适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练5数列求和及其综合应用课件

考点突破练5数列求和及其综合应用1234561.(2023安徽芜湖高三统考)已知Sn是数列{an}的前n项和,2Sn=(n+1)an,且a1=1.(1)求{an}的通项公式;(2)设a0=0,已知数列{bn}满足

,求{bn}的前n项和Tn.123456

所以Tn=(tan

1-tan

0)+(tan

2-tan

1)+(tan

3-tan

2)+…+[tan

n-tan(n-1)]=tan

n-tan

0=tan

n.1234562.(2023山东济南二模)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,数列{bn}满足bn=log2an.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)由an,bn构成的n×n阶数阵如图所示,求该数阵中所有项的和Tn.123456解

(1)因为Sn=2n+1-2,当n=1时,S1=22-2=2,即a1=2,当n≥2时,Sn-1=2n-2,所以Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2),即an=2n,经检验,当n=1时,an=2n也成立,所以an=2n,则bn=log2an=log22n=n.(2)由数阵可知Tn=a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)=(a1+a2+…+an)·(b1+b2+…+bn),1234563.(2023河北张家口高三期末)已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an-4n+2.(1)证明:数列{an+4}为等比数列;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.123456(1)证明

由题知Sn=2an-4n+2,所以a1=S1=2a1-4×1+2,解得a1=2,故a1+4=6.由Sn=2an-4n+2,可得Sn-1=2an-1-4(n-1)+2,n≥2,两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-4,n≥2,所以数列{an+4}是以6为首项,2为公比的等比数列.123456(2)解

由(1)得数列{an+4}是以6为首项,2为公比的等比数列,所以an+4=6×2n-1,故an=3×2n-4,则nan=3n×2n-4n.设bn=n×2n,其前n项和为Pn,则Pn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①2Pn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②1234564.(2023广东河源高三期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S8=36,an=log3bn.(1)求{an}和{bn}的通项公式;1234561234561234565.(2023新高考Ⅰ,20)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令

,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.1234561234561234561234566.(2023山东青岛高三期末)记数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,__________.给出下列两个条件:条件ⓐ,数列{an}和数列{Sn+a1}均为等比数列;条件ⓑ,2na1+2n-1a2+…+2an=nan+1.试在上面的两个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答.

(1)求数列{an}的通项公式;(2)记正项数列{bn}的前n项和为Tn,b1=a2,b2=a3,4Tn=bn·bn+1,求(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)123456解

(1)若选条件ⓐ:∵数列{Sn+a1}为等比数列,∴(S2+a1)2=(S1+a1)(S3+a1),即(2a1+a2)2=2a1(2a1+a2+a3).∵a1=1,且设等比数列{an}的公比为q,∴(2+q)2=2(2+q+q2),解得q=2或q=0(舍去),∴an=a1qn-1=2n-1.若选条件ⓑ:∵2na1+2n-1a2+…+2an=nan+1,①∴2n-1a1+2n-2a2+…+2an-1=(n-1)an(n≥2),∴2na1+2n-1a2+…+22an-1=2(n-1)an(n≥2),②①-②得2an=nan+1-2(n-1)an(n≥2),即an+1=2an(n≥2),令2na1+2n-1a2+…+2an=nan+1中n=1,得a2=2a1也符合上式,故数列{an}为首项a1=1,公比q=2的等比数列,则an=a1qn-1=2n-1.123456(2)由(1)可知,不论条件为ⓐ还是ⓑ,都有数列{an}是首项a1=1,公比q=2的等比数列,即an=2n-1,则b1=a2=2,b2=a3=4,∵4Tn=bn·bn+1,③∴4Tn-1=bn-1·bn(n≥2),④③-④得4(Tn-Tn-1)=bn·bn+1-bn-1·bn(n≥2),即4bn=bn·(bn+1-bn-1)(n≥2),∵数列{bn}为正项数列,则bn+1-bn-1=4(n≥2),则数列{bn}的奇数项、偶数项分别都是公差为4的等差数列,∴{b2k