2023-2024学年广东广州越秀区培正中学高一上数学期末经典模拟试题含解析

2023-2024学年广东广州越秀区培正中学高一上数学期末经典模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．在直角坐标系中，已知，那么角的终边与单位圆坐标为（）A. B.C. D.2．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是A. B.C. D.3．已知集合，a=3．则下列关系式成立的是A.aAB.aAC.{a}AD.{a}∈A4．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B.C. D.5．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知中，，，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．计算器是如何计算，，，，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，，其中.英国数学家泰勒(B.Taylor，1685-1731)发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（）A.0.50 B.0.52C.0.54 D.0.568．在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是3的概率为（）A. B.C. D.9．已知函数则函数的零点个数为.A. B.C. D.10．设，，，则（）A. B.C. D.11．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）①；②；③；④A.①② B.①④C.②③ D.③④12．甲、乙两人破译一份电报，甲能独立破译的概率为0.3，乙能独立破译的概率为0.4，且两人是否破译成功互不影响，则两人都成功破译的概率为（）A.0.5 B.0.7C.0.12 D.0.88二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为__________14．若，则实数____________.15．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围是____________16．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知数列满足（，且），且，设，，数列满足.（1）求证：数列是等比数列并求出数列的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围.18．如图，在三棱柱中，侧棱⊥底面，，分别为棱的中点（1）求证：；（2）若求三棱锥的体积19．已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为6的等腰直角三角形.（1）画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求证：；（3）求四棱锥外接球的直径.21．已知，计算下列各式的值.（1）；（2）.22．在区间上，如果函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增”函数.试证明：函数在区间上为“弱增”函数.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、A【解析】利用任意角的三角函数的定义求解即可【详解】因为，所以角的终边与单位圆坐标为，故选：A2、A【解析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，再依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.【详解】易知：函数为偶函数，且在上单调递增A.，函数为偶函数，且当时单调递增，满足；B.为偶函数，且当时单调递减，排除；C.函数为奇函数，排除；D.，函数为非奇非偶函数，排除；故选：【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.3、C【解析】集合，，所以{a}A故选C.4、B【解析】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值【详解】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m==4，由勾股定理求得切线长的最小值为=故选B【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小5、B【解析】根据给定条件求出函数的值域，由在此值域内解不等式即可作答.【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是，因存在实数，使得，则，因此，，解得，所以的取值范围是.故选：B6、D【解析】如图所示，建立直角坐标系，则，，，．利用向量的坐标运算可得．再利用数量积运算，可得．利用数量积性质可得，可得．再利用，，可得，即可得出【详解】如图所示，建立直角坐标系则，，，，，及四边形为矩形，，，．即点在直线上，，，，，，即（当且仅当或时取等号），综上可得：故选：【点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题7、C【解析】根据新定义，直接计算取近似值即可.【详解】由题意，故选：C8、A【解析】设函数，求出时的取值范围，再根据讨论的取值范围，判断是否能取得最大值,从而求出对应的概率值【详解】在区间上任取一个数，基本事件空间对应区间的长度是，由，得，∴，∴的最大值是或，即最大值是或；令，得，解得；又，∴；∴当时，，∴在上的最大值是，满足题意；当时，，∴函数在上的最大值是，由，得，的最大值不是；9、B【解析】令，得，令,由，得或，作出函数的图象，结合函数的图象，即可求解【详解】由题意，令，得，令,由，得或，作出函数的图象，如图所示，结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中令,由，得到或，作出函数的图象，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题10、A【解析】先计算得到，，再利用展开得到答案.详解】，，；，；故选：【点睛】本题考查了三角函数值的计算，变换是解题的关键.11、D【解析】对每个函【解析】判断奇偶性及单调性即可.【详解】对于①，，奇函数，在和上分别单增，不满足条件；对于②，，偶函数，不满足条件；对于③，，奇函数，在R上单增，符合题意；对于④，，奇函数，在R上单增，符合题意；故选：D12、C【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】由题意，甲、乙分别能独立破译的概率为和，且两人是否破译成功互不影响，则这份电报两人都成功破译的概率为.C.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】联立方程组求得交点的坐标为，根据题意求得所求直线的斜率为，结合点斜式可得所求直线的方程.【详解】联立方程组，得交点，因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率，由点斜式得所求直线方程为，即.故答案为：.14、5##【解析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，得到求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.15、【解析】由题可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，结合条件即得.【详解】∵，由，得，当时，，则，解得此时，当时，，则，解得此时，不合题意，当取其它整数时，不合题意，∴.故答案：.16、（答案不唯一）【解析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得，由于单调递增，则，又，解得，取，所以.故答案为：（答案不唯一）三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、(1)见解析（2）(3).【解析】（1）将式子写为：得证，再通过等比数列公式得到的通项公式.（2）根据（1）得到进而得到数列通项公式，再利用错位相减法得到前n项和.（3）首先判断数列的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将代入不等式，计算得到答案.【详解】（1）因为，所以，，所以是等比数列，其中首项是，公比为，所以，.（2），所以，由（1）知，，又，所以.所以，所以两式相减得.所以.（3），所以当时，，当时，，即，所以当或时，取最大值是.只需，即对于任意恒成立，即所以.【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求前N项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.18、（1）见解析；（2）.【解析】（1）可证平面，从而得到.（2）取的中点为，连接，可证平面，故可求三棱锥的体积【详解】（1）因为侧棱⊥底面，平面，所以，因为为中点，，故，而，故平面，而平面，故.（2）取的中点为，连接.因为，故，故，因为，故，且，故，因为三棱柱中，侧棱⊥底面，故三棱柱为直棱柱，故⊥底面，因为底面，故，而，故平面，而，故.【点睛】思路点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.19、(1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x＋24y＋2＝0.【解析】（1）直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定点；（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大，利用点斜式求直线方程即可.试题解析：（1）证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，得，所以直线l恒过定点.（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.又直线PA的斜率，所以直线l的斜率kl＝－.故直线l的方程为，即15x＋24y＋2＝0.20、(1)见解析；（2）见解析；（3）.【解析】（1）该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形（内含对角线），如图，即可得出面积(2)设法证明面即可；（3）由侧视图可求得即为四棱锥外接球的直径试题解析：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6的正方形，如图，其面积为36.(2)证明：因为底面，底面，所以，由底面为正方形，所以,，面，面，所以面，面，所以（3）由侧视图可求得由正视图可知，所以在Rt△中，.所以四棱锥外接球直径为.21、（1）；（2）.【解析】（1