《结构设计原理教学课件》11 偏心受力构件承载力计算

第11章

偏心受力构件承载力计算偏心受拉构件承载力计算偏心受压构件承载力计算概述偏心受力构件？其作用效应为M、N(+,-)和V。当M=0时，轴心受压构件当N=0时，受弯构件

11.1概述(a)(b)偏心距e0=0时，轴心受压构件当e0→∞时，即N=0时，受弯构件偏心受压构件的受力性能和破坏形态介于轴心受压构件和受弯构件。=NAssA¢轴心受压构件Ne0AssA¢偏心受压构件纯弯曲构件＋M＝Ne0AssA¢工业和民用建筑中的单层厂房和多层框架柱偏心受压构件拱和屋架上弦杆等属于偏心受压构件偏心受压构件偏拉11.1概述偏心受力构件：偏心受压构件偏心受拉构件正截面承载力斜截面承载力受拉破坏受压破坏截面形式圆形截面工字型截面矩形截面力的作用方向受力破坏形态配筋方式对称配筋非对称配筋力作用位置单向偏心受力构件双向偏心受力构件主要内容：偏心受压构件的二阶效应矩形截面对称配筋偏心受压构件正截面受压承载力计算矩形截面非对称配筋偏心受压构件正截面受压承载力计算Ⅰ形截面对称配筋偏心受压构件正截面受压承载力计算双向偏心受压构件的正截面承载力计算

矩形截面偏心受拉构件正截面承载力计算

偏心受压构件正截面的破坏形态偏心受力构件斜截面承载力计算

11.1概述

重点：

偏心受压构件正截面的受力性能矩形截面对称配筋偏心受压构件正截面受压承载力计算

矩形截面非对称配筋偏心受压构件正截面受压承载力计算11.1概述

矩形截面偏心受拉构件正截面承载力计算

偏心受压构件正截面的受力性能11.2.1两种破坏形态偏心受压构件的破坏形态与偏心距e0和纵向钢筋配筋率有关1、受拉破坏M较大，N较小偏心距e0较大As配筋适宜11.2偏心受压构件承载力计算

受拉破坏时的截面应力和破坏形态◆截面受拉侧混凝土较早出现裂缝，As的应力开展较快，首先到达屈服强度。◆此后，裂缝迅速开展，受压区高度减小。◆最后受压侧钢筋A's受压屈服，压区混凝土压碎而到达破坏。◆这种破坏具有明显预兆，变形能力较大，破坏特征与配有受压钢筋的适筋梁相似，承载力主要取决于受拉侧钢筋。◆形成这种破坏的条件是：偏心距e0较大，且受拉侧纵向钢筋配筋率适宜，通常称为大偏心受压。AsA's受拉破坏时的截面应力和破坏形态AsA's2、受压破坏产生受压破坏的条件有两种情况：⑴相对偏心距e0/h0较小，截面全部或大局部受压⑵相对偏心距e0/h0较大，但受拉侧纵向钢筋配置过多As太多◆截面受压侧混凝土和钢筋受力较大;而受拉侧钢筋应力较小。◆当相对偏心距e0/h0很小时，“受拉侧〞还可能出现“反向破坏〞情况。◆截面最后是由于受压区混凝土首先压碎而到达破坏。◆承载力主要取决于压区混凝土和受压侧钢筋，破坏时受压区高度较大，远侧钢筋可能受拉也可能受压，破坏具有脆性性质。◆因该受压破坏一般为偏心距较小的情况，故常称为小偏心受压。受压破坏时的截面应力和破坏形态受压破坏时的截面应力和破坏形态“受拉破坏〞与“受压破坏〞都属于材料发生了破坏；最终破坏时受压区边缘混凝土都到达其极限压应变值而被压碎；截面破坏起因不同：“受拉破坏〞是受拉钢筋先屈服而后受压混凝土被压碎；“受压破坏〞是截面的受压局部先发生破坏。小结回忆：正截面受弯性能试验研究(a)

适筋破坏形态(b)

超筋破坏形态受拉破坏受压破坏◆偏心受压正截面受力分析方法与受弯情况是相同的，可采用同样的根本假定，对受压区混凝土可采用同样等效矩形应力图。3、界限破坏◆即当受拉钢筋屈服的同时，受压边缘混凝土应变到达极限压应变。

大小偏心受压的分界：当

<

b–––大偏心受压

ab

>

b–––小偏心受压

ae

=

b–––界限破坏状态

adbcdefA

sAsh0x0xcb

s

cua

y◆与适筋梁和超筋梁的界限情况类似。◆因此，相对界限受压区高度仍为:两种偏心受压构件的判断当x≤xb时当x>xb时——受拉破坏(大偏心受压)——受压破坏(小偏心受压)引入附加偏心矩ea来进行修正?混凝土结构设计标准?GB50010-2024规定：考虑ea后荷载位置的不确定性混凝土质量的不均匀性配筋的不对称性施工偏差一、初始偏心距11.2.2基于纵向弯曲的偏心距计算计算初始偏心距e0=M/N此处h是指偏心方向的截面尺寸二、Nu-Mu相关曲线对于给定的截面、材料强度和配筋，到达正截面承载力极限状态时，其压力和弯矩是相互关联的，可用一条Nu-Mu相关曲线表示。NNNuMuB(Nb,Mb)A(N0,0)C(0,M0)N-M相关曲线反映的规律MuNuABC⑴相关曲线上的任一点代表截面处于正截面承载力极限状态时的一种内力组合。如一组内力〔N，M〕在曲线内侧说明截面未到达极限状态，是平安的如〔N，M〕在曲线外侧，那么说明截面承载力缺乏MuNu〔2〕相关曲线反映了特征破坏点N0A(N0，0)B(Nb，Mb)C(0，M0)轴压破坏N值最大弯曲破坏界限破坏M值最大小偏压破坏大偏压破坏MuNuN0A(N0，0)B(Nb，Mb)C(0，M0)界限破坏M值最大小偏压破坏大偏压破坏⑶截面受弯承载力Mu与作用的轴压力N大小有关。Mu随N的增加而增加Mu随N的增加而减小M相同：大偏压，N越小越不平安小偏压，N越大越不平安N相同：M越大越不平安柱：在压力作用下产生纵向弯曲短柱中长柱细长柱–––材料破坏–––失稳破坏轴压构件中：

偏压构件中：偏心距增大系数

三、纵向弯曲对其承载力的影响NN

eifeiNusNumNu1NuseiNumeiNu1eiNumfmNu1flBCADE短柱(材料破坏)中长柱(材料破坏)细长柱(失稳破坏)NM0NN

eifei侧向挠曲将引起附加弯矩，M增大较N更快，不成正比。二阶弯矩效应ei+f

=ei(1+f/ei)=

ei

=1+f/ei

–––偏心距增大系数M=N(ei+f)NN

eifei四、弯矩增大系数◆由于侧向挠曲变形，轴向力将产生二阶效应，引起附加弯矩。◆对于长细比较大的构件，二阶效应引起附加弯矩不能忽略。◆在截面和初始偏心距相同的情况下，柱的长细比l0/h不同，侧向挠度f的大小不同，影响程度会有很大差异，将产生不同的破坏类型。◆对于长细比l0/b≤8的短柱。◆侧向挠度f与初始偏心距ei相比很小。◆柱跨中弯矩M=N(ei+f)随轴力N的增加根本呈线性增长。◆直至到达截面承载力极限状态产生破坏。◆对短柱可忽略侧向挠度f影响。◆长细比l0/b=8~30的中长柱。◆f与ei相比已不能忽略。◆f随轴力增大而增大，柱跨中弯矩M=N(ei+f)的增长速度大于轴力N的增长速度。◆即M随N的增加呈明显的非线性增长。◆虽然最终在M和N的共同作用下到达截面承载力极限状态，但轴向承载力明显低于同样截面和初始偏心距情况下的短柱。◆因此，对于中长柱，在设计中应考虑侧向挠度f对弯矩增大的影响。◆长细比l0/b>30的长柱◆侧向挠度f的影响已很大◆在未到达截面承载力极限状态之前，侧向挠度f已呈不稳定开展即柱的轴向荷载最大值发生在荷载增长曲线与截面承载力曲线相交之前。◆这种破坏为失稳破坏，应进行专门计算本章关注截面承载力计算，因此下面的讨论仅针对l0/b≤30的短柱和中长柱。弯矩作用内截面对称的偏心受压构件，当同一主轴方向的杆端弯矩比M1M2不大于0.9且设计轴压比不大于0.9时，构件的长细比满足广义的界限条件公式的要求，可不考虑该方向构件自身挠曲产生的附加弯矩影响。 式中：M1、M2—分别为偏心受压构件两端截面按结构分析确定的对同 一主轴的弯矩设计值；绝对值较大端为M2，绝对值 较小端为M1，当构件按单曲率弯曲时，M1/M2为 正，否那么为负；l0—构件的计算长度，此处可近似取偏心受压构件相应主轴方向 两支撑点之间的距离；i—偏心方向的截面回转半径。?标准?对二阶效应的考虑：弯矩增大系数l0弯矩增大系数l0?标准?建议的弯矩增大系数l0取h=1.1h0端弯矩相等的p−δ效应端弯矩同号不相等的p−δ效应端弯矩相等不同号的p−δ效应?标准?规定考虑二阶效应后的弯矩设计值：l0式中：知识回忆1.偏心受压构件的破坏特征1)受拉破坏和受压破坏

2)发生条件及破坏特征2.大小偏心受压的分界1)

2)3.纵向弯曲对其承载力的影响(二阶效应)4.

Nu-Mu相关曲线的利用——受拉破坏(大偏心受压)当x≤xb时当x>xb时——受压破坏(小偏心受压)一、根本假定◆偏心受压正截面受力分析方法与受弯情况是相同的，即仍采用以平截面假定为根底的计算理论。◆对于正截面承载力的计算，同样可按受弯情况，对受压区混凝土采用等效矩形应力图。等效矩形应力图的强度为a1fc，等效矩形应力图的高度与中和轴高度的比值为b1。◆以受拉钢筋屈服与受压区混凝土边缘极限压应变εcu同时到达作为破坏界限。因此，相对界限受压区高度仍为:11.2.3偏心受压构件正截面承载力计算11.2.3偏心受压构件正截面承载力计算当x≤xb时当x>xb时—受拉破坏(大偏心受压)—受压破坏(小偏心受压)二、根本计算公式受拉侧钢筋应力σs？x,As,A’s？eNeN三、两种偏心受压构件的判断当x≤xb时—受拉破坏(大偏心受压)当x>xb时—受压破坏(小偏心受压)(1)直接判断法多用于截面复核eNeN(2)经验公式判断法仅用于矩形截面计算(3)试算判断法用于任意截面设计先按照大偏心构件进行计算，得到ξ后再判断。若则原假设正确，继续计算；若则需要改为小偏心重新计算。：截面尺寸(b×h)、材料强度(fc、fy，fy′)、构件长细比(l0/h)以及轴力N和弯矩M设计值。假设ei>0.3h0，一般可先按大偏心受压情况计算四、大偏压不对称配筋矩形截面设计⑴As和A's均未知时两个根本方程中有三个未知数，As、A's和x，故无唯一解。与双筋梁类似，为使总配筋面积〔As+A's〕最小可取x=xbh0得★假设A's<rminbh?那么取A's=rminbh，然后按A's为情况计算。★假设As<rminbh?应取As=rminbh。★假设As<0?假设错误⑵A's为时当A's时，两个根本方程有二个未知数As和x，有唯一解。先由第二式求解x，假设x<xbh0，且x>2a'，那么可将代入第一式得假设x>xbh0？★假设As小于rminbh？应取As=rminbh。那么应按小偏心或加大截面或按A‘s为未知重新设计;那么可偏于平安的近似取x=2a'，按下式确定As假设x<2a'？⑵A's为时当A's时，两个根本方程有二个未知数As和x，有唯一解。先由第二式求解x，假设x<xbh0，且x>2a'，那么可将代入第一式得假设x>xbh0？★假设As小于rminbh？应取As=rminbh。★假设As小于rminbh？应取As=rminbh。那么应按小偏心或加大截面或按A's为未知重新设计；那么可偏于平安的近似取x=2a'，按下式确定As假设x<2a'？【例题11-1】矩形柱b×h=300mm×500mm，计算长度l0=4.5m，轴力设计值N=1250kN，柱全长弯矩设计值M=300kN⋅m，采用C30混凝土，纵向钢筋采用HRB400(fy=fy’＝360N/mm2)，求纵向钢筋AS及AS’例题选讲1、判断是否考虑二阶效应需要考虑二阶效应引起的弯矩增大，且可先按大偏压计算。3、判断偏心类别2、求弯矩增大系数

4、求5、求6、复核偏心类别?受拉钢筋选用322，As

＝1140mm2

。受压钢筋选用328，As'

＝1847mm2

。ei≤0.3h0两个根本方程中有三个未知数，As、As'和x，故无唯一解。确定其中一个未知量，再求解另外两个未知量。五、小偏压不对称配筋截面设计：截面尺寸(b×h)、材料强度(fc、fy，fy′)、构件长细比(l0/h)以及轴力N和弯矩M设计值。小偏心受压，即x>xb，ss<fy，As未到达受拉屈服。进一步考虑，如果x<2b1-xb，ss>-fy'，那么As未到达受压屈服因此，当xb<x<(2b1-xb)，As无论怎样配筋，都不能到达屈服，为使用钢量最小，故可取As=0.002bh。从受拉侧钢筋入手如附加偏心距ea与荷载偏心距e0方向相反，那么可能发生As一侧混凝土首先到达受压破坏的“反向破坏〞。此时通常为全截面受压，由图示截面应力分布，对A‘s取矩，可得：e'=0.5h-a'-(e0-ea)h'0=h-a'另一方面，当偏心距很小且轴力很大时，即：确定As后，就只有x和A's两个未知数，故可得唯一解。根据求得的x，可分为三种情况⑴假设x<(2b1-xb)，那么将x代入求得A's。⑵假设h/h0>x>(2b1-xb)，ss=-fy'，根本公式转化为下式，⑶假设x>h/h0，应取x=h，同时取a1=1，代入根本公式直接解得A's重新求解x和A's注：还应按轴心受压验算垂直弯矩方向的配筋量。【例题11-2】轴向压力设计值N＝5280kN，弯矩设计值M＝24.2kN·m，截面尺寸b×h=400mm×600mm，a＝a’＝45mm。构件计算长度l0＝4m，采用的混凝土强度等级为C35，钢筋为HRB400。求：钢筋截面面积As和A's。1、判断是否考虑二阶效应需要考虑二阶效应引起的弯矩增大，且可按小偏压计算。3、判断偏心类别2、求弯矩增大系数

4、求因为：5、求6、复核偏心类别?5、求受拉钢筋选用225+222

As

＝1610mm2

。受压钢筋选用428，As'

＝2463mm2

。：截面尺寸(b×h)、截面配筋As和As’、材料强度(fc、fy，fy’)、以及构件长细比(l0/h)。根据轴力和弯矩作用方式，截面承载力复核分为两种情况：1、给定轴力设计值N，求弯矩作用平面的弯矩设计值MNMuNuNMMuNu六、不对称配筋构件的截面复核2、给定轴力作用的偏心距e0，求轴力设计值N1、给定轴力设计值N，求弯矩作用平面的弯矩设计值M由于给定截面尺寸、配筋和材料强度均，未知数只有x和M两个。假设N≤Nb，为大偏心受压，假设N>Nb，为小偏心受压，由(a)式求x，代入(b)式求e,再求e0，弯矩设计值为M=Ne0。2、给定轴力作用的偏心距e0，求轴力设计值N假设ei≥e0b，为大偏心受压未知数为x和N两个，联立求解得x和N。

fyAsf'yA'sNbeixce'xbe假设ei<e0b，为小偏心受压◆联立求解得x和N◆尚应考虑As一侧混凝土可能出现反向破坏的情况e'=0.5h-a'-(e0-ea)，h'0=h-a'◆另一方面，当构件在垂直于弯矩作用平面内的长细比l0/b较大时，尚应根据l0/b确定的稳定系数j，按轴心受压情况验算垂直于弯矩作用平面的受压承载力上面求得的N比较后，取较小值。例11-3：轴向力设计值N＝1200kN，截面尺寸为b×h=400mm×600mm，a＝a'＝45mm。构件计算长度l0＝4m，采用的混凝土强度等级为C40，钢筋为HRB400，As'＝1520mm2，As＝1256mm2。求：该构件在h方向上所能承受的弯矩设计值。【解】N＝1200kN<Nb，为大偏心受压构件所以该构件属于大偏心受压情况，且受压钢筋能到达屈服强度，那么该构件在h方向上所能承受的弯矩设计值为：M2

=442.35kN·m◆实际工程中，受压构件常承受变号弯矩作用，当弯矩数值相差不大，可采用对称配筋。◆采用对称配筋不会在施工中产生过失，故有时为方便施工或对于装配式构件，也采用对称配筋。◆对称配筋截面，即As=As'，fy=fy'，a=a'，其界限破坏状态时的轴力为Nb=a1fcbxbh0。七、矩形截面对称配筋构件的截面设计除要考虑偏心距大小外，还要根据轴力大小〔N<Nb或N>Nb〕的情况判别属于哪一种偏心受力情况。假设x=N/afcb<2a'，可近似取x=2a'，对受压钢筋合力点取矩可得e'=ei-0.5h+a'1、当ei>eib.min=0.3h0，且N<Nb时，为大偏心受压

x=N/a1fcb由第一式解得代入第二式得这是一个x的三次方程，设计中计算很麻烦。为简化计算，可近似取as=x(1-0.5x)在小偏压范围的平均值，代入上式2、当ei≤eib.min=0.3h0，为小偏心受压或ei>eib.min=0.3h0，但N>Nb时，为小偏心受压上式配筋为第二次迭代的近似值，与精确解的误差已很小，满足一般设计精度要求。对称配筋截面复核的计算与非对称配筋情况相同。【例题11-4】矩形柱b×h=400mm×500mm，计算长度l0=4.5m，as=a’s=40mm,轴力设计值N=1200kN，柱全长弯矩设计值M=300kN⋅m，采用C30混凝土，纵向钢筋采用HRB400(fy=fy’＝360N/mm2)，求对称纵向钢筋AS及AS’1、判断是否考虑二阶效应需要考虑二阶效应引起的弯矩增大，且可先按大偏压计算。3、判断偏心类别2、求弯矩增大系数

4、求钢筋选用420，As

＝As'=1256mm2

。11.3偏心受拉构件承载力计算11.3.1两种偏心受拉构件的判别及破坏特征1〕大偏心受拉破坏2〕小偏心受拉破坏N

fyAs

fy'A'se0easas‘h0-as'e'

α1fcbh0

ee0

fyAs

fyA'se'asas'h0-as'N1〕根本假定◆偏心受拉正截面受力分析方法与受弯情况是相同的，即仍采用以平截面假定为根底的计算理论。◆对于正截面承载力的计算，同样可按受弯情况，对受压区混凝土采用等效矩形应力图。等效矩形应力图的强度为a1fc，等效矩形应力图的高度与中和轴高度的比值为b1。◆以受拉钢筋屈服与受压区混凝土边缘极限压应变εcu同时到达作为破坏界限。因此，相对界限受压区高度仍为:11.3.2大偏心受拉构件正截面承载力计算

1〕根本公式式中

e—轴向力作用点至受拉钢筋As合力点之间的距离；

N

fyAs

fy'A'se0easas’h0-as'e'

α1fcbh0

11.3.2大偏心受拉构件正截面承载力计算

2〕适用条件

3〕不对称配筋计算方法①截面设计N

fyAs

fy'A'se0easas’h0-as'e'

α1fcbh0

②截面校核：构件尺寸、配筋、材料强度、荷载及偏心距。N

fyAs

fy'A'se0easas’h0-as'e'

α1fcbh0

如何求解受拉侧钢筋应力σs？

4）对称配筋计算方法①截面设计：对称配筋时必有

，因此，按不对称配筋时的情形处理。②截面校核：类似于不对称配筋。

N

fyAs

fy'A'se0easas’h0-as'e'

α1fcbh0

1〕不对称配筋（1）（2）①根本公式：如以下图，由