电路分析第9章正弦稳态功率能量

第九章正弦稳态功率和能量§9-1基本概念§9-4单口网络的平均功率功率因数§9-5单口网络的无功功率§9-7正弦稳态最大功率传递定理§9-8三相电路§9-6复功率复功率守恒§9-2电阻的平均功率§9-3电感、电容的平均储能

若在dt

时间内，由a点转移到b点的正电荷为dq，且由a到b为电压降u，则正电荷失去的能量，即ab段电路消耗或吸收的能量为dw=

u∙dqp(t)>0时，电路吸收功率p(t)<0时，电路释放功率1.能量瞬时功率

p(t)=dw/dt=udq/dt=uiiu+–ab在关联参考方向下§9-1基本概念2.功率1.瞬时功率+u

-i设：u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos

t

p(t)

=

u

·

i

=

Umcos

t

·

Imcos

t

=

UmImcos2

t

UmIm[1＋cos

2

t

]=12(1)

p

>

0

(2)

p

随时间变化，变化的角频率为2

，是电压或电流角频率的2倍。

0

tipuu·i·p

π2π§9-2电阻的平均功率2.平均功率(有功功率）

∫P

=T1T012UmIm

[

1＋

cos

2

t

]

dtUmIm12=UmIm

=

UI12P

=P

=

I2RR

U2P

=平均功率的大小与电流的频率及初相角无关。思考题：平均功率的计算为何与直流电路相同？VCR电压超前电流90

；U•+1+j0相量图I•波形图i

t0uU

•I

•电压与电流相量式=jXL§9-3电感、电容的平均储能1.电感元件设:u(t)

=

Umcos

t

则

i(t)=Imcos(t-90°)=

Imsin

t–

+uLi（1）瞬时功率1p(t)

=

Umcos

t

Imsin

t

=2UmImsin2

t

0ωtipuu·i·pπ2π

A.p按正弦规律变化，变化的角频率为电压或电流角频率的两倍。

B.p>0吸收功率；P<0放出功率。P

=

0不消耗电能

(2)平均功率（3）无功功率—表示交换能量的规模，用电感瞬时功率的最大值表示（4）贮能w(t)=12Li

2(t)=12LIm2sin2

t

=14LIm2(1

–

cos2

t

)LIm2

=14LIm2

cos2

t

14平均储能：LIm2=WL=14LI212（3）无功功率—瞬时功率的最大值UmIm

=

UI12QL

=电感与电源之间能量交换的规模称为无功功率。单位为乏(var)

。QL

=

UI

=

LI2=

2WL无功功率与平均储能的关系电压与电流的关系电流超前电压90

；I

•+1+j0相量图U

•波形图i

t0uU

•I

•

电压与电流相量式=–j

XC

§9-3电感、电容的平均储能2.电容元件u(t)

=

–

Umcos

t设:i(t)

=

Imsin

t–

+uCi以正弦函数作基准（1）瞬时功率0

tipuu·i·pπ2π

A.p按正弦规律变化，变化的角频率为电压或电流角频率的两倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗电能

(2)平均功率21p(t)

=

–

Umcos

t

Imsin

t

=

–UmImsin2

t

UIsin2

t

=–（3）无功功率—表示交换能量的规模，用电容瞬时功率的最大值表示(3)无功功率—瞬时功率的最大值（4）储能平均储能：瞬时能量QC

=–

UI

=–

CU2=–

2WC无功功率与平均储能的关系(一)纯电阻元件交流电路u=iR

电压与电流相量表达式U=R•I•平均功率P=IU

=RI2didtu

=

LU

•

•电压与电流相量式=jXL

I(二)纯电感元件交流电路平均功率P=0无功功率Q=UI=XLI2=2WLdudti=C(三)纯电容元件交流电路平均功率P=0无功功率Q=

–

UI=–

XC

I2=–

2WC

电压与电流相量式=XC

U•jI•小结：单一参数交流电路的功率uiptuipu对任一无源二端网络，设电流为参考正弦量则电压瞬时功率整理可得

9.4.1瞬时功率+﹣iuN0当＞0时，为电感性电路§9-4单口网络的平均功率功率因数当u、i同号时，p=ui>0，网络吸收电功率当u、i异号时，p=ui<0，网络放出电功率

在一个周期内，若p>0的面积大于p<0的面积，表明平均功率不为0。网络内部有电阻（耗能）元件。瞬时功率

uiptuipu

+﹣iuN09.4.1瞬时功率瞬时功率

正弦交流电路的有功功率（平均功率）为

9.4.2平均功率(有功功率)和功率因数功率因数

=cos

uiptuipP

有功功率P=UIcos

又称为功率因数角U•I•

•

UP•UQ

在一般交流电路中，U与

I

相差一个

角。如果将U

分解成两个分量，如下图。其中UP称为电压的有功分量；UQ称为电压的无功分量。•••••有功功率P=UP

I

=UIcos

无功功率Q=UQ

I=UIsin

视在功率S=UI=P2+Q2

单位：瓦（W）乏（var）伏安(VA)••I•U•UR•UL•

Uc•UL•Uc•RLC串联电路相量图§9-5单口网络的无功功率和视在功率例如：RLC串联电路的功率

的大小和正负由电路参数决定。I•U•UR•UL•

Uc•UL•Uc•–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL阻抗三角形XL--XcR

ZZ=R+jXX=XL-XC复数阻抗有功功率P=UIcos

=UR

I=I2R无功功率Q=UIsin

=UX

I=I2X视在功率S=UI=P2+Q2

注意:QL为正,QC为负=I2XL

–I2XC=QL+QC

又称为功率因数角cos称为功率因数功率三角形有功功率

P=UIcos

无功功率

Q=UIsin

视在功率S=UI

S2=P2+Q2S=

P2+Q2SQPU•UR•UX•RXZ

1、阻抗三角形2、电压三角形3、功率三角形u=Usin(

t+)i=Isin

t+﹣iuN0设二端网络的复数阻抗为Z=R+jX电路中总的有功功率等于各支路或各电阻元件有功功率的算术和

电路中总的无功功率Q=QL+QC

注意QL为正,QC为负电路中总的视在功率一般不等于各支路或各元件视在功率的算术和或代数和。无源u=Ucosti=Icos(t–)iu有功功率

P=UIcos

无功功率

Q=UIsin

视在功率S=UI

伏·安（VA）S=

P2+Q2SQPU•UR•UX•RXZ

阻抗三角形电压三角形功率三角形有功功率、无功功率和视在功率例3.5.1试求电路中的有功功率P,无功功率Q，视在功率S

及功率因数cos

，已知：=1000ºV。U•I•j43

+–U•I1•I2•–j2解：方法1：由总电压，电流求Z=(3+j4)(–j2)3+j4–j2–6j+83+j2=10

–36.87º3.6

33.69º==2.78

–

70.56º

I=UZ••=1000º2.78

–

70.56º=36

70.56ºAP=UIcos=100×36cos(–

70.56º)=1200WQ=UIsin=100×36sin(–

70.56º)=–3400varS=UI=100×36=3600V·Acos

=cos(–70.56º)=0.33解：方法2：由各元件的功率求I1=U|Z1|=1005=20AI2=U|Z2|1002==50AP=I12R=202×3=1200WQL=I12XL=202×4=1600varQC=–I22XC=–502×2=–5000varQ=QL+QC=1600–5000=–3400var

=arctgQ/P=–

70.56ºcos

=cos(–70.56º)=0.33S=

P2+Q2=3600V·AI•j43

+–U•I1•I2•–j2例3.5.1试求电路中的有功功率P,无功功率Q，视在功率S

及功率因数cos

，已知：=1000ºV。U•解:

例2：R、L、C串联交流电路如图所示。已知：R=30

、L=127mH、C=40F，求：(1)电流

i及各部分电压uR，uL，uC；(2)求功率P和Q。V)20314cos(2220o+=tu–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+A)73°314cos(24.4+=ti(1)得V)73°314cos(2132+=tuRV)163°314cos(2176+=tuLV)17°314cos

(2352-=tuC注意：（2）电路为电容性–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+

并联交流电路设

u=Umcos

t相量图I•Ic•U•UR•UL•IRL•uiiRLicuRuLCL+++R－－－U•j

LIRL•Ic•I•RUR•UL•－－－+++﹣j

C1功率因数低引起的问题有功功率P=UNIN

cos

功率因数(1)电源设备的容量不能充分利用(2)增加输电线路和变压器绕组的功率损耗在P、U一定的情况下，cos

越低，I越大，损耗越大。情况下，cos

越低，P越小，设备得不到充分利用。P=UIcos

电压与电流的相位差、阻抗角、功率因数角在电源设备UN、IN一定的1.提高功率因数的意义提高功率因数的方法I•IC•IRL•U•

1

电路功率因数低的原因

并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了整个电路的功率因数。通常是由于存在电感性负载。将适当的电容与电感性负载并联。因

<

1

故cos

>

cos

12.提高功率因数cos

的方法+–uiiRLLRCiC功率因数从

cos

1提高到cos

，则应并联电容C为I•IC•IRL•U

•UP(tan

1–tan

)=C=

U2P(tan

1–tan

)IC=

UXC=

U

CUcos

I

=PUcos

1IRL=PP

=

UIRLcos

1=UIcos

IC=IRLsin

1–Isin

Psin

Ucos

1IC=Psin

1Ucos

–功率因数从cos

1

提高到cos

，则应并联电容C为+–uiiRLLRCiC

1

例3

某一220V、50Hz、50kW的电动机,功率因数为0.5。（1）电源提供的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数为0.9，所需电容是多大，此时电源提供的电流是多少？解：（1）PL=UIL

cos

L

QL

=

UIL

sin

Lcos

L=0.5

L=60=220455

0.866=86.7kvar+–uiLPL=50kWiCiC（2）并联电容后，电源提供的无功功率解：cos

=0.9

=25.84由QC

=–

CU2P

=

UIcos

例3

某一220V、50Hz、50kW的电动机,功率因数为0.5。（1）电源提供的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数提高到0.9，所需电容是多大,此时电源提供电流是多少？+–uiLPL=50kWiCiC（2）解二cos

=0.9

=25.84例3

某一220V、50Hz、50kW的电动机,功率因数为0.5。（1）电源提供的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数提高到0.9，所需电容是多大,此时电源提供电流是多少？+–uiLPL=50kWiCiCC=

U2P(tan

L–tan

)cos

L=0.5

L=60=4103F复功率

=

UI

(

u+

i)·I·U=

UI

(

u-

i)·I*·U=

UI

cos(

u−

i

)

+

jUI

sin(

u-

i)

P

=U

Icos(

u−

i)

Q

=U

Isin(

u−

i)

§9-6复功率复功率守恒S

=

P

+

jQ=

=

UI

(

u−

i

)=

S

j·I*·U复功率守恒：复功率的实部P为网络中各电阻元件消耗功率的总和；虚部Q为网络中各动态元件无功功率的代数和。即无功功率Q

=

QL+

QC

注意QL为正,QC为负。=

I

–

iI*•电流共轭相量

QSPNi(t)电源+u(t)-=

U

u

·U=

I

i·I设例1：电路如图，已知：U=2300V。求两负载吸收的总复功率，并求输入电流的有效值和总功率因数。15kW=0.6感性10kW=0.8容性＋–iu解：每一负载的复功率同理则总复功率感性负载1.单个元件的功率和能量2.单口网络的功率L:P

=

0Q

=

UI

WL

=12LI2C:P

=

0Q

=

–UI

WC

=12CU2Um

Imcos

12P

=U

Icos

P

=12Q

=

U

Isin

Q

=Um

Imsin

=

u−

i

S

=UIS

=

P

+

jQ

(无独立源单口网络)小结：正弦稳态电路的功率R:P

=

UI

=

I2R

=

U2/Rl

=PS=

cos

Ni(t)电源+u(t)-§9-7正弦稳态最大功率传递定理

Z0ZLI·+UOC-·+UL-·(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可变Z0+ZL

UOC(R0

+

RL)

+

j(X0

+

XL)

=I

=

UOC···=

(R0+

RL)2

+

(X0+

XL)2

UOC(

-

arctgR0+RL)X0+XL·求负载获得最大功率的条件设UOC、Z0不变，ZL可变，·(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC2

RLPL=I2RL

=当X=X0+XL

=

0时,分母最小,PL最大(R0

+

RL)2

–

2RL(R0

+

RL)

=

0R0

+

RL

–

2RL

=

0RL=

R0负载获得最大功率的条件：共轭匹配：RL=

R0

XL=

–X0*ZL

=

Z0=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(

–

arctgR0+RL)X0+XL·Z0ZLI·+UOC-·+UL-·dPL(R0+RL)2–2RL(R0+RL)=0dRL=UOC(R0+

RL)42(R0

+

RL

)2

UOC

RLPL

=2(R0

+

RL

)2

UOC2

RL

=PLmax

=4R0

UOC2PLmax

=4RO

UOC2

=124RO

UOCm2负载获得的最大功率Z0ZLI·+UOC-·+UL-·负载获得最大功率的条件：共轭匹配:RL=

R0

XL=

–X0*ZL

=

Z0(R0+RL)2+X02

UOC2

RLPL=(2)负载为纯电阻RLdPL(R0+

RL)2

+

X02–

2RL(R0+

RL)dRL=[(R0+

RL)2

+

X02]2UOC2=

0(R0+

RL)2

+

X02–2RL(R0+RL)

=0R02

+

2R0RL+

RL2

+

X02–

2R0RL–

2RL2

=

0R02

–

RL2

+

X02=

0RL2

=

R02

+

X02RL=R02+X02=

Z0

模匹配PLmax=

I

2RLZ0ZLI·+UOC-·+UL-·12ImRLPLmax

=2(3)负载ZL的阻抗角固定而模可改变

ZL

=R02+X02=

Z0

模匹配阻抗三角形XL

RL

ZLZL

=

RL

+

jXL

=

|ZL|∠j

在这种情况下，可以证明，负载获得最大功率的条件为：负载阻抗的模应与电源内阻抗的模相等，称为模匹配。

在这种情况下，负载所获得的最大功率并非为可能获得的最大值。如果负载阻抗的阻抗角也可调节，还能使负载得到更大一些的功率。Z0ZLI·+UOC-·+UL-·例1：电路如图，求：(1)获得最大功率时ZL为何值？

(2)最大功率值；(3)若ZL为纯电阻，ZL获得的最大功率。解：Z0

=(2

+

2)

103

j4

103(2

+

2)

103

+

j4

103=j16

1034

+

j4=

2

+

j2

=

2245˚kΩ（1）ZL

=

2

–

j2kΩ时获得最大功率=

212245˚V=212

j42

+

j2·UOC=2

1032

103

+

(

2

103

+

j4

103)

2120˚10-3

j4

103（2）ZL2120˚mAj4k2k2k+UOC–·2120˚mAj4k2k2k12

103U1

+

(·12

1031j4

103+)UOC

=

0·–2U1

–

UOC

=

414

0˚··–

2U1

+

(2

–

j)UOC

=

0··(12

103)U1–12

10312

103+··UOC

=

212

10-30˚

UOC

=·414–20

–1–22

–

j=8284

–

j2

–

2=8282

–

j2=

212245˚V（2）计算开路电压的另一种方法—节点分析法+UOC–·2120˚mAj4k2k2k·ZL

=

22103

=

2.83

kΩ时获得最大功率I

=·(2

+

j2

+

2.83)

103

UOC·=212245

(4.83

+

j2)

103=57.3422.51

mAPmax

=

I2RL

=

(57.34

10–3)2

2.83

103

=

9.3WI·Z0ZLUOC·UOC

=212245˚V(2)Pmax=4

2

103=

UOC2(2122)28

103=

11.24W(R0

+

RL)2

UOC2

RL

=PLmax

=4RO

UOC2获得的最大功率ZL

=

2–

j2

kΩ时获得最大功率(3)若ZL为纯电阻，求ZL获得的最大功率Rj

C1I·+U

=

1000˚V–·例2

图示电路中电压源在

=

400rad/s

和超前功率因数0.8之下供电(即电流超前电压)

，消耗在电阻上的功率为100W，试确定R和C的值。

解：cosj

=

0.8j

=

arccos

0.8

=

–

36.87º

R2

+

(

C1)2UI

=RC1=

0.75

400

=

3001j

C1

CR1=

R2

+

(

C)2Z

=

R

+

arctg(

–)tg

(–36.87º)

=

–

0.75R2

+

(

C1)2U2P

=

I2R

=

R=

2C2RU21

+

2C2R2=

100=

100(2)

2C2RU21

+

2C2R2

=

300(1)RC1300C1300

52.08

10-6

=R

=1

=

64Ω3001代入(2)C

=

52.08mF

RC

=Rj

C1I·+U

=

1000˚V–·

例3:图示电路中，L=0.159

H，C=15.9PF，RS=5

，RL=2000

，试证明当频率为108Hz时，在c、d端对RL

的等效内阻恰为2000

。问在频率为107Hz时，仍能如此吗？若

，试求在频率为108Hz及107Hz时RL的功率。uS(t)=

2cos

tV解：

f

=

108Hz

=

2pf

=

2p

108radsZL

=

jXL

=

j2p

108

0.159

10-6

≈

j100

ZC=

–j

C1=

–j2p

108

15.9

10-121≈

–

j100

Zcd

=(5

+

j100)

–

j100(5

+

j100)

(–

j100)=

2000

–

j100

≈

2000

CRSRLa+us–Lbcdf=107HzZL

=

j

L

=

j2p

107

0.159

10-6

≈

j10

ZC

=

–j

C1=

–j2p

107

15.9

10-121≈

–

j1000

Zcd

=(5

+

j10)

-

j1000(5

+

j10)

(-

j1000)=

5

+

j10

CRSRLa+uS–Lbcdf=107Hz时：·UOC

=5

+

j10

+

20002000

10˚

≈

10˚

V·I

=5

+

j10

+

200010˚≈12

10-3

APL=

I2RL=

(12

10-3

)2

2000

=

0.5mWf=108Hz时：·f

=

107Hz2000

UOC

=

10˚

V5+j10

·f

=

108Hz2000