2022年高二数学（上）期末复习宝典

2022-2023学年第一学期高二数学期末考试复习宝典

4【考点一】双曲线方程

【时而习之】

V

如果方程南二7一工句表示双曲线，那么实数加的取值范围是()

A.m>2B.m<\或m>2

C.—l<m<2D.或m>2

Ml【答案】D

【解析】由双曲线的标准方程可知/符合忙氏或牲;解得

m>2或-1<m<1.

故选D

，【不亦说乎】

22

已知双曲线—r-^-=1的离心率为四，则加=()

A.4B.2C.V2D.1

M【答案】B

【解析】根据双曲线工-工小可知。=金，b=42.

m2

/.c=y/m+2・

求得m=2.

【考点二】抛物线方程

【时而习之】

顶点在原点，以X轴为对称轴且经过点M（-2,3）的抛物线的标准方程为

，焦点坐标为.

M【答案】y*2=~^x；（V，0）

Zo

2

【解析】由题意可设y=-2px（P>0）

抛物线过点例（-2,3）,.[9=4/2,;.p=J,

4

QQ

•・抛物线的方程为）？=-X，焦点坐标为（V,0）.

2o

QQ

故答案为;（-J,0）.

2o

【不亦说乎】

已知抛物线丁=2a（。>0）的准线经过点（-2,p），则该抛物线的焦点坐标为（）

A.(-2,0)B,(-4,0)

C.(2,0)D.(4,0)

M【答案】c

9【解析】抛物线r=2px(p>0)的准线经过点(-2,p).

—2=>p=4.

二.y2=8x.

焦点坐标为（2,0）.

故选c

【考点三】双曲线定义

］【时而习之】

已知F,,用分别是双曲线E:4-77=1的左右焦点，P在双曲线上，若

916

|「耳|=7,则|尸引=()

A.13B.10C.1D.I或13

M【答案】D

【解析】由双曲线定义|喈H?用1=2〃得\1-\PF2W=6.

故选D

【不亦说乎】

双曲线4X2-/+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1,则点P到另一

个焦点的距离等于.

M【答案】17

【解析】将双曲线底_y2+64=0化成标准形式：^--4=1,

6416

.•./=64,〃=16,P到它的T焦点的距离等于1,设P耳=1.

\PFi-PF2\=2a=l6,

:.PF2=PFt±l6=n（舍负）.

故答案为：17.

【考点四】抛物线定义

P【时而习之】

已知点P是抛物线X=1y2上的动点，则点P到点A（o,2）的距离与它到y

4

轴的距离之和的最小值为（）

A.V5-1B.2C.y/5D.V5+1

M【答案】A

【解析】=的准线方程为x=-l.

4

设曲线x=%2的焦点为F，动点p（%,%）,P点在曲线y2=4x的准线

4

/：X=—1的射影为M.

由抛物线的定义知，PM=|PF|.

A=（0,2）.

:.\AF\=7（O+l）2+（2-O）2=x/5.

:.\PA\+\PM\=\PA\+\PF\..\AF\=y/5.

点P到点A（0,2）的距离与点P到x=-l的距离之和的最小值为右.

点P到点A（0,2）的距离与点P至!JV轴的距离的最小值为V5-1.

故选A

【不亦说乎】

在平面直角坐标系X/中，直线/过抛物线丁=4尤的焦点，交抛物线于A,

B两点，且线段AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为（）

A.6B.7C.8D.1()

【答案】C

【解析】

由题设已知线段AB的中点到准线的距离为4

设A,8两点到准线的距离分别为4,出，

由抛物线的定义知：

|AB|=|AF|+忸目=4+4=2x4=8.

故选C

【考点五】双曲线性质

【时而习之】

已知顶点在X轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=o,该双

曲线的焦点为()

A.(±273,0)B.(±4^,0)C.(±275,0)D.(±4^,0)

M【答案】c

【解析】设双曲线方程为W-2=1，(。＞。，。＞0)，

双曲线的中点在坐标原点、焦点在X轴上，

22

••,设双曲线方程为二一2=1,(。＞0,力＞()),

a~b~

实轴长为4,渐近线方程为2x±y=0,

2〃=4

：・＜b_,解得。=2,〃=4,贝！］c=J4+16=26，

­=2

a

该双曲线的焦点为但6,0).

【不亦说乎】

22

已知双曲线：三-汇=1,左右焦点分别为片，F2,过耳的直线I交双曲线

43

左支于A,B两点，则忸耳|+|4工|的最小值为（）

19

A.—B.11C.12D.16

2

M【答案】B

22

【解析】双曲线的中点根据双曲线的标准方程工-二=1可得：a=2,

43

由双曲线的定义可得：|A周一|A耳卜2“=4①

忸玛|一|明|=2a=4②

所以①+②可得：闾一（|A耳|+|班|）=8,

因为过双曲线的左焦点片的直线交双曲线的左支于A,B两点，

所以|做|+|明|=|明，当\AB\是双曲线的通径时\AB\最小.

所以|A鸟|+|B巴卜（|A£|+|8用）=|A居|+|8居|—|AB|=8.

照,|A司=|知+8.../+8=11.

【考点六】抛物线性质

【时而习之】

22

若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆j+2=1的一个焦点，则P=

r3PP

（）

A.2B.3C.4D.8

M【答案】D

【解析】根据题意知a2=3p,b2=p,

则c2=a2一"=2p,即c=7^,

所以椭圆的右焦点坐标为（而.又抛物线的焦点坐标为,

所以与=而（。>0），解得〃=8.

P【不亦说乎】

9

如图，已知点Q（2后,0）及抛物线>-上的动点P（x,y）,则y+|R2|的

最小值是（）

A.2

B.3

C.4

D.272

【答案】A

【解析】因为抛物线的方程为

2

y=?,其焦点尸（0,1）,准线方程为

y=T,抛物线上的动点P（x,y）到

准线的距离为?-（-i）=y+i,由抛

物线的定义得：归耳=>+1,又。（2枝,0）,所以

y+|PQ|=y+i+|PQ|—"PQ|-i=J（2、/2-0）2+（0-1）2—1=3-1=2

（当且仅当F,P,Q三点共线时，取等号）

【考点八】离心率求解

【时而习之】

在平面直角坐标系即,中‘双曲线点-方=13＞。/＞。)的左支与焦点为E的抛物

线f=2py(p＞0)交于M,N两点.若IM/I+IN尸|=4|。用，则该双曲线的离

心率为__________

“【答案】手

22

【解析】把网p＞。)代入双曲线＞%=叱。4。)，

可得：a2y2-2pb2y+a2b2=0,y+y=--,

ABa

\AF\+\BF\=4\OF\,.■.yA+yB+2x^4x^,

该双曲线的离心率为：e=亚.

2

【不亦说乎】

已知双曲线E:=-三=l(a,b＞0)的右顶点为A,抛物线C：V=8ax的焦点为

ab

F.若在E的渐近线上存在点尸，使得AP_LEP,则曲线E的离心率的取值范围是

()

8.(1,半］「r3逝、

A.(L2)CJ-4、+00)Z).(2,+oo)

4

M【答案】B

h

【解析】设点2乂土：幻）侬。）,打?。,。），则

A尸=（%—4,》），FP=（x—2a,y）,由人尸,尸尸得.3以+2/=。，因为存

矿

在点P，所以由ANOnlveW^g

4

【考点九】直线与抛物线位置关系

［时而习之］~

已知抛物线C：y2=8x的焦点为尸，准线为/,P是/上一点，。是直线所与C的

一个交点，若PF=3QF,则|。耳=.

Q

M【答案】1

【解析】【解答】设。至”的距离为d,则|QF|=d,

PF=3QF,：.\PQ\=2d,

,不妨设直线P尸的斜率为6，

*0,2），，直线尸尸的方程为y=G（x—2）,

2Q

与y2=8x联立可得x=§,,-.\QF\=d=-,

Q

故答案为§.

【不亦说乎】

已知直线I经过抛物线V=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、8两点.

（1）若|"|=4,求点A的坐标；

⑵若直线/的倾斜角为45,求线段AB的长.

M【答案】点A的坐标为（3,26）或卜,-26卜线段AB的长是8.

【解析】由丁=4x,得p=2,其准线方程为％=-1,焦点F（1,O）.

设A（%,yJ,3（孙%），

由抛物线的定义可知，|A同=%+修，从而西=4-1=3,代入V=4x,解得

y=±2百,

.・•点A的坐标为（3,2百）或卜,一26）.

V=x-1

⑵直线/的方程为y=x-i,与抛物线方程联立，得（2,

y=4x

消y,整理得％2—6x+l=0,其两根为国、々，由韦达定理得玉+马=6,

由抛物线的定义可知，|蝴=%+与+p=6+2=8，所以线段AB的长是8.

【考点十】等差数列求值

【时而习之】

（2014福建）等差数列｛0“｝的前〃项和S,,，若4=2,83=12，则以=

M【答案】4=12

【解析】设等差数列｛叫的公差为d,则53=3q+3d,所以12=3x2+3”,

解得d=2，所以4=12.

【不亦说乎】

在等差数列｛4｝中，若S4=52,S9=252,求S“.

M【答案】S“=3/+〃

【解析】

4x3

S=4a+—-J=52.

412rq=46〃（〃一1））2

c9x8,cdd=6==4〃+——-----=3n+n

c2

S=9ci,H----d=252i

q2

【考点十一】等差数列通项性质

【时而习之】

设s“是等差数列｛4｝的前〃项和，若4+%+%=3,则s5等于

M【答案】5

【解析】q+%+%=3=a?=]=S5=.）=5）：%=5

【不亦说乎】

《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题："今有五人分五钱，令上二人所

得与下三人等.问各得几何其意思为"已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙

两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五

人各得多少钱？"（"钱"是古代的一种重量单位）,这个问题中，甲所得为（）

5435

A.工钱B.1钱C.Q钱D.］钱

M【答案】B

【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,a-d,ata+d,

a+2d,贝！］由题意可矢口，a—2d-\-a—d=a+a+d+a+2cl,即a=-64,

又a—2J+a—d+a+a+d+a+2/7=5a=5,:.a=\,

a44

则。_24=々_2又（——）=—〃=一.

【考点十二】等差求和性质

【时而习之】

设s“为等差数列｛”“｝的前〃项和，若邑=3,S„=6,贝（）片=（)

A.12B.15C.18D.21

M【答案】A

【解析】设等差数列MJ的公差为"，

f5彳=3a1+3d=3[a,+d=1fa=1

3

[56=6at+15d=6'得+5d=2'解得["=0

所以兀=12q+661=12.

故选：A.

另解：也｝为等差数列，则S“，S2n-Sn,S3,,-S?”也为等差数列，性质求解

【不亦说乎】

s

设等差数列｛4｝的前〃项和为s“，若S'=6,§8=10,则”=—.

M【答案】1

9【解析】｛4,｝为等差数列，则S“，S2,「S“，S3,「S2”也为等差数列

又S4=6,S8=10,则4=4—6=—2

因为52-Sg=以一54-2=4-2=2,解得512=12

所以S、「S,2=Sl2-S8-2=0,解得号6=12

故新=L

312

【考点十三】等比求值

【时而习之】

（2014江苏）在各项均为正数的等比数列｛《｝中，若。2=1,%=4+2%则&的值

是

It【答案】4

【解析】利用等比数列｛4｝的公比为4>0,6>0

2

火=%+2%,；・%或=+2aq3化为/-<7-2=0,解得才=2

542

?.a6=a]q-a2q=1x2=4故。6=4

【不亦说乎】

若等比数列｛4｝满足4+%=20,%+%=40,前〃项和S,=

M【答案】2n+,-2

'【解析】依题意得公七二"=4=母=2,又因为4+%=20,即

出+%出+/20

4。-02(1-2")

q(q+q3)=20，解得q=2.所以s.=----------------------------乙一乙.

\-q1-2

【考点十四】等比通项性质

圆【时而习之】

等比数列｛%｝中，则。3=-2,孙=-8，则%=()

A—B.4c.±4D.-5

M【答案】A

【解析】由等比中项性质，结合奇数项符号相同，得

«7=一"34=8)=-4

。【不亦说乎】

已知｛“”｝为等比数列，%+%=2,8,则％+即)=().

A.7B.5C.-5D.-7

M【答案】D

'【解析】由等比数列的醺可得的6=%%=-8，与%+%=2联立解得%=4

0=-2

a=4

%=-2，则4+4o+=-7,故选D.

■Mk【考点十五】等比求和性质

［时而习7

设正项等比数列m｝的前〃项和为s“，若S3=3,S9-S6=12，则

$6=--------------

M【答案】9

【解析】在等比数列也“｝中，,Sb-S3,S9-$6也成等比数列，

即(§6-3)2=3x12=36,

所以§6-3=±6，所以$6=9或§6=-3(舍去)

【不亦说乎】

已知等比数列｛%｝的前〃项和为s“，若s4=3,S8=9，贝！1%的值为()

A.12B.30C.45D.81

M【答案】c

【解析】设等比数列的公比为4(#1),

=]—4=1+/，所以q4=2，所以白心白勺=1+4**=1+(44)2=5,

gJ%]一夕

所以，6=5&=5x9=45.

另解：｛q｝为等比数列，则S“，S2n-Sn,§3“一S2,,也为等比数列，性质求解

曜宜十六］数列的证明

【时而习之】

已知数列｛%｝和｛4｝满足4=1,4=。，4a„+l=3a„-b„+4,4bn+l=3b„-an-4

(1)证明:a+正｝是等比数列,｛a,,-〃,｝是等差数列；

(2)求&)和电｝的通项公式.

M【答案】略

【解析】(1)证明：4a„+1=3a„-bn+4,4bn+l=3b„-a„-4;

43,-I+b„+l)=2(a„+b„),4(a„+l-%)=4(%-2)+8;

即”,用=；(4+〃)，4,+i-d+i=4,一4+2；

又q+a=1,q8=1,

••.｛4+2｝是首项为1,公比为:的等比数列，以-么｝是首项为1,公差为2的等差数

列；

(2)由(1)可得：a“+年=(；产，4-勿=1+2(〃—1)=2〃—1;

【不亦说乎】

（2016年全国III高考）已知数列｛a„］的前n项和S„=l+Aan，其中4Ho.

（I）证明｛%｝是等比数列，并求其通项公式；

31

（n）^s5=-.

M【答案】略

【解析】（1）s,,=i+M,,.

4=S,=1+之q.

故％w1,4=~~~r,"1工°,

1-x

Aa

由S“=1+n,S“+i=1+如用，得a„+)=S„+1-S„=1+加向-1

即（4-1）1=枇，

由qW0,彳H10得#0,}=y-；

an4—

1夕

•••应}是首项为,公比的等比数列，

,-i-2-

31

(2)若S5K

则若55=1+4丁I一(77J)4]=%

日n/%、531[I

即(---r)=---]=----,

1-A3232

贝U：^7=一:,得尤=一].

1—ZZ

【考点十七】数列通项求解

【时而习之】

2

设数列｛4｝满足4=§,。向-可=221,求数列｛凡｝的通项公式.

M【答案】略

【解析】由用-4=22"T可得

dj_Q]=21

3

a3-a2=2

、

a4-a3=2

将上述式子左右依次相加得为-卬=2^+23=Q二

1-433

22

4(经检验4=］也符合)

3

在数列｛4｝中，4=l,a,,=〃(％—a,J(〃eN*),求数列也｝的通项公式.

M【答案】氏=〃

J【解析】

•••«„="(%一4)("GN*)：.也=山，

a,n

a=2,2=*幺=±,A_=JL(心2)

q1%2/3an_｝

以上各式两边分别相乘得a“=n(n>2)4=1也适合上式，%=〃

【不亦说乎】

1.已知数列｛4｝中，4=1,­=2q,+l(〃€N*),S“为其前”项和，则S5的值为()

A.57B.61C.62D.63

M【答案】A

【解析】由%“=2%+1

・4I+1=2(%+1),

q=1/

••所以。+1｝是以2为公比，2为首项的等比数列，

所以%+1=2.2”T=2",

2--1,

.•.S“=(2-1)+Q2-1)+(2,-l)+...+(2"-l)

=(2+22+23+...+2")-n,

2(1-2")

=----------n,

1-2

S„=2"+'-n-2.

=2"”-〃-2.

..当〃=5时，S5=64-5-2=57,

2.设数列｛4｝的前〃项和为S“，已知2s“=3"+3,求｛4｝的通项公式.

3,n-1,

【答案】«„=<

3"<n>2.

【解析】当〃=1时，2q=T+3,解得q=3,

当〃22时，2S“=3"+3,2s,i=+3，作差得an=3")

当〃=1时，4=1,不满足上式，

3,〃=1,

3〃一】，n>2.

【考点十八】裂项相消

J1时而习之】

（2015'全国新课标卷）已知数列｛%｝的通项公式为a„=2n+\,bn=-----,求数列

anan+l

也｝的前〃项和却

«【答案】而奇

、,111、

［解析］b=---------------------=—(--------------)

用(2〃+1)(2〃+3)22〃+12〃+3'

所以q=a+b2+-+bn=|［(|-|)+(|-1)+---+(—

235572〃+12〃+3

=1(1__1xn

232〃+3，—3(2〃+3),

p【不亦说乎】

1.设数列｛%｝满足％=1,且“，向一%=〃+1,则数列,"的前I。项的和为一.

4,

M【答案】胃on

【解析】因为见+|-4=〃+1,所以当〃之2时,an-an_1=n,

LL~/\7X〃（"+1）

所以4=4+（出一4+（。“-4-1）=1+2H----F〃=--—,

当〃=1时，4=1也满足上式，

20

TT

2.正项数列｛4｝的通项公式4=2〃，令〃,=（“+，”，数列出｝的前”项和为

力,证明：对于任意的〃wN*,都有Tn<^~

64

【答案】略

【解析】

〃+1_鹿+1_〃+1_111

，所以4=

(〃+2)%厂(〃+2『(2〃)2-4”2.(〃+2『-16n2(〃+2『

±i+l--L_+_L_

A][一卦皆扑5卦…+『战'16|_4(〃+炉(〃+2)2

155

<—X—

16464

【考点十九】错位相减法

|【时而习之】

数列｛4｝中，6=1,4+i=24+2".

(1)设d=券•证明：数列低｝是等差数列；

(2)求数列｛叫的前〃项和S..

n

M【答案】(1)略(2)Sn=n-2"-2+\

【解析】(1)%=2。“+2",争=券+1,bn+i=bn+\,

则4为等差数列，2=〃

(2)由(1)可得凡=〃2"T

S„=1-20+2-2'+2-22.+(n-l)-2n-2+»-2n-'

2S„=1-2'+2-22++(〃-2>2"-2+(〃-1).2"T+〃-2”

两式相减，得S“=〃-2"-12°-2-.2"-'=n-2"-T+1

【不亦说乎】

设等差数列｛为｝的前〃项和为S“，且54=4S2,小“=2。”+1.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)设数列也｝的前〃项和7；,且专工)(入为常数)，令*=处

(〃eN+).求数列匕｝的前〃项和尺.

M【答案】(l)a“=2〃-l(2)凡=：(4-誓当

94

【解析】(1)设等差数列｛4｝的首项为©,公差为d,

由S4=4s2,d2n—2an+1得

4q+6d=84+4d

4+(2〃-1)—2。]+2(n—l)d+1

解得，6=1/d=2.因此。“=2〃-1(〃£N").

w/jP71/1—1

(2)由题意知：(=4一声•所以〃22时,bn=Tn-Tn_t=

故，&=%,=9==（〃T）（；）"'（〃eN*）

所以此=0'（；）。+1*（；）1+2*（；）2+3*（：）3+...+（〃一1）、（；广二

则/“=°xg)+lx(£|+2x1)+--+(〃-2)&)+(〃-)[

两式相减得jR〃=(-)]+(―)2+(—)3H---*-(—)w1-(n-l)x(—)n

1-14

4

整理得4=*(4-言3,所以数列｛%｝的前〃项和4="(4一箸).

【考点二十】导数的运算求值

【时而习之】

设函数f(x)=-^-.若,则a

X+Q4

M【答案】1

e'(x+Q)-e”e'(x+a—1)

【解析】由函数的解析式可得：/（x）=

e1+aeaee

贝u:r（1）=------------一可,据此可得：

(1+a)2Q+l『4，

整理可得：。2—2。+1=0，解得：。=1.

故答案为:1.

【不亦说乎】

已知函数f（x）=ylax2-l，且/”（1）=2，则。的值为

M【答案】2

【解析】由题=(/I,,(加T)=7~"；二,

乙7ax—17ax—1

所以/X1)=-7=^r=2，解得a-2.

y/a-i

二【考点二十一】函数图像判断

11【时而习之】

设/‘（X）是函数/（X）的导函数，＞=r（x）的图象如图,则

y=/（x）的图象有可能是（）

Ml【答案】c

【解析】由导函数图像可知函数分别在三个区间(-8,0)(0,2)(2,+向内为正负

正，所以原函数在此三个区间分别对应增减增，选择C.

【不亦说乎】

设/'(X)是函数/(x)的导函数，将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一

个直角坐标系中，不可能正确的是()

【解析】选项A中的直线为导函数图象；B中递减的曲线为导函数图象；C中上

面的曲线为导函数图象，都没有矛盾.D中不论哪条曲线是导函数的图象，原函数都

为单调的函数，故不可能.

【考点二十二】单调区间求解

【时而习之】

设函数/(x)=d+"2+加一1,若当x=l时，有极值为1,则函数

g(x)=x3+ox?+乐的单调递减区间为

M【答案】

【解析】r(x)=3f+2以+"/'(1)=3+2。+方=0,

=1=1,解彳导a=-4,b=5.

g'^=3j^+2ax+b=3x1—8x+5=(3x—5)(x—1),

g'(x)<0n1<x<[,故所求的单调递减区间为(L5

p【不亦说乎】

函数/(x)=f-21nx的单调减区间是

M【答案】(o,i)

【解析】/(x)=f_21nx(x>0),

.•.r(X)=2」=^L2=2(X+1)(X-1),

XXX

令/(x)<0由图得:0<x<l.

函数/(x)=X2-21nx的单调减区间是(0,1).

故答案为(()/).

，【考点二十三】导数的几何意义

【时而习之】

已知函数,f(x)=axlnx-bx(a,heR)在点(ej(e))处的切线方程为

y=3x-e，则。+。=

M【答案】o

【解析】将点(ej(e))代入直线y=3x-e的方程得/(e)=3e—e=2e,

f=axlnx-bx,贝ij/'(x)=alnx+a_/?,

/(e)=(a_0)e=2ea=1

由题意得《,解得

W=2a-b=3b=-\

故答案为：0.

【不亦说乎】

已知函数/(x)为奇函数，当x>0时，/(x)=VTnx,则曲线y=/(九)在

点处的切线方程为

M【答案】D

【解析】令X<O,则—x>0，代入方程得八一工人一/一皿一力，因为此函

数为奇函数，则/(x)=/+ln(-x),/(-1)=一1,贝！J/'(力=3/+：,

/(-1)=2,切线方程为2x-y+\=Q.

【考点二十四】极值与最值的求解

J【时而习之】

函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间［-1,1］上的最大值是()

A.1+-B.1C.e+1D.e-1

e

Ml【答案】D

'【解析】对/(x)求导得r(x)=e'T.分析导数得/(X)在(e,o)单

减，在(0,+e)单增