浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷三

2021-2022学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷03一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）a、b是两个给定的整数，某同学分别计算当x＝﹣1，1，2，4时，代数式ax+b的值，依次得到下列四个结果，已知其中只有三个是正确的，那么错误的一个是（）A．﹣a+b＝﹣1 B．a+b＝5 C．2a+b＝7 D．4a+b＝14【分析】先联合A、B，把所得的解代入C、D，若只有一个错，说明符合题意；若C、D都错则说明A、B中有一个错误，以此类推，可找出答案．【解答】解：当x＝﹣1时，ax+b＝﹣a+b；当x＝1时，ax+b＝a+b；当x＝2时，ax+b＝2a+b；当x＝4时，ax+b＝4a+b；若A、B正确，解关于AB的二元一次方程组可得，把a、b的值代入C、D，可知2a+b＝8≠7，4a+b＝14，即C错误；若B、C正确，解关于B、C的二元一次方程组可得，把a、b的值代入A、D，可知a+b＝5≠﹣1，4a+b＝11≠14，即A、D错误，说明B、C里有一个错误，同理，若C、D正确，可得，而A、B都错，说明C、D里有一个错误，综合可知C错．故选：C．【点评】本题考查了代数式的求值、解方程．解题的关键是采用排除法选择答案．2．（5分）方程（x2+x﹣1）x+3＝1的所有整数解的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为﹣1，指数为偶数．【解答】解：（1）当x+3＝0，x2+x﹣1≠0时，解得x＝﹣3；（2）当x2+x﹣1＝1时，解得x＝﹣2或1．（3）当x2+x﹣1＝﹣1，x+3为偶数时，解得x＝﹣1因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．故选：B．【点评】本题考查了：a0＝1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意．3．（5分）已知a﹣b＝3，那么a3﹣b3﹣9ab的值是（）A．3 B．9 C．27 D．81【分析】把所求的式子用已知的式子a﹣b表示出来，代入数据计算即可．【解答】解：a3﹣b3﹣9ab，＝（a﹣b）（a2+b2+ab）﹣9ab，＝（a﹣b）[（a﹣b）2+3ab]﹣9ab，＝3（9+3ab）﹣9ab，＝27+9ab﹣9ab，＝27．故选：C．【点评】本题考查了完全平方式，整理成已知条件的形式是求解的关键，也是解答本题的难点．4．（5分）如图，矩形ABCD被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD的面积等于（）A．152 B．143 C．132 D．108【分析】可设右下角的正方形的边长为未知数，表示出其余正方形的边长，根据最大正方形边长的两种表示方法相等可得未知数的值，进而得到矩形的边长，相乘即可．【解答】解：∵最小正方形的面积等于1，∴最小正方形的边长为1，设右下角的正方形的边长为x．∴AB＝x+1+（x+2）＝2x+3，BC＝2x+（x+1）＝3x+1，∵最大正方形可表示为2x﹣1，也可表示为x+3，∴2x﹣1＝x+3，解得x＝4，∴AB＝11，BC＝13，∴矩形的面积为11×13＝143，故选：B．【点评】考查一元一次方程的应用；得到最大正方形的两种表达形式是解决本题的突破点．5．（5分）观察以下数组：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…．问2005在第（）组．A．44 B．45 C．46 D．无法确定【分析】首先确定2005在（1），（2，3），（4，5，6），…中第1003的位置，再计算出有1开始加到哪个数时还小于1003可再加一个却大于1003时，就可以了．【解答】解：2005在（1），（2，3），（4，5，6），…中第1003的位置，设所在组数为n，则∵＜1003＜∴n＝45在第45组．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．6．（5分）若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足（2005﹣x1）（2005﹣x2）（2005﹣x3）（2005﹣x4）（2005﹣x5）＝242，则x12+x22+x32+x42+x52的末位数字是（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】可将242分解为5个数，然后再求其平方和，展开得出其末位数的值，进而通过推理即可得出所求末位数的值．【解答】解：（2005﹣x1）（2005﹣x2）（2005﹣x3）（2005﹣x4）（2005﹣x5）＝242，而242＝2×（﹣2）×4×6×（﹣6），（2005﹣x1）2+（2005﹣x2）2+…（2005﹣x5）2＝22+（﹣2）2+42+62+（﹣6）2＝96，即5×20052﹣2005×2×（x1+x2+x3+x4+x5）+（x12+x22+x32+x42+x52）的末位数为6，由上式可知：5×20052的末位数为5，2005×2×（x1+x2+x3+x4+x5）的末位数为0，而96的末位数为6，所以6﹣5＝1，即x12+x22+x32+x42+x52的末位数为1．故选：A．【点评】本题主要考查了尾数特征和数字变化类的一些简单问题，能够掌握其内在规律，并熟练求解．7．（5分）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（）A．24条 B．21条 C．33条 D．36条【分析】先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可．【解答】解：AE上共有不重合的线段4条，AM上共有不重合的线段4条，BM上共有不重合的线段3条，CL上共有不重合的线段3条，DK上共有不重合的线段3条，EF上共有不重合的线段4条．共计21条．故选：B．【点评】本题考查的是相交线的有关知识，此题的易错点在于“不重叠线段”而不是所有的线段．8．（5分）已知a2+4a+1＝0，且＝3，则m的值为（）A． B． C．19 D．﹣19【分析】先判断出a≠0，给a2+4a+1＝0两边同时除以a得，a+＝﹣4，再两边平方得出a2+＝14，给＝3的左边的分子和分母同时除以a2得＝3，再将a+＝﹣4和a2+＝14代入，解方程即可得出结论．【解答】解：当a＝0时，a2+4a+1≠0，∴给a2+4a+1＝0两边同时除以a得，a+＝﹣4，两边平方得a2++2＝16，∴a2+＝14，给＝3的左边的分子和分母同时除以a2得＝3，∴，∴m＝，经检验：m＝是方程的解，故选：A．【点评】此题主要考查了等式的性质，完全平方公式，求出a2+＝14是解本题的关键．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，且满足方程3x+5[x]﹣49＝0，则x＝．【分析】在一个方程中有些变量在取整符号中，有些变量在取整符号外，这类方程一般要利用不等式[x]≤x＜[x]+1，求出[x]的范围，然后再代入原方程求出x的值．【解答】解：令[x]＝n，代入原方程得3x+5n﹣49＝0，即x＝．又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1．整理得3n≤49﹣5n＜3n+3，即＜n≤，∴n＝6．代入原方程得3x+5×6﹣49＝0，解得x＝．经检验，x＝是原方程的解．【点评】通过本题我们总结解这类方程的一般步骤：（1）设取整部分为n代入原方程，并把x表示为n的形式；（2）利用[x]≤x＜[x]+1可得到关于n的不等式，并求出n的可能值；（3）分别将这些“可能值”代入原方程进行求解；（4）验根，在第（2）步运算时，实际上将n的范围扩大了，也就将x的范围扩大了，所以必须验根．10．（5分）已知实数a，b，x，y满足ax+by＝3，ay﹣bx＝5，则（a2+b2）（x2+y2）的值是34．【分析】将ax+by＝3，ay﹣bx＝5这两式两边平方后相加，最经过提取公因式，左边可得（a2+b2）（x2+y2）至此问题解决．【解答】解：由题意得，ax+by＝3①ay﹣bx＝5②①2得a2x2+b2y2+2abxy＝9③②2得a2y2+b2x2﹣2abxy＝25④③+④得a2x2+b2y2+a2y2+b2x2＝34a2（x2+y2）+b2（x2+y2）＝34（a2+b2）（x2+y2）＝34故答案为34【点评】本题主要考查了完全平方式即化简求值．在化简过程中巧妙运用了a2x2+b2y2+a2y2+b2x2可直接分解为（a2+b2）（x2+y2）的形式．11．（5分）已知：a、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则（m+n）2004＝0．【分析】当取最大值时，a，b，c都为正数；当取最小值时，a，b，c都为负数，即m＝4，n＝﹣4，代入求值即可．【解答】解：∵的最大值为m，最小值为n，∴m＝4，n＝﹣4，∴（m+n）2004＝（4﹣4）2004＝0，故答案为0．【点评】本题考查了绝对值的性质，正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0．12．（5分）分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3＝（x+y）（x2+xy+y2）．【分析】可用分组分解法来解，x3和y3一组，剩下的两项一组．【解答】解：x3+2x2y+2xy2+y3＝（x3+y3）+（2x2y+2xy2）＝（x+y）（x2﹣xy+y2）+2xy（x+y）＝（x+y）（x2+xy+y2）故答案为：（x+y）（x2+xy+y2）【点评】本题考查因式分解里面的分组分解法以及立方公式，要熟记公式和方法．13．（5分）如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，则∠GHM的大小是40°．【分析】作辅助线：延长PM、EG交于点K；PM延长线交AB于点L．利用平行线性质进行求解．【解答】解：辅助线延长PM、EG交于点K，PM延长线交AB于点L．如图：∵AB∥CD，∴∠ALM＝∠LND＝50°；∴∠MKG＝∠BFG+∠ALM＝80°．∵∠HMN＝30°，∴∠HMK＝150°；∵∠FGH＝90°，∴∠GHM＝360°﹣∠HMK﹣∠MKG﹣∠MGH＝360°﹣150°﹣80°﹣90°＝40°．【点评】考查了平行线的性质的应用．本题综合性较强．14．（5分）若整数x，y，z满足方程组，则xyz＝0或1984．【分析】先把方程组中的两个方程相减后，因式分解等号左侧，根据x，y，z都是整数，得到四个方程，再把方程组中的两个方程相加后，因式分解等号左侧，与前面的四个方程一起，计算出xyz的值．【解答】解：，②﹣①，得x+yz﹣xy﹣z＝1，∴y（z﹣x）﹣（z﹣x）＝1．∴（y﹣1）（z﹣x）＝1．∵x，y，z都是整数，∴y﹣1＝1，z﹣x＝1或y﹣1＝﹣1，z﹣x＝﹣1．即y＝2，z﹣x＝1或y＝0，z﹣x＝﹣1．②+①，得x+yz+xy+z＝189，∴y（z+x）+（z+x）＝189．∴（y+1）（z+x）＝189．当y＝2，z﹣x＝1时，，∴x＝31，y＝2，z＝32．∴xyz＝31×2×32＝1984．当y＝0时，xyz＝0．故答案为：0；1984．【点评】本题考查了高次方程组，题目综合性较强难度较大，把方程组中的两个方程分别相加减后因式分解是解决本题的关键．三．解答题（共4小题，满分50分）15．（12分）已知：x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，求x+y的值．【分析】由x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，即可求得x2+2xy+y2+x+y＝42，则变形得（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．【解答】解：∵x2+xy+y＝14①，y2+xy+x＝28②，∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y＝42，∴（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，∴（x+y+7）（x+y﹣6）＝0，∴x+y+7＝0或x+y﹣6＝0，解得：x+y＝﹣7或x+y＝6．【点评】此题考查了完全平方公式的应用与因式分解法解一元二次方程．注意整体思想的应用是解此题的关键．16．（12分）定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝ab﹣a；当a＜b时，a⊕b＝ab+b．（1）计算：（﹣2）⊕；（2）若2x⊕（x+1）＝8，求x的值．【分析】（1）首先根据a⊕b＝ab﹣a，认真分析找出规律，即可求出（﹣2）⊕的值；（2）首先分两种情况进行讨论，当2x≥x+1和2x＜x+1时，分别解出x的取值范围，即可得出x的值．【解答】解：（1）（﹣2）⊕＝（﹣2）×+＝1+＝；（2）当2x≥x+1时，即：x≥1时，2x（x+1）﹣2x＝8，解得：x＝±2，∵x≥1，∴x＝2；当2x＜x+1时，即：x＜1时，2x（x+1）+x+1＝8，2x2+3x﹣7＝0解得：x1＝，x2＝，∵x＜1，∴．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，本题属于新定义题型，是近几年的考试热点之一．新定义题型需要依据给出的运算法则进行计算，这和解答实数或有理数的混合运算相同，其关键仍然是正确的理解与运用运算的法则．17．（12分）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如图1，求∠CON的度数；（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．【分析】（1）由角的比值，求解∠AOC的度数，结合∠MON＝∠AON＝90°，利用∠CON＝∠AOC+∠AON可求∠CON的度数；（2）可分两种情况：射线ON平分∠AOC；直线ON恰好平分锐角∠AOC，计算出ON沿逆时针旋转的度数，最后求出时间即可；（3）由∠AOC与∠NOC互余，结合图形推∠BOC与∠MOC之间的数量关系．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC＝，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；（2）当直线ON平分∠AOC时，如图，ON'平分∠AOC，逆时针旋转60度至ON''时，直线ON平分所以t＝3，∵∠AOC＝60°，∴∠AON'＝30°，此时射线ON逆时针旋转60度，∴∠MON所运动的时间t＝60÷20＝3（s）；如图②，