第四章三角函数解三角形

数学A（理）§4.7正弦定理、余弦定理第四章三角函数、解三角形基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a2＝

；b2＝

；c2＝________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC变形2RsinB2RsinC

sinA∶sinB∶sinC

A为锐角

A为钝角或直角图形

关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解思考辨析

√√√思考辨析

×××返回题号答案解析1234DBC2

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题型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形

解析思维升华题型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思维升华

题型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思维升华

题型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思维升华

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.解析思维升华例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思维升华例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思维升华例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思维升华例1

(2)求sin(A－B)的值.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.解析思维升华例1

(2)求sin(A－B)的值.

题型二利用正、余弦定理判

定三角形的形状例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；解析思维升华题型二利用正、余弦定理判

定三角形的形状解析思维升华

例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；题型二利用正、余弦定理判

定三角形的形状解析思维升华例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.解析思维升华

解析思维升华

解析思维升华

解析思维升华

三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其解析思维升华

是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.

所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形.答案

A

题型三和三角形面积有关的问题

解析思维升华解析思维升华

解析思维升华

解析思维升华

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.解析思维升华

答案

B易错警示系列6三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.易错分析规范解答温馨提醒易错分析温馨提醒(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形；(2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解；(3)结论表述不规范.易错警示系列6三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.规范解答解

∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.易错分析温馨提醒易错警示系列6三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.规范解答4分

方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.易错分析温馨提醒易错警示系列6三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.规范解答8分

易错分析温馨提醒易错警示系列6三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.规范解答12分

易错分析温馨提醒易错警示系列6三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.规范解答∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.易错分析温馨提醒易错警示系列6三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.规范解答12分

(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断；(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况.易错分析温馨提醒易错警示系列6三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.返回规范解答方法与技巧

2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明.3.在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解.失误与防范1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论.2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.返回2345678910123456789101B34567891012

C

24567891013A23567891014

23567891014

23467891015

23467891015

2345789101623456891017

4或523456910178

23456781019

23456781019

23456789110

解

(1)由

＝2得c·acosB＝2.23456789110

因为a>c，所以a＝3，c＝2.23456789110(2)cos(B－C)的值.解在△ABC中，因为a＝