专题01 实数运算及规律探究问题（复习讲义）（解析版）-二轮要点归纳与典例解析

专题01实数运算及规律探究问题复习讲义复习讲义【要点归纳|典例解析】类型一：有理数考点01有理数的概念1．有理数的概念：整数和分数统称有理数⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。2.有理数大小的比较（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.考点02相反数、绝对值和倒数的概念1．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.2.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；(3)若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）(4)|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；(5)|a|=|a|=a；(6)|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|【拓展】|a|≥0b≥0（1）若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；（2）若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；（3）若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0。【绝对值问题总结】（1）利用绝对值的定义及性质解决的问题（2）简单的绝对值方程问题（3）化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）问题（4）绝对值几何意义的使用问题3.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.考点03乘方1．乘方的定义（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；2．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.3.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.4.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.类型二：无理数考点01实数1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。2．有理数：有限小数或无限循环小数叫做有理数。3．无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等。4.．算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。5．平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，则x叫做a的平方根。6．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，；负数没有平方根。7．一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。8．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。考点02二次根式1．二次根式的定义：形如式子（≥0）叫做二次根式。（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。2．二次根式有意义的条件：被开方数≥03.二次根式的性质（1）是非负数；（2）（）2=（≥0）；（3）（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a≥0,b≥0）。（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即（a≥0,b>0）。反之，考点03分母有理化1．最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。2．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。3．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。4．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。6．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为类型三：实数的混合运算1．加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.2．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.3.乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.4.乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.5．除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.6．乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.8．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。

一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：

（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组

（3）合并同类二次根式9．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（a≥0，b≥0）。两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（a≥0，b＞0）。10.常见类型常见类型一：．常见类型二：．11.特殊值的三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在10类型四：规律问题1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．类型一：有理数1.﹣的相反数是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【答案】C【解析】-的相反数是．故选C．点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2.（2021•苍溪县模拟）下列选项中，两数互为倒数的是A．5与 B．与 C．2020与 D．2020与【解析】、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项正确．故选：．3.（2020•西城区二模）如图，实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A． B． C． D．【解析】选项，从数轴上看出，在与之间，，故选项不合题意；选项，从数轴上看出，在在原点右侧，，故选项不合题意；选项，从数轴上看出，在与之间，在1和2之间，在和之间，，故选项符合题意；选项，从数轴上看出，在与之间，在1与2之间，，，，，，所以，故选项不合题意．故选：．4.（2019•湖北孝感）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250000000亿次/秒，将数1250000000用科学记数法可表示为．【答案】1.25×109．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．将数1250000000用科学记数法可表示为1.25×109．5.（2021·四川南充市·中考真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值．【详解】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，，∴和互为相反数，∴+=0，解得m=-1．故选D．【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键．6.（经典题）按照要求，用四舍五入法表示数。（1）1.804（精确到0.01）（2）0.0158（精确到0.001）【答案】（1）1.80（2）0.016【解析】精确到0.01，意思就是把这个数保留到小数点后两位，关键要看小数点后第三位要等于大于5就把小数点后面第二位进1。小数点后第三位要小于5，小数点后面第二位不变。精确到0.001，意思就是把这个数保留到小数点后三位，关键要看小数点后第四位要等于大于5就把小数点后面第三位进1。小数点后第四位要小于5，小数点后面第三位不变。（1）1.804（精确到0.01）=1.80（2）0.0158（精确到0.001）=0.0167．（2020•浦城县二模）若、满足，则的值等于A． B．1 C． D．【解析】，，解得，．故选：．类型二：无理数8．（2021·浙江金华市·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】按照负整数的概念即可选取答案．【详解】解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数故选D．【点睛】本题考查了实数的分类，比较简单．9.（2021·浙江绍兴市·中考真题）实数，，，中，最小的数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：∵，∴所给的实数中，最小的数是-3；故选：C．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．10．（2019·安徽省中考模拟）下列说法错误的是()A．的平方根是±2 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数【答案】D【解析】解：A、的平方根是±2，故选项说法正确；B、是无理数，故选项说法正确；C、=-3是有理数，故选项说法正确；D、不是分数，它是无理数，故选项说法错误．故选D．11．（2021·浙江中考真题）已知是两个连续整数，，则分别是（）A． B．，0 C．0，1 D．1，2【答案】C【分析】先确定的范围，再利用不等式的性质确定的范围即可得到答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握利用算术平方根的含义估算无理数是解题的关键．类型三：实数的混合运算12.【石家庄市部分学校联考试卷】下列说法中，正确的是（）A.（﹣6）2的平方根是-6 B.带根号的数都是无理数C.27的立方根是±3 D.立方根等于-1的实数是-1【解析】A、（﹣6）2=36，36的平方根是±6，原说法错误，故本选项错误；B、带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，故本选项错误；C、27的立方根是3，故本选项错误；D、立方根等于-1的实数是-1，说法正确，故本选项正确；故选D．13.（2019湖南常德）下列运算正确的是（）A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝【答案】D【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．A.原式＝+2，所以A选项错误；B.原式＝2，所以B选项错误；C.原式＝2，所以C选项错误；D.原式＝＝，所以D选项正确．14.（2019•湖北省随州市）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：==7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于-，设x=-，易知＞，故x＞0，由x2=（-）2=3++3--2=2，解得x=，即-=．根据以上方法，化简+-后的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设x=-，且＞，∴x＜0，∴x2=6-3-2+6+3，∴x2=12-2×3=6，∴x=，∵=5-2，∴原式=5-2-=5-315.（2019贵州遵义）计算2sin60°+【答案】3【解析】sin60°=，，=-2，代入求值即可2sin60°+==316.（合肥市天鹅湖教育集团一模）.计算：．【解析】原式，，．17.（惠州市四校联考）计算：8-2sin【解析】原式=2-2×+2--4+1=-1．（合肥市168中一模）计算：(12【解析】原式=1类型四：规律问题18.（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣38419．已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（）A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5【答案】A【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【详解】解：∵，∴，，，……∴这个数列以-2，，依次循环，且，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．20.（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为2201721.（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（）A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，再由面积公式即可求解；解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S