5.1任意角和弧度制（解析版）

5.1任意角与弧度制知识点1：角的有关概念集合的概念1.知识点①角的有关概念★☆☆角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.2.知识点②终边相同的角★★☆终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}={β|β=α+2kπ,k∈Z}．3.知识点③象限角与轴线角★★☆象限角：角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下：象限角角的表示第一象限的角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限的角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限的角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限的角{α|k·360°–90°<α<k·360°,k∈Z}轴线角：若角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．具体表示如下：轴线角角的表示终边在x轴非负半轴上的角{α|α=2kπ,k∈Z}终边在x轴非正半轴上的角{α|α=(2k–1)π,k∈Z}终边在y轴非负半轴上的角{α|α=2kπ+,k∈Z}终边在y轴非正半轴上的角{α|α=2kπ–,k∈Z}终边在x轴上的角{α|α=kπ,k∈Z}终边在y轴上的角{α|α=kπ+,k∈Z}终边在坐标轴上的角{α|α=,k∈Z}4.知识点④区间角与区域角★★☆角的分类在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向一一顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定：名称定义图形正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．与终边相同的角是（）A．B．C． D．【答案】C【解析】与角终边相同的角为：，当时，．故选C．是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】由于，而位于第二象限，故是第二象限角．故选B．在集合中，属于之间的角的集合是__________．【答案】【解析】由于，令，得，令，得．令取其它整数值时，得到的角不在之间，故所求角的集合为．在，，，，这五个角中，第二象限角有__________个．【答案】4【解析】，所以是第二象限角．是第二象限角．是第二象限角．不是第二象限角．是第二象限角，故第二象限角有个．由①②，得α=15°，β=65°．下列说法中正确的序号有__________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．【答案】①②③④【解析】由题意，①是第四象限角，是正确的；②是第三象限角，是正确的；③，其中是第二象限角，所以为第二象限角是正确的；④，其中是第一象限角是正确的，所以正确的序号为①②③④．下列说法正确的是（）A．第一象限角一定小于B．终边在轴正半轴的角是零角C．若（），则与终边相同D．钝角一定是第二象限角【答案】D【解析】A．第一象限角范围是，所以不一定小于90°，所以A错误，B．终边在轴正半轴的角．不一定是零角，所以B错误，C．若则．则应与终边相同，所以C错误，D．因为钝角的取值范围为，所以钝角一定是第二象限角，所以D正确．故选D．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角.故①正确；对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角.故②错误；对于③：显然是第一象限角.故③错误；对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是.故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；对于⑥：因为，所以，是第四象限角.故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）．【答案】（1），一；（2），四；（3），三【解析】（1）∵，∴在范围内，终边与角相同的角是角，它是第一象限角．（2）∵，∴在范围内，终边与角相同的角是角，它是第四象限角．（3）∵，∴在范围内，终边与角相同的角是角，它是第三象限角．已知α锐角，那么2α是（）A．小于180°的正角B．第一象限角C．第二象限角 D．第一或二象限角【答案】A【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故选A．与终边相同的角的集合是____________．【答案】{β|β=+2kπ,k∈Z}【解析】所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}={β|β=α+2kπ,k∈Z}．【名师点睛】（1）α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．（2）k·360°与α中间用“+”连接，k·360°–α可理解成k·360°+（–α）．（3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．（4）角α+k·720°（k∈Z）与角α的终边也相同，但不能表示与角α终边相同的所有的角．写出如图所示阴影部分的角α的范围．【答案】（1）{α|﹣150°+k•360°<α≤45°+k•360°，k∈Z}．（2）{α|45°+k•360°≤α≤300°+k•360°，k∈Z}．【解析】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°+k•360°，k∈Z的形式，与﹣180°+30°=﹣150°角终边相同的角可写成﹣150°+k•360°，k∈Z的形式，所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|﹣150°+k•360°<α≤45°+k•360°，k∈Z}．（2）因为与45°角终边相同的角可写成45°+k•360°，k∈Z的形式，与360°﹣60°=300°角终边相同的角可写成300°+k•360°，k∈Z的形式，所以图（2）中角α的范围为{α|45°+k•360°≤α≤300°+k•360°，k∈Z}．下列说法正确的是A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是钝角 D．是第二象限角【分析】由钝角的范围平时，；举例说明错误；由，说明是第三象限角．【解答】解：钝角的范围为，钝角是第二象限角，故正确；是第二象限角，是第一象限角，，故错误；由钝角的范围可知错误；，是第三象限角，错误．故选：．【点评】本题考查任意角的概念，是基础题．已知集合第二象限角，钝角，小于的角，则，，关系正确的是A． B． C． D．【分析】由钝角是第二象限角，也是小于的角，且第二象限角不一定是小于，小于角也不一定是第二象限角，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：由题意知，钝角是第二象限角，也是小于的角，所以，即错误；又与互不包含，所以错误；因为，所以，即正确；由以上分析可知错误．故选：．【点评】本题考查了任意角的概念与应用问题，也考查了集合之间的关系应用问题，是基础题．（2021秋•水磨沟区校级期末）角的终边落在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由题意，利用终边相同的角，象限角的定义，得出结论．【解答】解：，故角的终边和的终边相同，而的终边在第四象限，故的终边在第四象限，故选：．【点评】本题主要考查终边相同的角，象限角的定义，属于基础题．（2022春•莲湖区期末）若角与角的终边相同，则等于A．， B．， C．， D．，【分析】根据终边相同的角的集合表示方法，即可得解．【解答】解：因为角与角的终边相同，所以，，所以，．故选：．【点评】本题考查终边相同的角的概念，考查运算求解能力，属于基础题．（2022春•富平县期末）与终边相同的角是A． B． C． D．【分析】写出与角终边相同的角的集合，然后取的值得答案．【解答】解：因为，所以与角终边相同的角的集合为，，取，得．所以与终边相同的角是，故选：．【点评】本题考查了终边相同的角的概念，属于基础题．（2022春•北海期末）下列各角中，与角终边相同的角是A． B． C． D．【分析】写出与角终边相同的角的集合，然后取的值得答案．【解答】解：与角终边相同的角的集合为，，取，得，在之间，与角终边相同的角是，故正确，错误，，不满足集合，，故错误．故选：．【点评】本题考查了终边相同的角的概念，属于基础题．（2022春•阳朔县校级月考）与角终边相同的角的集合是A．， B．， C．， D．，【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解．【解答】解：，由终边相同的角的定义的可知，角终边相同的角的集合是，．故选：．【点评】本题主要考查终边相同的角的定义，属于基础题．集合，中的角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是A． B． C． D．【分析】对分奇数与偶数讨论即可求解．【解答】解：当，时，则集合为，，此时集合表示的是第一象限角，当，时，则集合为，，此时集合表示的是第三象限角，所以正确，故选：．【点评】本题考查了终边相同角的应用，涉及到分类讨论，考查了学生的理解能力，属于基础题．（2021秋•潞州区校级期末）角是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】利用终边相同的角的定义得到，，然后令，求出的值，代入求出此时的即可得解．【解答】解：与终边相同的角为，，由题意，解得，，所以的最小值为6，此时，故与终边相同的最小正角是，所以角是第二象限角．故选：．【点评】本题考查了终边相同的角的应用，解题的关键是掌握终边相同角的表示，属于基础题．下列说法中，正确的是A．终边相同的角必相等 B．小于的角一定为锐角 C．锐角是第一象限的角 D．第二象限的角必大于第一象限的角【分析】根据终边相同的角，象限角的定义分别判断即可．【解答】解：终边相同的角不一定相等，比如，和的角，故错误，小于的角不一定为锐角，比如，故错误，锐角是第一象限的角，故正确，第二象限的角不一定大于第一象限的角，故错误，故选：．【点评】本题考查了终边相同的角，象限角的定义，是基础题．（2021秋•大通县期末）下列命题中正确的是A．第一象限角小于第二象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角是钝角 D．平角大于第二象限角【分析】由第二象限的角小于第一象限的角，可判断；由锐角的定义可判断；由为第二象限角即可判断．【解答】解：第一象限角不一定小于第二象限角，比如第二象限的角小于第一象限的角，故错误；大于而小于的角为锐角，故正确；为第二象限角，但不是钝角，故错误；为第二象限角，但是大于平角，故错误．故选：．【点评】本题考查任意角的概念，主要是终边相同的角、象限角和锐角、钝角的概念，属于基础题．（2022春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角一定是钝角 C．始边相同且相等的角的终边一定重合 D．始边相同且终边重合的角一定相等【分析】对于，锐角必须强调为正角且小于，即可判断；对于，终边落在第二象限，但是不是钝角，即可判断；对于：由定义即可判断；对于，与角的终边相同，但不相等，即可判断．【解答】解：对于，小于的角一定是锐角，首先必须强调为正角且小于，故错误对于，第二限角强调终边落在第二象限，例如终边落在第二象限，但是不是钝角，故错误．对于：始边相同且相等的角终边一定相同，故正确；对于，与角的终边相同，但不相等，故错误．故选：．【点评】本题考查的知识要点：象限角的应用，终边相同的角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．（2022春•宛城区校级月考）若角满足，，则角的终边落在A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【分析】讨论为奇数和为偶数时，即可得出角终边所在的象限．【解答】解：，；当时，，此时为第一象限角；当时，，此时是第三象限角；角的终边落在第一或第三象限角．故选：．【点评】本题考查了角的终边所在的象限问题，是基础题．（2022春•新余期末）角的终边落在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由，即可求出角的终边落在第一象限．【解答】解：，角的终边落在第一象限．故选：．【点评】本题考查了象限角、轴线角，是基础题．（2022春•建平县期末）若是第二象限角，则是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】利用特殊值判断，令，则，得出结论．【解答】解：不妨令，则，为第一象限角，故选：．【点评】本题考查象限角的定义，采用了特殊值代入检验的方法．已知集合第二象限角，钝角，小于的角，则，，关系正确的是A． B． C． D．【分析】由钝角是第二象限角，也是小于的角，且第二象限角不一定是小于，小于角也不一定是第二象限角，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：由题意知，钝角是第二象限角，也是小于的角，所以，即错误；又只是集合运算，无法判断正误，所以错误；因为，所以，即正确；由以上分析可知错误．故选：．【点评】本题考查了任意角的概念与应用问题，也考查了集合之间的关系应用问题，是基础题．已知角在平面直角坐标系中如图所示，其中射线与轴正半轴的夹角为，则的值为A． B． C． D．【分析】由题意利用任意角的定义，得出结论．【解答】解：角在平面直角坐标系中如图所示，其中射线与轴正半轴的夹角为，则的值为，故选：．【点评】本题主要考查任意角的定义，属于基础题．（多选）（2022秋•道里区校级月考）下列说法不正确的是A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B． C．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 D．若，则与的终边相同【分析】利用三角形内角性质判断；利用余弦函数的符号判断；利用弧度定义判断；利用正弦函数性质判断．【解答】解：对于，三角形的内角可能是，故错误；对于，2是第二象限角，，故正确；对于，1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角，故正确；对于，若，则与的终边不一定相同，例如，而和终边不相同，故错误．故选：．【点评】本题考查函数对称性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．如图，写出所有终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【分析】直接由终边相同角的表示法写出终边落在，位置上的角的集合，利用不等式表示出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【解答】解：终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是，．故答案为：，．【点评】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的概念，是基础题平面直角坐标系中，若角，则是第二象限的角．【分析】直接利用终边相同的角的表示化简求解即可．【解答】解：，与终边相同，是第二象限角．故答案为：二．【点评】本题考查终边相同的角，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．是第三象限角．【分析】利用终边相同的角的定义得到，判断象限角即可．【解答】解：与终边相同的角为，，由题意，故与终边相同的最小正角是，所以角是第三象限角．故答案为：三．【点评】本题考查了终边相同的角的应用，解题的关键是掌握终边相同角的表示，属于基础题．是第三象限角．【分析】根据给定的范围确定其象限即可．【解答】解：由，故在第三象限．故答案为：三．【点评】本题主要考查了象限角的定义，属于基础题．知识点2：弧度制的概念知识点⑤角度制与弧度制★☆☆知识点⑥角度与弧度的换算★★☆弧度制1.（1）定义：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1rad，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制．（2）角α的弧度数公式：|α|=(弧长用l表示)．（3）角度与弧度的换算：①1°=rad;②1rad=°．（4）弧长公式：弧长l=|α|r．（5）扇形面积公式：S=l·r=|α|·r2．2.若与的终边关于轴对称，则；若与的终边关于轴对称，则；若与的终边关于原点对称，则.【微点拨】特殊角的度数与弧度数的对应表：度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0把化成角度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧度和角度的关系，即得解【详解】由题意，，故选：B若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可.【详解】设该扇形半径为，又∵圆心角，弧长，∴扇形弧长公式可得，，解得，.故选：B.下列说法中，错误的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；1rad的角是，故C正确；无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D角为2弧度角的终边在第______________象限．（）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】根据题意得到2弧度，再判断象限即可.【详解】2弧度，为第二象限角.故选：B弧度化成角度制的结果为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用即可求解.【详解】，故选：B.半径为10cm，弧长为20cm的扇形中，弧所对的圆心角为（）A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度【答案】C【分析】利用扇形圆心角的公式求解.【详解】设弧所对的圆心角为，则弧度.故选：C（多选）下列转化结果正确的是A．化成弧度是B．化成角度是C．化成弧度是D．化成角度是【答案】ABD【分析】根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项.【详解】对于A,,正确;对于B,,正确;对于C,,错误;对于D,,正确.故选ABD将改写成的形式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到，再转化为弧度即可.【详解】因为，所以转化弧度为.故选：C–300°化为弧度是（）A．–B．–C．– D．–【答案】B【解析】–300°=–rad=–rad，故选B．（2022•桂林开学）弧度换算为角度制是A． B． C． D．【分析】利用弧度和角度的关系即可求解．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查了弧度和角度的互化，属于基础题．（2022春•巴宜区校级期末）的角化为弧度制的结果为A． B． C． D．【分析】直接利用角度与弧度的互化公式求解即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查弧度与角度的互化，属于基础题．（2022春•巴宜区校级期末）的角化为角度制的结果为．【分析】把1弧度代入即可化为角度制．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查弧度与角度的互化，关键在于掌握二者的互化公式，属于基础题．（2021春•长丰县校级期中）角用弧度制表示为．【分析】根据已知条件，结合弧度制的公式，即可求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了弧度制的概念与应用问题，是基础题．（2021秋•大名县校级月考）化成弧度是．【分析】根据已知条件，结合弧度与角度转化的公式，即可求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查弧度制，属于基础题．（2021秋•12月份月考）用弧度制表示为．【分析】由，得，则答案可求．【解答】解：，，则．故答案为：．【点评】本题考查角度制与弧度制的互化，是基础题．（2021春•浦东新区期中）（弧度）．【分析】结合角度与弧度的相互转化公式即可直接求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查了角度与弧度的相互转化，属于基础题．（2020春•抚顺期末）将角化成弧度为（用含的代数式表示）．【分析】根据弧度与角度之间的转化关系进行转化即可．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查了将角度制化为弧度制，属于基础题型．（2019秋•重庆期末）化为弧度数为．【分析】根据弧度即可计算得解．【解答】解：根据弧度，弧度．故答案为：．【点评】本题考查角度化弧度，考查了转化思想，属于基础题．（2020春•城关区校级期中）弧度，弧度．【分析】直接利用角度与弧度的互化，求解即可．【解答】解：，故答案为：；105【点评】本题考查弧度与角度的互化，考查计算能力，是基础题．知识点3：弧长公式、扇形面积公式知识点⑦弧长公式、扇形面积公式★★★弧长及扇形面积公式（1）弧长公式：弧长l=|α|r（2）扇形面积公式：S=l·r=|α|·r2．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接圆心与弦的中点，可得半弦长，，解得半径为2，代入弧长公式求弧长即可.【详解】解：连接圆心与弦的中点，则由题意可得，，，在中，半径，由弧长公式可得所求弧长.故选：B.设为坐标原点,若直线:与曲线:相交于､点,则扇形的面积为______.【答案】【分析】通过曲线方程确定曲线为单位圆在x轴上方的部分（含与x轴交点），时，，代入扇形面积公式即可求解.【详解】由曲线:,得,∴曲线:表示单位圆在轴上方的部分(含于轴的交点)时,,扇形的面积为.故答案为:.用半径为2，弧长为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用扇形的弧长求出圆锥底面的半径，继而求解圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即得解【详解】令圆锥底面半径为，则，因此圆锥的高为：圆锥的体积故选：B已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（）A．B．C． D．【答案】C【解析】因为扇形面积为，半径是1，S=l·r，所以扇形的弧长为，因为l=|α|r，所以扇形的圆心角为．故选C．【名师点睛】在应用弧长公式l=|α|r及扇形面积公式S=l·r时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”为单位的，则必须先把它化成以“弧度”为单位后再代入计算．已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为4．【分析】设扇形所在圆的半径为，由已知直接利用弧长公式求解．【解答】解：设扇形所在圆的半径为，扇形的圆心角为弧度，扇形的弧长为，，即．故答案为：4．【点评】本题考查弧长公式的应用，是基础题．已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为．【分析】根据扇形的弧长公式，计算即可．【解答】解：一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为．故答案为：．【点评】本题考查了扇形的弧长公式的应用问题，是基础题．已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为．【分析】先把圆心角化为弧度数，代入扇形的弧长公式：求出弧长．【解答】解：圆心角为，即，由扇形的弧长公式得：弧长，故答案为：．【点评】本题考查弧长公式的应用，要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示，不能用度数．已知圆锥的底面半径为2，高为4，则其侧面展开图所对的圆心角的弧度数为．【分析】由侧面展开图的弧长与圆锥底面周长相等，半径是圆锥母线进行计算．【解答】解：圆锥的底面半径为2，高为4，即，，，其侧面展开图所对的圆心角的弧度数为．故答案为：．【点评】本题考查圆锥侧面展开图所对的圆心角的弧度数的求法，考查圆锥及其侧面展开图的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为3．【分析】直接利用弧长公式求解即可．【解答】解：扇形的圆心角为，扇形的弧长为，可得，所以，故答案为：3．【点评】本题考查弧长公式的应用，是基础题．已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的周长是4．【分析】由题意利用扇形的弧长公式可求弧长，进而即可求解其周长．【解答】解：设扇形的弧长为，圆心角大小为，半径为，则，所以扇形的周长．故答案为：4．【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是．【分析】直接利用