2016届四川省成都市高三第二次诊断考试数学理试题（解析版）

2016届四川省成都市高三第二次诊断考试数学理试题（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合，，则 A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故2.函数的零点所在的区间是 A. B. C. D.【答案】C【解析】，由零点存在定理知的零点所在的区间是3．复数（其中为虚数单位）的虚部为 A. B. C. D.【答案】D【解析】，故复数的虚部为24、已知某几何体的正视图和侧视图君如右图所示，则该几何体的俯视图不可能为 A.B.C.D.【答案】A【解析】答案A的正视图或者侧视图上半部分的三角形的底边长应该比下半部分的顶边长短一些5、将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的一个减区间是 A. B. C. D.【答案】D【解析】平移后的解析式为，令，解得，故D答案符合. 另解：平移后的周期为，单调减区间的区间长最多为半周期，只有D答案符合要求6．某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间内，将该班所有同学的考试分数分为七组：，绘制出频率分布直方图如图所示.已知分数低于112分的人有18人，则分数不低于120分的人数为 A.10 B.12 C.20 D.40【答案】A【解析】分数低于112分的人对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人数对应的频率/组距为0.05，故其人数为人7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有 A.36种 B.24种 C.18种 D.9种【答案】C【解析】甲乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，对应人数为(从剩下的三个人中选两个抢3元的红包)；（2）都抢到3元的红包，对应人数为(从剩下的三个人中选两个抢2元的红包)；（3）一个抢到2元一个抢到3元，对应人数为(由于红包金额不一样，所有甲乙之间有个排列，从剩下的三个人选两个进行排列，然后分别对应一个2元和一个3元的红包)，故总共的情况有18种.8．在三棱锥中，已知底面，，分别是线段上的动点.则下列说法错误的是 A.当时，一定为直角三角形 B.当时，一定为直角三角形 C.当平面时，一定为直角三角形 D.当平面时，一定为直角三角形【答案】B【解析】底面，则，又，则平面当时，，则平面，，A正确.当平面时，又平面，平面平面，则，故平面，，故C正确当平面时，，又，则平面，，故D正确.用排除法可选B.9．已知函数，则不等式的解集是 A. B. C. D.【答案】D【解析】利用特殊值法，当时，原不等式化为，故0是原不等式的解，排除A，C两个答案；在令，原不等式化为，故不是原不等式的解，排除C答案，故选D10．已知抛物线的焦点为，经过轴正半轴上一点作直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），点关于直线的对称点为，则四边形面积的最小值为 A.3 B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，即点在点左侧.当直线斜率不存在时，不满足题意，故可设直线方程为，联立抛物线方程可得：，故，，，又，，第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．双曲线的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【解析】，故，离心率12．的展开式中，项的系数为__________.（用数字作答）【答案】【解析】的系数为13．已知实数满足，则的取值范围是_________.【答案】【解析】可行域为如图所示的三角形：目标函数根据其几何意义可看成与可行域内的点到点的距离相关则最大值应该在处取得，；过点做的垂线，垂足为，且点到直线的距离，则最小值应该在点处取得，故最小值为14．执行如图所示的程序框图，输出的的值为__________.【答案】【解析】15．已知函数.给出以下四个命题：=1\*GB3①，不等式恒成立；=2\*GB3②，使方程有四个不相等的实数根；=3\*GB3③函数的图象存在无数个对称中心；=4\*GB3④若数列为等差数列，，则.其中正确的命题有_________.（写出所有正确命题的序号）【答案】=3\*GB3③=4\*GB3④【解析】，则有无数个解，在结合是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出的大致图像为令，则，令，则，则，即存在使得，故=1\*GB3①错误由图像知不存在的直线和的图像有四个不同的交点；故=2\*GB3②错误，令，则，即，其中均是函数的对称中心，故=3\*GB3③正确，则，即，则问题转化为与的交点个数如果直线要与有除之外的交点，则斜率的范围在，而直线的斜率的取值范围为，故不存在除之外的交点，故，=4\*GB3④正确三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16．（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，已知，且. （=1\*ROMANI）求角的大小；（=2\*ROMANII）求的最大值.【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI），又是的内角故（=2\*ROMANII），，故故，当且仅当时取得最大值17．（本小题满分12分） 已知数列满足，. （=1\*ROMANI）求数列的通项公式； （=2\*ROMANII）设数列的前项和为，证明：.【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）见解析【解析】（=1\*ROMANI），故即，又故（=2\*ROMANII）18．（本小题满分12分） 某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示. 活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为1的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取小球的编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金为50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖. 现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立. （=1\*ROMANI）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率； （=2\*ROMANII）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量，求得分布列和数学期望【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI）记中一等奖为事件，中二等奖为事件，不中奖为事件；由茎叶图知，，，则中奖的概率为故两次抽奖中恰有一次中奖的概率为： （=2\*ROMANII）可能的取值为0，50，100，150，200 的分布列为元19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，，且，，为的中点，为上一点，.（=1\*ROMANI）证明：平面； （=2\*ROMANII）若二面角的余弦值为，求的长度.【答案】（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）【解析】以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，并设，则，，，，，，，（=1\*ROMANI），，故平面的一个法向量为，故，即平面（=2\*ROMANII），，故平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，即，解得，（舍去）故的长度为PS：第一问可以连接交于点，连接，可证20．（本小题满分13分） 已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.（=1\*ROMANI）求椭圆的方程； （=2\*ROMANII）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆相交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI）解法一：可设点的坐标为，则，解得，（舍去），将点坐标代入抛物线方程式可得，又，联立可解得，，所以椭圆的方程为解法二：抛物线的焦点坐标为，故设，由抛物线定义，得点到直线的距离为..又由余弦定理可得，，即解得或（舍去）由椭圆定义，得，故椭圆方程为（=2\*ROMANII）设切点坐标为，则整理，得.联立直线方程和椭圆方程可得设，，的中点坐标为的垂直平分线方程为即21．（本小题满分14分） 设函数（=1\*ROMANI）求函数的极小值； （=2\*ROMANII）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. （=3\*ROMANIII）已知，试比较与的大小，并说明理由.【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）；（=3\*ROMANIII）见解析【解析】（