续性原理图3.2.3B

的通量

若要计算B穿过一个非闭合面S

的磁通，则3.磁力线B

线的性质：•

B

线是闭合的曲线;•

B

线不能相交(除B=0

外

)；

•

闭合的

B

线与交链的电流成右手螺旋关系；

•

B

强处，B线稠密，反之，稀疏。图3.2.4一载流导线I

位于无限大铁板上方的磁场分布（B

线）图3.2.5长直螺线管磁场的分布（B

线）图3.2.6一载流导线I位于无限大铁板内的磁场分布（H

线）图3.2.7两根异向长直流导线的磁场分布图3.2.8两根相同方向长直流导线的磁场分布图3.2.9两对上下放置传输线的磁场分布图3.2.10两对平行放置传输线的磁场分布3.2.2磁通连续性原理1.安培环路定律（真空）以长直导线的磁场为例（1）安培环路与磁力线重合（2）安培环路与磁力线不重合（3）安培环路不交链电流（4）安培环路与若干根电流交链该结论适用于其它任何带电体情况。强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。图3.2.11证明安培环路定律用图例3.2.1

试求无限大截流导板产生的磁感应强度B解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋）根据对称性解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，应用安培环路定律,得

例3.2.2

试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。图3.2.12同轴电缆截面取安培环路交链的部分电流为图3.2.1无限大截流导板应用安培环路定律，得

对于具有某些对称性的磁场，可以方便地应用安培环路定律得到

B

的解析表达式。

图3.2.13同轴电缆的磁场分布2.媒质的磁化（Magnetization）

媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。2）媒质的磁化无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，图3.2.14磁偶极子图3.2.15磁偶极子受磁场力而转动

用磁化强度（MagnetizationIntensity）M

表示磁化的程度，即A/m1）磁偶极子—分子电流，电流方向与方向成右手螺旋关系Am2磁偶极矩

在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，转矩为Ti=mi×B

，

旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。图3.2.16媒质的磁化3）磁化电流4）磁偶极子与电偶极子对比体磁化电流模型

电量产生的电场与磁场电偶极子磁偶极子面磁化电流

•

有磁介质存在时，场中任一点的

B是自由电流和磁化电流共同作用在真空中产生的磁场。结论：

•

磁化电流具有与传导电流相同的磁效应例3.2.3

判断磁化电流的方向。3.一般形式的安培环路定律有磁介质时将代入上式，得移项后定义磁场强度则有说明:•H的环量仅与环路交链的自由电流有关。

•

环路上任一点的H是由系统全部载流体产生的。

•

电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否满足右手螺旋关系，是为正，否为负。恒定磁场是有旋的图3.2.19

H的分布与磁介质有关图3.2.18H与I

成右螺旋关系图示中吗？它们的环量相等吗？4.B与H的构成关系实验证明，在各向同性的线性磁介质中式中——

磁化率，无量纲量，代入中式中——

相对磁导率，无量纲，，单位H/m。

构成关系例3.2.4:

一矩形截面的镯环，如图示，试求气隙中的B和H。图3.2.20镯环磁场分布解：在镯环中,，有限，故H=0。取安培环路（与I交链），由，得5.H的旋度积分式对任意曲面S都成立，则恒定磁场是有旋的

例3.2.4

有一磁导率为

µ，半径为a的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（µ0

），如图所示。试求圆柱内外的B，H

与

M

的分布。解：磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定律，得磁场强度磁化强度磁感应强度

图3.2.21磁场分布图3.2.22长直导磁圆柱的磁化电流

导磁圆柱内=0

处有磁化电流

Im

吗？=

a处有面磁化电流

Km吗？为什么？3.3恒定磁场的基本方程•

分界面上的衔接条件3.3.1恒定磁场的基本方程媒质的性能方程

例3.3.1

试判断能否表示为一个恒定磁场？F2不可能表示恒定磁场。恒定磁场的基本方程表示为（磁通连续原理）（安培环路定律）（无源）（有旋）恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡旋源F1可以表示为恒定磁场。解：3.3.2分界面上的衔接条件1.B

的衔接条件在媒质分界面上，包围P点作一小扁圆柱，令，则根据,可得B

的法向分量连续2.H

的衔接条件

H

的切向分量不连续H

的切向分量连续当K=03.分界面上的折射定律

当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流线密度K，则折射定律图3.3.1分界面上

B

的衔接条件图3.3.2分界面上

H

的衔接条件

在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路。令,根据可得例.3.3.2

分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。解：

它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么在空气侧的B可认为近似与分界面垂直。图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射

即A/mT解：图3.3.4含有K的分界面衔接条件

例3.3.3

设x=0

平面是两种媒质的分界面。,分界面上有面电流A/m

，且A/m，试求B1，B2与

H2

的分布。•

若面电流,答案有否变化，如何变？ 3.4磁矢位及其边值问题3.4.1磁矢位

A

的引出由磁矢位A也可直接从BiotSavartLaw导出。3.4.2磁矢位

A的边值问题1.微分方程及其特解(泊松方程

)(拉普拉斯方程

)

当J=0

时

A称磁矢位(Magneticvectorpotential)，单位：wb/m（韦伯/米）。库仑规范使得A唯一确定。A是否具有物理意义是一个仍在争论的问题。

令无限远处A的量值为零（参考磁矢位），则各式的特解分别为

可见，每个电流元产生的磁矢位

A

与此元电流Idl，KdS，JdV具有相同的方向。矢量合成后，得

在直角坐标系下，可以展开为

面电流与线电流引起的磁矢位为a）围绕

P点作一矩形回路，则当时,即b）围绕P点作一扁圆柱，则当时，即

综合两个结论，有

表明在媒质分界面上磁矢位

A是连续的。根据有对于平行平面场，则可写成2.分界面上的衔接条件图3.4.7磁矢位

A

分界面上的衔接条件根据由于，

3.4.3磁矢位

A的应用

1)矢量积分求A解：取圆柱坐标

例3.4.1

空气中有一长度为，截面积为

S

，位于

z轴上的短铜线，电流

I

沿

z轴方向，试求离铜线较远处（R>>

）的磁感应强度。

·

能否用安培环路定律来求解此问题?图3.4.1位于坐标原点的短铜线例3.4.2

应用磁矢位

A，求空气中一长直载流细导线的磁场。解：例3.4.3

应用磁矢位分析两线输电线的磁场。解：这是一个平行平面磁场。

由上例计算结果,两导线在

P点的磁矢位图3.4.3长直载流细导线的磁场图3.4.4圆截面双线输电线

在工程数值中经常用此公式此公式计算磁通，并由此得到其它等效参数。3)在平行平面磁场中，，等

A线可表示磁感应强度B

线。即平行平面磁场中的等

A线可以代表

B线。可以证明：在轴对称磁场中，代表

B

线。2)从磁矢位

A计算磁通（韦伯）在直角坐标系中，B线方程为

等

A线不是

A线，只涉及

A的大小，不涉及方向。因此，等A线仅反映B的大小分布。图3.4.2A线,等

A线与

B线关系如前面例题，两线输电线的B线即等

A

线的方程为

等

A

线（B

线）是一束包围导线的偏心圆族。其圆心坐标是圆的半径是。

可见双线输电线的磁场的等

A

线(

B

线)的图形与静电场中两根线电荷的等电位线的图形是一致。图3.4.5双线输电线的磁场图3.4.6双线输电线的电场解：采用圆柱坐标系，且

例3.4.4

一半径为a的带电长直圆柱体，其电流面密度,试求导体内外的磁矢位

A

与磁感应强度

B。（导体内外媒质的磁导率均为µ0）边界条件（参考磁矢位）（处）由式由式代入通解式通解为磁感应强度图3.4.8长直带电圆柱导体4)微分方程法求A

例3.4.5

图示铁磁体槽内有一线电流I，铁磁体的磁导率，槽和载流导线均为无限长，忽略槽口边缘效应，试写出槽内矢量位A应满足的微分方程及有关边界条件。解：依图示电流方向，磁矢位A=-kAz。Az为（x,y)的函数，除（0,b）点外，Az满足的方程为在直角坐标系由于，故铁中的H=0,边界条件有在处，，即或在处，，即或在处，由于槽很深，边缘效应忽略，故可认为H线和x轴平行，铁内H=0,因而，或，图3.4.10铁磁体槽内的线电流3.5磁位及其边值问题3.5.1磁位的引出恒定磁场无电流区域——标量磁位，简称磁位（MagneticPotential），单位：A（安培）。

•

磁位仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。磁位的特点：

•

等磁位面（线）方程为常数，等磁位面（线）与磁场强度

H线垂直。•

的多值性则在恒定磁场中，设B

点为参考磁位，由安培环路定律，得推论多值性图3.5.5磁位与积分路径的关系

为了克服多值性，规定积分路径不得穿过从电流回路为周界的

S面（磁屏障面）。这样，就成为单值函数，两点之间的磁压与积分路径无关。图3.5.1载流导线

I位于无限大铁板上方的磁场分布

图3.5.2线电流

I与线电荷产生的通量线与场线,等磁位线与等电位线的类比图3.5.4线电流

I位于两铁板之间的磁场图3.5.3线电荷位于两平行导体间的电场3.5.2磁位的边值问题在直角坐标系中2.分界面上的衔接条件推导方法与静电场类似，由推导得3.的应用（适用于无自由电流区域）1.微分方程

磁位是否满足泊松方程?

例3.5.1

设在均匀磁场

H0中放置一半径分别为和的长直磁屏蔽管，已知

H0

的方向与管轴垂直，设磁屏蔽材料的磁导率为，管内外媒质均为空气试求磁屏蔽管内磁场分布及屏蔽系数。边界条件为：解：这是平行平面磁场问题。选用圆柱坐标系，则图3.5.6长直屏蔽管置于均匀磁场中采用分离变量法，利用场的对称性及边界条件（3），得代入其它边界条件，联立求解得磁位

可见，屏蔽管内磁场

H1

分布均匀，且与

H0

的方向一致。屏蔽系数磁场强度图3.5.7长直磁场屏蔽管内外磁场的分布

工程上常采用多层铁壳磁屏蔽的方法，这主要是可以把进入腔内的残余磁场一次又一次地予以屏蔽。磁屛蔽在工程上有广泛的应用。即导磁管的材料越大，K越小，外磁场被屏蔽的程度高。•磁屏蔽与静电屏蔽有什么不同？它们对屏蔽的材料各有什么要求？屏蔽系数即导磁管壁越厚不变，变大，K

越小，屏蔽效能高。•图3.5.8恒定磁场与恒定电流场的比拟3.5.3磁位、磁矢位

A与电位的比较位函数比较内容引入位函数的依据位与场的关系微分方程位与源的关系电位磁位磁矢位（A）(有源或无源）(无源）(有源或无源）答：可以。下述两个场能进行磁电比拟吗？3.6镜像法（ImageMethodinStaticMagneticField）联立求解，得由得由得

例3.6.1

图示一载流导体

I置于磁导率为的无限大导板上方

h

处，为求媒质1与媒质2中的

B

与

H的分布，试确定镜像电流的大小与位置？解：根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定与。图3.6.1两种不同磁介质的镜像

与静电场镜像法类比，这里的原因何在？

例3.6.2

空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流

I

位于空气中，试求磁场分布。空气中铁磁中

空气中

B

线垂直于铁磁平板，表明铁磁平板表面是等磁位面。镜像电流解：图3.6.2线电流I位于无限大铁板上方的镜像铁磁中磁感应强度

B2=0吗？例3.6.3

若载流导体

I

置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？由图可见，此时磁场分布有特点：

•

对空气侧而言，铁磁表面仍然是一个等磁位面。空气中的

B

线与铁磁表面相垂直（折射定理可以证明之）。•

空气中的磁场为场域无铁磁物质情况下的二倍。

镜像电流解：图3.6.3线电流I

位于无限大铁磁平板中的镜像3.7电感3.7.1自感

在线性各向同性媒质中，L

仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与回路的电流无关。自感计算的一般步骤：设回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。即单位：H（亨利）

自感又分为内自感Li

和外自感

L0

。——内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。——

外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。图3.7.1内磁链与外磁链解：总自感设安培环路包围部分电流，则有磁链中的匝数，可根据因此，有内自感例3.7.1试求图示长为的同轴电缆的自感

L。图3.7.3同轴电缆内导体纵截面穿过宽度为,长度为的矩形面积的磁通为图3.7.2同轴电缆截面1)内导体的内自感

工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感。3）内、外导体间的外自感

故总电感为2）外导体内自感

例3.7.2

设传输线的长度为,试求图示两线传输线的自感。解：总自感设设总自感为内自感解法一解法二图3.7.4两线传输线的自感计算3.7.2互感式中，M21

为互感，单位：H（亨利）

互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置有关。

在线性媒质中，回路1的电流产生与回路2相交链的磁链与成正比。同理，回路2对回路1的互感可表示为可以证明计算互感的一般步骤：设图3.7.5电流I1产生与回路2交链的磁链例3.7.3

试求图示两对传输线的互感。解：根据互感定义，只需假设一对传输线的电流方向；另一对传输线的回路方向。导线

B

的作用由于这两个部分磁通方向相同(H)导线

A的作用图3.7.6两对传输线的互感

若回路方向相反，互感会改变吗？它反映了什么物理意义？2)铁板放在两线圈的下方,互感是增加了,还是减少了？为什么?如何计算？

图3.7.7一块无限大铁板置于两对线圈的下方3）铁板插入两线圈之间后，互感是增加还是减少？为什么？自感是否增加？图3.7.8一块无限大铁板置于两线圈之间

图3.7.9无感线圈》3.7.3聂以曼公式应用磁矢位

A

计算互感与自感的一般公式。1.求两导线回路的互感将式（1）代入式（2）得则两细导线回路间的互感若回路1、2分别由N1、N2

细线密绕，互感为设回路1通以电流I1，则空间任意点的磁矢位为穿过回路2的磁通为图3.7.9两个细导线电流回路2.用聂以曼公式计算回路的外自感外自感

设导体的半径

R

远小于导线回路的曲率半径，且认为电流均匀分布，则内自感总自感电流I在上产生的磁矢位为与交链的磁通为

设回路中有电流

I

，总磁通=外磁通+内磁通；计算外磁通时，可以认为电流是集中在导线的轴线上，而磁通则是穿过外表面轮廓所限定的面积。图3.7.11单回路的自感3.8磁场能量与力

磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。有专家预测，21世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。

高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能源——受控热聚变,磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来。图3.8.0超导体磁悬浮列车3.8.1恒定磁场中的能量•

媒质为线性；•

磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；•

系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。假设：磁场能量的推导过程推广自有能互有能

•

是回路k独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。3.8.2磁场能量的分布及磁能密度

磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整个空间中。

•

与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。•

对于单一回路时，第一项为0上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。单位：J（焦耳）磁能密度单位：式中为导电媒质体积元所占体积，为导电媒质的总体积。由矢量恒等式得

考虑到磁通可以用磁矢位

A表示，则磁能

Wm可表示为————利用的关系，

例3.8.1

长度为,内外导体半径分别为

R1与

R2

的同轴电缆，通有电流

I

，试求电缆储存的磁场能量与自感。解：由安培环路定律，得磁能为自感图3.8.2同轴电缆截面3.8.3磁场力

磁场能量的宏观效应就是载流导体或运动的电荷在磁场中要受到力的作用。仿照静电场，磁场力的计算也有三种方法。1.安培力

例3.8.2

试求两块通有电流I的无限大平行导板间的相互作用力。B板产生的磁场解：由安培力定律，得A板产生的磁场两板间的磁场A板受力图3.8.3两平行导板间的磁力2.虚位移法（Methodoffalsedisplacement)电源提供的能量=磁场能量的增量+磁场力所做的功•

常电流系统•

常磁链系统

表明外源提供的能量，一半用于增加磁场能量，另一半提供磁场力作功，即

假设系统中

n个载流回路分别通有电流I1，I2，……In，仿照静电场，当回路仅有一个广义坐标发生位移，该系统中发生的功能过程是

由于各回路磁链保持不变，故各回路没有感应电动势，电源不提供（增加的）能量，即，所以，只有减少磁能来提供磁场力作功，故有由此得广义力由此得广义力

•

两种假设结果相同，即

•

在实际问题中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相对位置为广义坐标，利用上式即可得到相应的广义力。

例3.8.3

试求图示载流平面线圈在均匀磁场中受到的转距。设线圈中的电流I1，线圈的面积为

S，其法线方向与外磁场

B

的夹角为。解：系统的相互作用能为本例的结果完全适用于磁偶极子，也是电磁式仪表的工作原理。选为广义坐标，对应的广义力是转距，即式中m=IS

为载流回路的磁偶极矩；

表示广义力（转矩）企图使广义坐标减小，使该回路包围尽可能多的磁通。用矢量表示为图3.8.4外磁场中的电流回路解：设作用力为F，在这个力的作用下，试棒沿x方向移动dx，则磁场能量变化为

表示磁场对试棒的作用力为吸力，即

F是从磁导率大的媒质指向磁导率小的方向（可与静电场的情况类比）。图3.8.5磁路对磁导率为试棒的作用力例3.8.4

试求图示磁场对磁导率为的试棒的作用力，试棒的截面积为。要加多大的外力才能将试棒从磁场中拉出？3、法拉弟观点应用法拉弟观点，有时能简便算出磁场力和分析回路受力情况。例3.8.5

试判断置于铁板上方载流导体及电磁铁的受力情况。

按照法拉弟观点，沿磁感应线作通量管，沿其轴向方向受到纵张力，同时在垂直方向受到侧压力。其量值都等于单位：N/m2图3.8.6载流导体位于铁板上方图3.8.7电磁铁3.9磁路3.9.1磁路的基本概念

利用铁磁物质制成一定形状的回路（可包括气隙），其周围绕有线圈，使磁通主要集中在回路中，该回路称为磁路。

（a）变压器（b）接触器（c）继电器（d）四极电机（e）永磁式电磁仪表图3.9.1几种常见的磁路磁势Fm=Ni磁压Um单位：A（安）或At（安匝）单位：A（安）2.磁路的基尔霍夫定律即磁路的基尔霍夫第二定律——安培环路定律

如图参考方向下，磁路的基尔霍夫第一定律——磁通连续性原理1.磁路的基本物理量Um

的方向与H方向一致Fm

的方向与方向符合右手螺旋定则设磁通参考方向（即H的参考方向）,若电流与H方向呈右手定则，Fm取正，否则取负。

基本物理量：磁通、磁势Fm、磁压Um、磁感应强度B、磁场强度H。(电路中的物理量:电流I、元件电压U、电源Us

)图3.9.2磁路定律例图3.磁路的欧姆定律设一磁路段如图和

——磁阻，单位1/H（1/亨）

磁阻的大小取决于磁路几何尺寸、媒质性质为常数时，称为线性磁路，否则称为非线性磁路。3.9.2线性磁路的计算（无分支、均匀分支、不均匀分支磁路）

例

3.9.1

已知磁路的，截面积若要求在磁路中产生磁通，问需要在线圈中通入多大的电流I，并求气隙的磁压Umo。解：思路：求磁阻磁势电流磁压图3.9.3磁阻计算图3.9.4磁压计算侧柱根据磁路对称性由安培环路定律解法二

磁路是对称的，取其一半，则解法一

思路：求

例3.9.2

有一对称磁路，中间柱截面积为两侧柱截面积，

求侧柱的磁通。中间柱磁阻磁势侧柱磁通wb侧柱磁通wb图3.9.5磁通计算解：思路及步骤：

•

根据尺寸求出各磁路段长度及磁阻;•

设磁通方向如图所示;•

•

•

•

•

（闭合环路）;

例3.9.3

磁路结构如图所示，已知气隙中的磁通为，线圈匝数为N，铁心材料磁导率为，截面积为S，试求电流I。

•

图3.9.6磁路计算3.9.3铁磁质的磁特性1.两种最基本的特性曲线

磁滞回线：铁磁质反复磁化时的B-H曲线。最外层为极限磁滞回线。

可确定剩磁Br，矫顽力Hc，磁能积（BH）等重要参数。

基本磁化曲线：是许多不饱和磁滞回线的正顶点的连线。2.铁磁质的分类

图3.9.8基本磁化曲线

软磁材料：磁滞回线较窄，断电后立即能消磁。如硅钢、矽钢等。用于电机、变压器、镇流器、继电器等电磁设备的铁心。

硬磁材料：磁滞回线较宽，充磁后剩磁大。如铁氧体、钕铁硼。用于永磁电机、电表、电脑存贮器等器件中的永磁体。图3.9.7磁滞回线3.9.4非线性磁路计算（直流磁路）解：这是均匀无分支磁路查磁化曲线，得H=300A/m磁势

对于较复杂的磁路，还可用试探解法，迭代法，图解法、数值法等。对于交流磁路，由于磁性能更为复杂，解题难度相应提高。反问题：已知线圈匝数N=1000，电流I=1A，求磁通为多少？

例3.9.4

一圆环形磁路及基本磁化曲线如图所示，平均磁路长度=100cm

，截面积A=5cm2，若要求产生2×10-4wb

的磁通，求磁势为多少？查磁化曲线，得B=1.05T，故wb图3.9.9非线性磁路计算图3.9.8磁路计算•

可从毕奥—沙伐定律得到磁矢位A的表达式。所以则根据矢量恒等式，式（1）中的被积函数可写为将式（4）代入式（3）得•

对磁矢位两边取散度，得应用矢量恒等式及可得因为恒定电流分布在有限区域内，在无限远闭合面上，故得则t时刻，回路1、2中的感应电动势为

若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功，即

过程中，外源所做的功第一步：从第二步：不变，从则t时刻，回路1、2中的感应电动势为

若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功，即

不变，从，外源所做的功

3.2.3安培环路定律1.恒定磁场的旋度•

对上式等式两端取旋度；•

利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得在直角坐标系中，

（Biot-SavartLaw）恒定磁场是一个有旋场。（有电流区）（无电流区）2.真空中的安培环路定律斯托克斯定理上式称为真空中的安培环路定律（AmperesCircuitalLaw）

•

电流

Ik的正负取决于电流的方向与积分回路的绕行方向是否符合右手螺旋关系，符合时取正值，反之取负值。

•

环路上的

B

不仅与环路交链的电流有关，它是整个系统中所有电流激励的结果。

•

表明磁感应强度B

沿任意闭合路径的线积分环量等于该回路所交链的电流的代数和乘以真空的磁导率。或图3.2.11安培定律示意图令两边取旋度令矢量恒等式则由毕奥—沙伐定律证明将式（7）代入式（2），利用式（6）得矢量恒等式故将式（6）代入式（4）则证毕。无感电阻无感电阻恒定电场基本物理量J

欧姆定律J

的散度E

的旋度

基本方程

电位

边界条件边值问题一般解法特殊解（静电比拟）电导与接地电阻图2.0.2恒定电场的知识结构框图基本概念：

•

电介质中的静电场

•

通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场

•

通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场I是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。1.电流面密度2.1.2恒定电场的基本物理量——电流密度电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场强度方向一致。电流 2.1.1电流强度2.1导电媒质中的电流图2.1.1电流面密度矢量图2.1.2电流面密度单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。分布的体电荷以速度v作匀速运动形成的电流。亦称电流密度

•

同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；

•

交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分布，可用电流线密度表示。

•

媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流线密度表示,如图示；图2.1.3电流线密度及其通量工程意义：图2.1.4媒质的磁化电流2.电流线密度分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。电流e是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量n分布的线电荷沿着导线以速度

v

运动形成的电流I=。3、线电流2.1.3欧姆定律的微分形式

•

恒定电流场与恒定电场相互依存。电流J与电场E方向一致。

•

电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即

U=RI

欧姆定律的微分形式。式中为电导率，单位s/m（西门子/米）。

电场是维持恒定电流的必要条件。可以证明图2.1.6J与E之关系4.元电流的概念：元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流，即。

•

在各向同性导电媒质中，电位移矢量D

线与电流密度J线方向是否一致？

•

电流线密度是否成立？

2.1.4焦尔定律的微分形式

导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可以证明其功率的体密度为（W/m

）3

——焦耳定律的微分形式

电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即（W）——

焦耳定律的积分形式2.2电源电势与局外场强

要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。2.2.1电源图2.2.2恒定电流的形成因此局外场Ee

是非保守场。

考虑局外场强2.2.2电源电动势与局外场强设局外场强为，则电源电动势为电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。图2.2.3电源电动势与局外场强2.3.1恒定电场的基本方程2.3恒定电场的基本方程分界面上的衔接条件边值问题在恒定电场中散度定理恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。故电荷守恒定律•

恒定电场是无源无旋场。2.E的旋度恒定电场是无旋场。

所取积分路径不经过电源，则

斯托克斯定理得3.恒定电场（电源外）的基本方程1.J的散度2.3.2分界面的衔接条件

说明分界面上电场强度的切向分量是连续的，电流密度法向分量是连续的。折射定律为图2.3.1电流线的折射分界面上的衔接条件例2.3.1

两种特殊情况分界面上的电场分布。由折射定理得，则解：a)媒质1是良导体，，媒质2是不良导体,。土壤

它表明，只要，电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面。b）媒质1是导体，媒质2是理想介质情况。

表明1导体表面是一条电流线。

表明2导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡下的）面电荷分布。

表明3电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。

若（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。导体周围介质中的电场图2.3.2导体与理想介质分界面图2.3.3载流导体表面的电场2.3.3恒定电场的边值问题分界面衔接条件

很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。拉普拉斯方程得常数由基本方程出发恒定电场中是否存在泊松方程？

例2.3.2

试用边值问题求解电弧片中电位、电场及面电荷的分布？区域）电位00

解：选用圆柱坐标，边值问题为：场域边界条件区域）衔接条件电场强度电荷面密度E,

与无关，是的函数。图2.3.3不同媒质弧形导电片2.4导电媒质中恒定电场与静电场的比拟2.4.1静电比拟表2两种场对应物理量静电场导电媒质中恒定电场（电源外）EEDJIq表1两种场所满足的基本方程和重要关系式

导电媒质中恒定电场（电源外）静电场

两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。

•

两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;•

相应电极的电压相同;2.4.2静电比拟的条件

•

若两种场中媒质分布片均匀，只要分界面具有相似的几何形状，且满足条件时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。

1.静电场便于计算——

用静电比拟方法计算恒定电场若为土壤为空气则。2.4.3静电比拟的应用图2.4.1静电场与恒定电流场的镜像法比拟静电场2.恒定电场便于实验—某些静电场问题可用恒定电流场实验模拟固体模拟（媒质为固体，如平行板静电场造型）实验模拟方法液体模拟（媒质为液体，如电解槽模拟）静电场——电极表面近似为等位面；工程上的实验模拟装置。工程近似在两种场的模拟实验中，工程上往往采用近拟的边界条件处理方法恒定电流场——电极表面近似为等位面（条件）。电极媒质图2.4.2静电场平行板造型

图示恒定电流场对应什么样的静电场？比拟条件？2.5.1电导的计算1.直接用电流场计算

当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容计算电导。静电系统的部分电容可与多导体电极系统的部分电导相互比拟。（自学）2.5电导与接地电阻2.静电比拟法设设即

例2.5.1

求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2，长度为,中间媒质的电导率为，介电常数为。解法一

直接用电流场的计算方法设电导绝缘电阻解法二

静电比拟法由静电场解得则根据关系式得同轴电缆电导绝缘电阻图2.5.1同轴电缆横截面例2.5.2

求图示电导片的电导，已知给定。方程通解为，代入边界条件，可得电流密度电流电导电位函数解：取圆柱坐标系，，边值问题：图2.5.2弧形导电片1.深埋球形接地器

解：深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域的孤立圆球的电流场相似。2.5.2接地电阻图2.5.3深埋球形接地器

接地电阻

安全接地与工作接地的概念接地器电阻接地器与土壤之间的接触电阻土壤电阻（接地电阻以此电阻为主）解法一

直接用电流场的计算方法解法二

静电比拟法接地电阻越大越好吗？2.直立管形接地器解：考虑地面的影响，可用镜像法。实际电导即

由静电比拟法

图2.5.4直立管形接地器

则3.非深埋的球形接地器解：考虑地面的影响，可用镜像法处理。图2.5.5非深埋的球形接地器为保护人畜安全起见（危险电压取40V)在电力系统的接地体附近，要注意危险区。相应为危险区半径2.5.3跨步电压图2.5.7半球形接地器的危险区以浅埋半球接地器为例实际电导接地器接地电阻4.浅埋半球形接地器解：考虑地面的影响用镜像法处理。此时由静电比拟图2.5.6浅埋半球形接地器同轴电缆屏蔽室接地电阻（深度20米）高压大厅网状接地电阻（深度1米）

静电场

静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。

本章任务：

阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。

静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。

静电场知识结构框图1.1.1库仑定律1.1电场强度N(牛顿)适用条件

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况(式中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)N(牛顿)结论：电场力符合矢量叠加原理图1.1.1两点电荷间的作用力

库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的点电荷与之间的相互作用力:

当真空中引入第三个点电荷时，试问与相互间的作用力改变吗?为什么？1.1.2静电场基本物理量——电场强度定义：

V/m(N/C)

电场强度（ElectricFieldIntensity)E

表示单位正电荷在电场中所受到的力(F),它是空间坐标的矢量函数,定义式给出了E

的大小、方向与单位。a)点电荷产生的电场强度V/mV/m图1.1.2点电荷的电场b)n个点电荷产生的电场强度

(注意:矢量叠加)c)连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布面电荷分布线电荷分布图1.1.3体电荷的电场例1.1.1

真空中有长为L的均匀带电直导线,电荷线密度为,试求P点的电场.解:采用直角坐标系,令y轴经过场点p,导线与x轴重合。(直角坐标)(圆柱坐标)图1.1.4带电长直导线的电场

无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。

电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分,然后再合成,即

点电荷的数学模型

积分是对源点进行的,计算结果是场点的函数。

点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。当时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数表示点电荷的密度分布。图1.1.5单位点电荷的密度分布点电荷的密度点电荷矢量恒等式直接微分得故电场强度E

的旋度等于零1.2静电场环路定律和高斯定律

1.

静电场旋度1.2.1

静电场环路定律

可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。表明静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即2.静电场的环路定律

在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。

电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。由斯托克斯定理，得

二者等价。3.电位函数

在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)

已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷1)

电位的引出以点电荷为例推导电位：根据矢量恒等式3)

E与的微分关系

在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：

？()

？()4)

E与的积分关系设P0为参考点

根据

E与的微分关系，试问静电场中的某一点图1.2.1E与的积分关系5)

电位参考点的选择原则

场中任意两点的电位差与参考点无关。

同一个物理问题，只能选取一个参考点。

选择参考点尽可能使电位表达式比较