华侨大学数学科学学院（泉州校区）《723数学分析》历年考研真题汇编（含部分答案）

目录

2016年华侨大学723数学分析（A）考研真题

2015年华侨大学723数学分析考研真题

2014年华侨大学723数学分析考研真题

2013年华侨大学723数学分析考研真题

2012年华侨大学723数学分析（A）考研真题

2011年华侨大学725数学分析（B）考研真题及详解

2010年华侨大学725数学分析（A）考研真题

2009年华侨大学727数学分析（B）考研真题

2008年华侨大学727数学分析（A）考研真题

2016年华侨大学723数学分析（A）考研真

题

2015年华侨大学723数学分析考研真题

2014年华侨大学723数学分析考研真题

2013年华侨大学723数学分析考研真题

2012年华侨大学723数学分析（A）考研真

题

2011年华侨大学725数学分析（B）考研真

题及详解

一、（共24分，每小题8分）求下列极限.

1．；

解：原式

2．；

解：

.

因且，因此，

.

3．.

解：原式

二、（15分）设函数在区间上连续，证明：若对任何有理数

有，则在上.

证明：（reductioadabsurdum）Assume&．

Take．Becauseiscontinuous，，when，

．Sothat，when，

．Bythedensityofrationalnumbers，，

itsatisfies．So．Itisacontradictionto．

Hence，.

三、（10分）设，为非空有界数集，．证明：

.

证明：因非空且有界，因此的上、下确界都存在．，有

，因此，，从而有，故而有

．又有，因此，，从而；

同理有，故而得．由所证结论可得

.

四、（共18分，每小题9分）计算下列积分.

1．；

解：原式

.

2．，其中为自然数.

解．原式

.

五、（10分）证明函数

在处连续，但在处导数不存在.

证明：当时，，又，因此，

．即在处连续.

因，，，

，因此不存在，即在

处导数不存在.

6．（15分）讨论积分为绝对收敛还是条件收敛.

解：，．当时，

，因此，当，时，严格单调减且趋于零，由Dirichlet判别

法知积分收敛，从而也收敛.

当时，．因

收敛，而

发散，因此，发散．即原积分条件收敛.

7．（10分）计算积分，其中为柱面

被平面，所截部分的外侧.

解：原式.

8．（10分）求曲面的平行于平面的切平

面.

解：令．则曲面在点处

的切平面方程为

则有关系式

将，代入得从而得，

．所求切平面方程为

和

即.

9．（10分）求在处的泰勒（Taylor）展开式的前四项.

解：，，

（）.

10．（10分）计算曲线积分，其中为以，

，，为顶点的正方形的围线.

解：的方程为；的方程为；

的方程为

；的方程为．在围线上恒

成立．因此，

.

11．（8分）设在无穷区间内可导，且

，

其中为某一常数．证明：在区间内至少有一点满足

.

证明：令，则在上连续.

若，则，结论成立．设在内不为常数．

则当充分小时，必存在，满足，或．

不妨设．因，因此，当时，

，．因在上连续，且

，以及，因此在内有最大值点（），它

也为极大值点，故有.

若．当时，．因此在内有最小值点

，也为极小值点，故也有.

12．（10分）设定义在上，证明：若对内任一收敛数

列．极限都存在，则在上一致连续.

证明：（1）．若，，且．令为

.

则，且．由题设知存在，而与

为的两个子列，因此，.

（2）．假设在不一致连续，则存在正数，对任给的

，存在，，使得.

取，则存在，，使得

．因，为有界数列，因此存在收敛的子列

，因，因此．由⑴的结论知