2022年北京和平街一中初一（下）期中数学试卷（教师版）

1/12022北京和平街一中初一（下）期中数学一、选择题（每题2分，共16分）1．北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的（如图）．下面四个图案中，可以通过平移图案得到的是A． B． C． D．2．4的算术平方根是A．16 B． C．2 D．3．在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是A． B． C． D．4．如图，已知平行线，，一个直角三角板的直角顶点在直线上，另一个顶点在直线上，若，则的大小为A． B． C． D．5．下列方程组：①，②，③，其中是二元一次方程组的是A．①② B．②③ C．①③ D．③6．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为A． B． C． D．7．如图，，的坐标分别为，，若将线段平移至，，分别在轴和轴上，则三角形的面积为A．1 B．1.5 C．2 D．2.58．如图，直线，在某平面直角坐标系中，轴，轴，点的坐标为，点的坐标为，则坐标原点为A． B． C． D．二、填空题（每题2分，共16分）9．如图，直线，相交于点，若，则．10．点到轴的距离为．11．如图，点，，，，在直线上，点在直线外，于点，在线段，，，，中，最短的一条线段是，理由是12．已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为．13．如图，数轴上点，对应的数分别为，2，点在线段上运动．请你写出点可能对应的一个无理数．14．如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出的条件是．（填上所有符合条件的序号）15．在数学课上，王老师拿出一张如图1所示的长方形纸（对边，，四个角都是直角），要求同学们用直尺和量角器在边上找一点，使．（1）甲同学的思路：在边上任取一点，以为顶点，以为一边，用量角器作角，则即为所求．（2）乙同学的思路：以为始边，在长方形的内部，利用量角器作，射线与交于点，如图2所示，则即为所求．你支持同学的思路，作图依据是．16．下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．体育小组活动次数科技小组活动次数文艺小组活动次数课外兴趣小组活动总时间（单位：1班46511.52班464113班474124班613（说明：活动次数为正整数）科技小组每次活动时间为，该年级4班这个月体育小组活动次数最多可能是次．三、解答题（第17题5分，18题每题8分，第19，20，21，22，23，24题每题5分，第25题4分，第26，27，28题每题7分，共68分）17．（5分）计算：18．（8分）求出下列等式中的值：（1）；（2）．19．（5分）解下列方程组．20．（5分）已知：如图，直线，相交于点，，平分，求的度数．21．（5分）数学课上老师要求学生解方程组：同学甲的做法是：解：由①，得．③把③代入②．得．解得．把代入③，解得．所以原方程组的解是老师看了同学甲的做法说：“做法正确，但是方法复杂，要是能根据题目特点，采用更加灵活简便的方法解此题就更好了”．请你根据老师提供的思路解此方程组．22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．（1）过点作轴的垂线，垂足为，在的延长线上截取，平移线段使点移动到点，请画出平移后的线段；（2）直接写出，两点的坐标．23．（5分）如图，，垂足为，，垂足为点，，求证：是的平分线．请将下面的证明过程补充完整．证明：，，（已知），（垂直定义），，（两直线平行，同位角相等）．，（已知），（等量代换）是的平分线．（角平分线定义）24．（5分）已知正实数的平方根是和．（1）当时，求；（2）若，求的值．25．（4分）阅读下面材料：判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，是的平分线，，但它们不是对顶角．请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）26．（7分）对有序数对定义“运算”：，，，其中，为常数．运算的结果也是一个有序数对，比如当，时，，，（1）当，时，．（2），，，则，；（3）有序数对，满足方程，，，，求，的值．27．（7分）阅读下面材料，完成（1）（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知，点、分别在，上，，，求的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现，，由已知．可以求出的度数”．小伟：“如图3，这样作平行线，经过推理，得，也能求出的度数”．小华：“如图4，也能求出的度数．”（1）请你根据小伟同学所画的图形（图，描述小伟同学辅助线的做法，辅助线：．（2）请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为．老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：（3）如图5，，点、分别在，上，，若．请探究与的数量关系，并证明你的结论．28．（7分）在直角坐标系中，点为坐标原点，，，将线段平移到直线的右边得到线段（点与点对应，点与点对应），点的坐标为，且．（1）如图1，当点坐标为时，请直接写出三角形的面积：；（2）如图2，点是线段延长线上的点，的平分线交射线于点．求证：；（3）如图3，线段运动的过程中，在（2）的条件下，．①当时，在直线上点，满足三角形的面积等于三角形的面积，请直接写出点的坐标：；②在轴上的点，满足三角形的面积等于三角形的面积的2倍，请直接写出点的坐标：．（用含的式子表示）．

参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小解答．【解答】解：能通过平移得到的是选项图案．故选：．【点评】本题考查了利用平移设计图案，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状并准确识图是解题的关键．2．【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：的平方为4，的算术平方根为2．故选：．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．3．【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：、在第一象限，故本选项错误；、在第四象限，故本选项错误；、在第二象限，故本选项错误；、在第三象限，故本选项正确．故选：．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．4．【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由余角的定义即可得出结论．【解答】解：，，直角三角板的直角顶点在直线上，，故选：．【点评】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．【分析】根据二元一次方程组的定义对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：①是三元一次方程组，故错误．②中的第一个方程不是整式方程，故错误．③符合二元一次方程组的定义，故正确．故选：．【点评】本题考查的是二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．6．【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数．【解答】解：正方形的面积为5，且，，点表示的数是1，且点在点右侧，点表示的数为．故选：．【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．7．【分析】由作图可知，线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，求出，的坐标可得结论．【解答】】解：由作图可知，线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，，，，，三角形的面积为．故选．【点评】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．【分析】先根据点、的坐标求得直线在坐标平面内的位置，即可得出原点的位置．【解答】解：如图所示，在平面直角坐标系中，画出点，点，点，关于直线对称，则原点在线段的垂直平分线上（在线段的右侧），如图所示，连接，作的垂直平分线，则线段上方的点为坐标原点．故选：．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握关于直线对称的点的坐标特征：点关于直线对称的点的坐标为．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】直接根据对顶角相等得到的度数．【解答】解：直线、相交于点，，，．故答案为：30．【点评】本题考查了对顶角．解题的关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．10．【分析】根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值，可得答案．【解答】解：到轴的距离，故答案为：4．【点评】本题考查了点的坐标，利用点到轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键．11．【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案．【解答】解：根据点到直线的距离的定义得出线段的长是点到直线的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．故答案是：；垂线段最短．【点评】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．12．【分析】把方程的解代入方程，则得到关于的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：是二元一次方程的一个解，，解得：．故答案为：3．【点评】本题主要考查二元一次方程的解，解答的关键是把方程的解代入得到关于的方程．13．【分析】根据无理数的估计解答即可．【解答】解：由点可得此无理数应该在与2之间，故可以是，故答案为：（答案不唯一，无理数在与2之间即可），【点评】此题考查实数与数轴，关键是根据无理数的估计解答．14．【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．【解答】解：①，；②，；③，；④，．故答案为：②④．【点评】本题考查了平行线判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．15．【分析】支持乙同学的思路．利用三角形的外角的性质证明即可．【解答】解：支持乙同学的思路．如图1中，四边形是矩形，，，，．作图依据是：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．【点评】本题考查作图应用与设计作图，矩形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】设体育活动每次活动时间为，科技小组活动时间为，文艺活动时间为．构建方程组求出，，，设4班体育活动的次数为次，文艺活动的次数为次，则，求出整数解，可得结论．【解答】解：设体育活动每次活动时间为，科技小组活动时间为，文艺活动时间为．则有，解得，设4班体育活动的次数为次，文艺活动的次数为次，则，解得，，或，或，或，．该年级4班这个月体育小组活动次数最多可能是8，故答案为：1，8．【点评】本题考查统计表，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组或方程解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（第17题5分，18题每题8分，第19，20，21，22，23，24题每题5分，第25题4分，第26，27，28题每题7分，共68分）17．【分析】本题涉及立方根、绝对值、二次根式3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握立方根、绝对值、二次根式等考点的运算．18．【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；（2）先移项，再根据立方根的定义解即可．【解答】解：（1），；（2），，．【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．19．【分析】用代入消元法解方程组即可．【解答】解：，由①得：③，把③代入②得：，，代入③得：，原方程组的解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．20．【分析】根据邻补角的性质得到，由角平分线的性质得到，根据邻补角的性质可求出答案．【解答】解：，，平分，，．【点评】本题考查的是邻补角和角平分线的定义，掌握邻补角的和等于和角平分线的定义是解题的关键．21．【分析】将方程②整体代入方程①中，达到消元的目的，解出的值，再代入求的值即可．【解答】（5分）解：把②代入①．得．解得．把代入①，解得．（4分）所以原方程组的解是（5分）【点评】此题考查了解二元一次方程组，学会运用“整体代入”方法是解本题的关键．22．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据点的位置写出坐标即可．【解答】解：（1）图形如图所示；（2），．【点评】本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．23．【分析】先根据垂直的定义得到，利用同位角相等得到，内错角相等得到，根据等量代换即可求证平分【解答】证明：，，（已知），（垂直定义），同位角相等，两直线平行，（两直线平行，同位角相等）．两直线平行，内错角相等，（已知）1，（等量代换）是的平分线．（角平分线定义）故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；．【点评】主要考查了角平分线的判定．一般是通过证明它所分得的两个角相等，同时考查了平行线的性质和垂线的定义．24．【分析】（1）依据平方根的性质可得，和互为相反数，进而得到的值．（2）依据平方根的性质，即可得出，代入方程即可得到的值．【解答】解：（1）正实数的平方根是和，当时，，解得；（2）正实数的平方根是和，，原方程可化为：，即，解得，又，．【点评】本题主要考查了平方根，关键是掌握平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数．25．【分析】分别列举满足条件的题设，但不满足题设的结论即可．【解答】解：如图，；如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．26．【分析】（1）根据“运算”的定义计算即可；（2）根据“运算”的定义列出方程组即可解决问题；（3）根据“运算”的定义列出方