2023年广东省惠州市第五中学中考数学一模试卷

2023年广东省惠州五中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的

一项）

1.2023的倒数是（）

A.一2023B.3202。一壶D.康

2.用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（）

3.如图，在心44。8中，4。=90。.若，8。=4,贝必18的长为（）

A.2/

B.2V5

C.2V13Z________

A

D.6

4.下列运算正确的是（）

A.侬=±5B.V04=0.2

C.（―I）-3=—1D.（―3mn）2=—6m2n2

5.在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22,

那么小东跳出了3.85米，记作（）

A.-0.15B.+0.22C.+0.15D,-0.22

6.如图，点A,B,C都在。。上，连接AB,BC,4C,。4,OB,。

NBA。=20。，则Z4CB的大小是（）/V\

A.90°

B.70°

C.60°

D.40°

7.某校九年级1班10名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：88,90,75,

88,90,91,92,100,80,88则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）

A.88,90B.3,90.5C.90,89D.88,89

2

8.已知关于工的一元二次方程（Q-2）x-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取

值范围是（）

A.a<3B.a>3C.a<3且a。2D.a<-3

9.如图，△ABC和AOEF是以点。为位似中心的位似图形,

OA：AD=2：3,△4BC的周长为8,则产的周长为（）

A.12

B.18

C.20

D.50

10.二次函数）/=ax?+加；+c（a,b,c为常数，avO）中，％与y的部分对应值如表:

X—-103—

yn2n

对于下列结论：®b>0；②2是方程a/+必+。=2的一个根；③当x>0时，y随工

的增大而减小；④若小>0,且点8（巾+2/2）在该二次函数的图象上，则

、1>为；⑤对于任意实数几，都有aM+bnW-a.其中正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④D.②③④⑤

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.一个六边形的外角和为一

12.祖冲之发现的圆周率的分数近似值HI。3.1415929,称为密率，比兀的值只大

0.0000003,0.0000003这个数用科学记数法可表示为—.

13.因式分解：3/—12y2=

14.已知：点4（一2①），8（2必），C（3,y3）都在反比例函数y=g图象上（卜>。），用"<"

表示%、%、丫3的大小关系是•

15.如图，将边长为1的正方形48C。绕点4逆时针旋转30。到

正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为一.

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.先化简，再求值：（。一辿心勺+巴心，其中a=：,6=1.

'a'Q乙

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤）

17.（本小题8.0分）

如图，力C与交于点。，OA=OD,乙ABO=ADCO,E为BC延长线上一点，过点E作

EF//CD,交BC的延长线于点F.

(1)求证A/lOBSADOC；

(2)若48=2,BC=3,CE=1,求EF的长.

18.(本小题8.0分)

如图，在RtA/lBC中，ZC=90°,44=30°.

⑴尺规作图：作4B的平分线8D交AC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若OC=2,求4c的长.

19.（本小题9.0分）

我区某校想知道学生对“老瀛山”，“古剑山”，“东溪古镇”等旅游名片的了解程度,

随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选

一项）：4不知道，B.了解较少，C.了解较多，。.十分了解.将问卷调查的结果绘制成如

下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)本次调查了多少名学生？

(2)根据调查信息补全条形统计图；

(3)该校共有800名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？

(4)在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有2名男生和2名

女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法

或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率.

20.(本小题9.0分)

2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用6000元购进

A,B两种世界杯吉祥物共110个，且用于购买4种吉祥物与购买B吉祥物的费用相同，

且4种吉祥物的单价是B种吉祥物的1.2倍.

(1)求4,8两种吉祥物的单价各是多少元？

(2)世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过16800元的资金再

次购进A,B两种吉祥物共300个，已知A,B两种吉祥物的进价不变.求4种吉祥物最多

能购进多少个？

21.(本小题9.0分)

如图，4B是。。的直径，弦COJ.AB于点E,点F在上，4F与CD交于点G,点H在DC的

延长线上，且HF是。。的切线，延长HF交AB的延长线于点

(1)求证：HG=HF；

(2)连接BF,若s讥M=,BM=2,求BF的长.

22.(本小题12.0分)

(1)如图1,将直角三角板的直角顶点放在正方形4BCC上，使直角顶点与。重合，三角

板的一边交AB于点P,另一边交8c的延长线于点Q.则DPDQ(填“>”“<”或

“=”)；

(2)将(1)中“正方形4BCO”改成“矩形4BC0"，且40=2,CD=4,其他条件不变.

①如图2,若PQ=5,求AP长.

②如图3,若8。平分NPDQ,则OP的长为.

23.(本小题12.0分)

如图，抛物线y=aM+匕％+3交x轴于点4(3,0)和点交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)。是直线4C上方抛物线上一动点，连接。。交4C于点N,当零的值最大时，求点D的

坐标；

(3)P为抛物线上一点，连接CP,过点P作PQ1CP交抛物线对称轴于点Q,当tan/PCQ=

2时，请直接写出点P的横坐标.

备用图

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：••・互为倒数的两个数乘积为1,

•1.2023的倒数是急，

故选：D.

直接利用倒数的定义得出答案.

本题主要考查倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键，需注意倒数不改变数的正负.

2.【答案】A

【解析】解：B,C,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠,

直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

4选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，所以是轴对称图形；

故选：A.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图

形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

3.【答案】D

【解析】解：•••，BC=4,

:.sinA=,

:•=，

解得：AB=6.

故选：D.

利用锐角三角函数关系得出答案即可.

此题主要考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数关系是解题关键.

4.【答案】C

【解析】解：V25=5，

故4不符合题意；

国=苧，

故3不符合题意；

(-1厂3=-1,

故c符合题意；

(―3mn)2=9m2n2,

故。不符合题意，

故选：C.

根据算术平方根，负整数指数幕，幕的乘方运算法则分别判断即可.

本题考查了算术平方根，负整数指数幕，幕的乘方运算，熟练掌握这些知识是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了正数和负数，注意高于标准用正数表示，低于标准用负数表示。

根据高于标准记为正，可得低于标准记为负。

【解答】

解：•.•以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22,

•••小东跳出了3.85米,记作一0.15米，

故选:Ao

6.【答案】B

【解析】解：,••4。=OB,

是等腰三角形，

v乙BAO=20°,

/.OBA=20°,即〃。8=140°,

v/.AOB—2Z.ACB,

•••乙ACB=70°.

故选：B.

根据题意可知AAOB是等腰三角形，^BAO=20°,可得出乙4OB的度数，根据同弧所对的圆

周角是圆心角的一半即可得出答案.

本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些

知识点是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：从小到大排列此数据为：75,80,88,88,88,90,90,91,92,100,数

据88出现了三次最多为众数，88,90处在第5位和第6位，所以本题这组数据的中位数是

2

故选：D.

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位

数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计

算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和

偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中

间两位数的平均数.

8.【答案】C

【解析】解：••・关于x的一元二次方程(a-l)x2-2x+1=。有两个不相等的实数根，

CL-2力0,A—(—2产一4x(a—2)x1=12—4a>0>

解得：a<3且a*2.

故选：C.

根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得

出结论.

本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的

定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：与AOEF是位似图形，点。为位似中心，

.AC_0A_OA

“而一而—OA+AD'

SA/IBC-ADEF,

vOA：AD=2：3,

DFOA+AD5

ACOA2

又&ABC^xDEF,

CAABC：C^DEF=AC：0F=2：5,

•••△ABC的周长为8,

•••△DEF的周长为20.

故选：C.

先根据位似的性质得到△ABC与AOEF的位似比为044D,再利用比例性质得到04：。。=2：

5,然后利用相似三角形的性质即可求出答案.

本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题.

10.【答案】B

【解析】解：,:二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c为常数，a<0),

.••该函数图象开口向下，

由表格可知，对称轴为直线尤=三垣=1,

b>0,故①正确，符合题意；

,・•点(0,2)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，

・••点(2,2)也在二次函数y=ax2+b%+c的图象上，

・・.2是方程以2+加+。=2的一个根，故②正确，符合题意；

当0<%<1时，y随工的增大而增大，当%>1时、y随工的增大而减小，故③错误，不符合

题意；

若血>0,且点4(血,%)，8(血+2,丫2)在该二次函数的图象上，则为>为，故④正确，符

合题意；

?对称轴为直线%=一7=1,

2=1,

2a

・•・b=-2a,

va<0,

•・・当X=1时，该函数取得最大值，

二对于任意实数n,都有an?+bn+cWa+b+c,

BPan2+bn<a+b,

••an2-+bn<a+(-2a),

an2+bn<-a,故⑤正确，符合题意；

故选：B.

根据表格中的数据和二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，可以判断各个小题

中的结论是否成立.

本题考查二次函数的性质、一元二次方程的解、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的

关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

11.【答案】360

【解析】解：六边形的外角和是360。.

故答案为：360.

根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案.

考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度.外角和与多边形的边数无关.

12.【答案】3x10-7

【解析】解：0.0000003=3x10-7.

故答案为:3x10-7.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-%与较大数的科学记

数法不同的是其所使用的是负整数指数辕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0

的个数所决定.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl()n的形式，其中1<|«|<

10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

13.【答案】3(x-2y)(x+2y)

【解析】解：3x2—i2y2

=3(x2—4y2)

=3(x—2y)(x+2y),

故答案为：3(x-2y)(x+2y).

先提取公因式，再用公式法因式分解即可.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

14.【答案】yi<y3<

【解析】解：•.•反比例函数、=9々>0)中上>0,

.•・函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随X的增大而减小.

-1<0,

•••点4(—2,y。位于第三象限，

•••y1vo，

v0<2<3,

・,•点8(2,%)，位于第一象限，

丫2>丫3>°。

・•・力<y3<%・

故答案为：yiv丫3v丫2.

先根据反比例函数中％>o判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点

即可得出结论.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合

此函数的解析式是解答此题的关键.

15.【答案】

【解析】解：作MHJLDE于H,如图,

•.•四边形4BCD为正方形，

.・.AB=AD=1,LB=乙BAD=Z.ADC=90°,

•・•正方形ZBCD绕点A逆时针旋转30。到正方形4EFG的位置,

.・.AE=AB=1,Z1=30°,Z.AEF=IB=90°,

:.Z2=60°,

・•・△4E。为等边三角形，

:.43=44=60°,DE=AD=1,

:.z5=z6=30°,

・•.△MDE为等腰三角形，

DH=EH=

在RtAMDH中，MH=§DH=与q=今

33Z6

「1.V3V3

•-5AMD£=2X1X-=-.

故答案为：得

作MH1DE于如图，利用正方形的性质得AB=4D=1,zB=^.BAD=^ADC=90°,

则根据旋转的性质得4E=AB=1,Z1=30°,AAEF=NB=90°,再证明△4ED为等腰三

角形得到43=44=60°,DE=AD=1,接着证明4MOE为等边三角形得到DH=EH=：,

则利用含30度的直角三角形三边的关系计算出MH,然后利用三角形面积公式计算即可.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质.

16.【答案】解：9一%士)+巴女

_a2—2ab+b2a

aa-b

(a—b)2CL

aa-b

=a—b,

当a=2，b=l时，原式="一1=一^.

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式

子即可解答本题.

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

17.【答案】（1）证明：在△40B和△DOC中，

AABO=ADCO

乙408=Z-D0C,

0A=0D

.*.△A0B三△OOCQ44S）；

（2）解:由（1）得:4A0BW&D0C,

・•・AB=DC=2,

vBC=3,CE=1,

・・・BE=BC+CE=4,

•・・EF//CD,

•••△BCD〜二BEF,

.・坐=叱

EFBE

B[J—=

1EF4

解得：EF=|.

【解析】（1）由44s证明AAOB三△DOC即可；

（2）由全等三角形的性质得4B=DC=2,再证ABCDsABEF,得言=，即可求解.

本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角

形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

18.【答案】解：（1）如图射线即为所求;

(2)•••乙C=90°,Z71=30°,

•••Z.ABC=60°,

•••BC平分〃BC,

Z.A—Z-ABD=Z.DBC=30°,

・・・BD=2CD=4,

・•・AD=4,

:.AC=AD+CD=4+2=6.

【解析】(1)利用尺规作出NABC的平分线交"于点。；

(2)只要证明8。=AD,求出BC即可解决问题；

本题考查基本作图，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

19.【答案】解：(1)30+30%=100(人),

答：本次调查了100人.

(3)“十分了解”人数为：800x^=160(A);

(4)树状图如下：

开始

共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女有8种.

所以，所选两人恰好是一男一女的概率为。=|.

【解析】(1)根据C组人数以及百分比计算即可解决问题；

(2)求出B组人数，画出条形图即可解决问题；

(3)用800x“十分了解”所占的比例即可；

(4)先画出树状图，继而根据概率公式可求出被选中的两人恰好是一男一女的概率.

此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率.列

表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步

或两步以上完成的事件.

20.【答案】解:(1)6000+2=3000(%).

设B种吉祥物的单价是x元，贝〃种吉祥物的单价是1.2x元,

根据题意得：^+—=110,

1.2xx

解得：x=50,

经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意,

1.2%=1.2x50=60.

答：4种吉祥物的单价是60元，B种吉祥物的单价是50元；

(2)设购进m个Z种吉祥物，则购进(300-m)个B种吉祥物，

根据题意得:60m+50(300-m)<16800,

解得：m<180,

•••m的最大值为180.

答：4种吉祥物最多能购进180个.

【解析】(1)设B种吉祥物的单价是x元，则4种吉祥物的单价是1.2x元，利用数量=总价+单

价，结合购进4,B两种世界杯吉祥物共110个，即可得出关于光的分式方程，解之经检验后

即可得出B种吉祥物的单价，再将其代入1.2万中，即可求出4种吉祥物的单价；

(2)设购进m个4种吉祥物，则购进(300-m)个B种吉祥物，利用总价=单价x数量，结合总

价不超过16800元，即可得出关于ni的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，

正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

21.【答案】(1)证明：连接OF,

:.Z.A=Z.OFAy

vCD1AB,

・•・Z.AEG=90°,

，Z-A+Z-AGE=90°,

•・•，尸是。。的切线，

・•・OF1HM

・•・(HFO=90°=Z.OEA+乙HFG

・•・Z.HFG=/-AGE=乙HGF,

:.HF=HG；

(2)解：连接BF,

由(1)得，乙OFM=90。,

・•・Z,BFO+乙BFM=90°,

•・・/B是O。的直径，

・・・Z.AFB=90°,

・•・Z.A+乙ABF=90°,

vOB=OF,

・•・Z-ABF=乙BFO,

・♦・乙BFM=Z-A,

•.・乙M=乙M,

・•・△BFM~AFAM

.BF_FM

***AF=AM1

.R,4

vstnM=

.OF_4

'~OM=59

•・・BM=2,OB=OF,

OF4

:.--------=—,

OB+25

・•,OF—8,

・•・OM=10,AM=18,AB=16,

・•・FM=y/OM2-OF2=6，

.BF_FM_1

AFAM3

1

・•・BF=^AF.

...AF2+BF2=AB2f

AF2+©力尸产=162,

...4/7=等(负值舍去)，

8V10

・•・BF=-y-.

【解析】(1)连接OF,根据CD1AB,可得乙4+乙4GE=90。，再由切线的性质，可得4HF。=

90。=AOEA+乙HFG,然后根据等腰三角形的性质可得结论；

(2)连接BF,先证得△BFMSAFAM,再根据sinM=/可得OM=10,AM=18,从而得BF

的长，然后由勾股定理可得答案.

此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理

解锐角三角函数是解题的关键.

22.【答案】解：⑴二；

(2)①•.•四边形4BCD是矩形，

•••乙4=^ADC=乙BCD=90°.

vZ.ADP+4PDC=Z.CDQ+4PDC=90°,

:.乙ADP=乙CDQ.

又•・•LA=Z.DCQ=90°.

ADP^LCDQ»

•_A_P——AD—_2——1

CQ-CD~4~2,

设4P=x,则CQ=2x,

PB=4—x,BQ=2+2x.

由勾股定理得，在Rt^PBQ中，PB2+BQ2=PQ2,

代入得(4-%)2+(2+2x)2=52,

解得％-1或久——1(舍去)，

即AP=1.

4P的长为1;

②|质

【解析】【详解】(I)、•四边形4BC。是正方形，

DA=DC,乙4=4DCQ=/.ADC=90°,

Z.ADP+Z.PDC=90°,

v乙PDQ=90°,

A^PDC+Z.CDQ=90°,

:.Z.ADP=乙CDQ,

在△40P和4COQ中，

乙4=Z-DCQ

DA=DC,

Z.ADP=乙CDQ

••.△4DP=△CDQdASA^

.•・DP=DQ,

故答案为：=;

(2)①见答案；

②如图所示，延长DP到M,使DM=DQ,连接BM,

ADP^^CDQ,

APAD1._____

：,CQ=~CD=2f4=乙CQD9

・•・CQ=2a,

则BQ=8C+CQ=2+2a,

•・•8。平分4PDQ,

・•・乙BDM=乙BDQ,

在△BOM和△BOQ中，

(BD=BD

乙BDM=乙BDQ,

DM=DQ

/.△BDM"BDQ(SAS),

:.Z-BMD=乙BQD,BM=BQ=2+2a,

又•・•(BQD=Z.APD=乙BPM,

・•・Z.BMD=乙BPM,

:,BM=BP,即2+2Q=4-Q,

解得Q=I，即AP=I，

PD=>JAP2+AD2=J(|)2+22=殍

故答案为：|Vio.

(1)由四边形4BCD是正方形知D4=DC,^DAP=乙DCQ=Z.ADC=90°,结合/PDQ=90°

得乙4OP=乙CDQ,iiEAADP=△COQ可得答案；

_ADAn1

(2)①证△ADP-LCDQ得前=而=》设AP=X，则CQ=2x,PB=4—久，BQ=2+2x,

在RtAPBQ中，由勾股定理得到关于无的方程，解之即可；

_AD

②延长DP至JIM,使DM=DQ,连接BM,设ZP=a,则BP=4-a,由4ADP-^CDQ得行=

缶=；,^APD=乙CQD,CQ=2a,BQ=2+2a,再证△BDMSABDQ得NBQD=乙BMD,

BM=BQ=2+2a,结合NBQO=Z.APD=NBP