静电场边值问题

第三章静电场的边值问题

主要内容电位微分方程、镜像法、分离变量法。1.电位微分方程 2.镜像法 3.直角坐标系中的分离变量法4.圆柱坐标系中的分离变量法

5.球坐标系中的分离变量法

1.电位微分方程已知电位

与电场强度E

的关系为

对上式两边取散度，得对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E

的散度为

那么，电位满足的微分方程式为

泊松方程

拉普拉斯方程对于无源区，，上式变为

已知分布在V

中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为上式为泊松方程在自由空间的特解。

利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。

静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。定解条件初始条件边界条件数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。边界条件有三种类型：

第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。

第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。

第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄里赫利问题。解的存在、稳定及惟一性问题。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。

惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。

稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大。存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。可以证明电位微分方程解具有惟一性。

若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。已知

因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。

静电场的边值问题——

根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。

对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程在无源区，电位满足拉普拉斯方程利用格林函数，可以求解泊松方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。2.镜像法

实质:以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。

这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。

局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。

镜像法所得结果仅适用于原电荷所在的区域，称为有效区域。对于镜像电荷所在的区域，所得结果是不适用的，该区域称为无效区域。（1）点电荷与无限大的导体平面

介质

导体

qrP

介质q

rP

hh

介质

以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为

的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'

共同产生，即

无限大导体平面的电位为零（1）点电荷与无限大的导体平面

介质

导体

qrP

介质q

rP

hh

介质

以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为

的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'

共同产生，即

无限大导体平面的电位为零

电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。电场线等位线

z

*根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。（怎么去证明）*上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。

介质

导体

qrP

介质q

rP

hh

介质

q

对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入

5

个镜像电荷。

/3

/3q

仅当这种导体劈的夹角等于

的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为什么？镜像电荷的依据是电位满足的方程和边界条件，为了不改变电位所满足的方程，镜像电荷不能放在所求电位的区域（或称为有效区）内。电位所满足的方程一般来说，只要满足2

/a=偶数，（a为角度）都可以用镜像法求解。镜像电荷=2

/a-1，这些点电荷都在过原点电荷与两导体面的交线垂直面内，且都以此面与交线的交点为中心，交点到原点电荷的距离为半径。

位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。(求电容）

l

l–l

例：求单导线的对地电容。一根极长的单导线与地面平行，导线的半径为a，离地高度为h，求单位长度单导线的对地电容。

介质

接地

qrP

介质q

rP

hh

介质

单位长度单导线对地的电容：因为接地，Phi（0）=0，因此只需求Phi(m）单位长度单导线空间电场分布为：

介质

接地

qrP

介质q

rP

hh

介质

P点的电位：令h>>a,电荷均匀分布在导体表面，不会对另一个导体表面电荷分布产生影响。r,r’分别是原导线和镜像导线到P点的垂直距离：所以有：（2）点电荷与导体球

若导体球接地，导体球的电位为零。令镜像点电荷q

位于球心与点电荷q的连线上，那么球面上任一点电位为

为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为qfOPadrq

r

为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值对于球面上任一点均具有同一数值。

若△OPq~△

OqP

，则镜像电荷离球心的距离d应为

求得镜像电荷为qfOPadrq

r

利用球面和轴相交的点（A，B）电位相等，直接求d和q‘方法2：B点电位：A点电位：联立解二个方程得到：球面感应电荷面密度和感应电荷总量P点电位：由余弦定理得：对应的感应电荷密度为：感应电荷则对整个金属球表面积分(取y轴为极轴）：y感应电荷说明感应电荷恰好为镜像电荷q’。由于用q’代替接地导体球后，导体球外的电场、电位分布不发生任何改变，因此，紧靠导体球（但是在球外）做一个封闭面，那么，不论闭合面的是镜像前还是镜像后的变化情况，通过闭合面的总的通量都是相等的。即接地球面上的感应电荷量与镜像电荷量相等

若导体球不接地，则其电位不为零。q

的位置和量值应该如何?由q

及q

在球面边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷q

以产生一定的电位。q以保证导体球表面上总电荷量为零值。

为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷q

必须位于球心。

为了满足电荷守恒定律，第二个镜像电荷q

必须为导体球的电位?qq"q'qh求电容？无穷镜像问题分析：两个边界条件：一个是金属球为等位面，但电位不为零，而是地面为零电位面。如果仅为孤立球体，可将电荷q集中与球心来代替金属球面的分布电荷，这样就满足了原金属球面为电位面的边界条件。但是现在有了地面的影响，还应满足地面电位为零的边界条件。。。。。

l（3）线电荷与带电的导体圆柱

在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d处，平行放置一根镜像线电荷

。因此，离线电荷r

处，以为参考点的电位为

Pafdr–

lO已知无限长线电荷产生的电场强度为，

若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P点共同产生的电位为已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值与前同理，可令（3）求双圆柱导线的电容（自己计算）（3）求双圆柱导线的电容

（4）点电荷与无限大的介质平面

E

1

1

qr0E'EtEnq'

2

2

q"E"

1

2qeten=+

对于上半空间，可用镜像电荷q'

等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为

1的均匀空间。

对于下半空间，可用位于原点电荷处的q"

等效原来的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为

2

的均匀空间。

必须迫使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即

已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：五.两个接地无限大导电半平面,其夹角为90度,点电荷Q位于这个双面角的平分线上A点,求该点电荷在真空中P(a,a/2)点产生的电位。

例已知同轴线的内导体半径为a，电压为U，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。

解对于该边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。求得UbaO

选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标r

有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为利用边界条件：最后求得求得第二种求解方式：联立可以求出电位分布：根据电场求电位，然后利用边界条件，求出唯一解。

为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系是非常重要的。对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。

分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。3.直角坐标系中的分离变量法

在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为

令式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量x

求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对x

的导数为零，说明了第一项等于常数。代入上式，两边再除以，得

同理，再分别对变量y

及z

求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为，求得式中，kx，ky，kz

称为分离常数，它们可以是实数或虚数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量x

的常微分方程的通解为例两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为d

，其有限端被电位为

0

的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy

=0

=0

=

0电位满足的拉普拉斯方程变为解选取直角坐标系。槽中电位分布与z无关，这是一个二维场的问题。应用分离变量法，令为了满足及，Y(y)

的解应为槽中电位满足的边界条件为因为y=0

时，电位

=0，因此上式中常数B=0。为了满足，分离常数

ky

应为

Odxy

=0

=0

=

0求得已知，求得可见，分离常数kx为虚数，故X(x)

的解应为式中的常数C

应为零？那么式中的常数C=AD

。求得因x=0

时，电位

=

0

，得上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的线性组合（即无穷级数）作为电位方程的解。为了满足x=0，

=

0

，由上式得

即该公式右端为傅里叶级数。从数学可以证明，如果把余弦项级数也包含进去，就构成了一个完全的函数组。他表明任何一个边界条件都能用一个无穷级数之和所满足。求出系数Cn为Odxy

=0

=0

=

0求得槽中电位分布函数为

电场线等位面4.圆柱坐标系中的分离变量法在圆柱坐标系中，电位微分方程展开式为

令求得上式中只有第二项为变量

的函数，因此将上式对

求导，得知第二项对

的导数为零，可见第二项应为常数。令即式中的k

为分离常数，它可以是实数或虚数。令，m为整数，则上式的解为考虑到，以及上式，则前述方程可表示为变量

的变化范围为，因此，上式的解一定是三角函数，且常数k

一定为整数。上式第一项仅为变量r

的函数，第二项仅为变量z

的函数，因此，它们应为常数。式中的分离常数kz

可为实数或虚数，其解可为三角函数、双曲函数或指数函数。式中的C,D

为待定常数。当kz为实数时，可令令将变量z的方程代入前式，得

若令，则上式变为

上式为标准的贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数，即

式中，为m阶第一类贝塞尔函数；为m阶第二类贝塞尔函数。当r=0

时，。因此，当场区包括r=0

时，只能取第一类贝塞尔函数。

J2(x)J1(x)J3(x)J0(x)第一类贝塞尔函数xN3(x)N1(x)N0(x)N2(x)第二类贝塞尔函数x

至此，我们分别求出了R(r)

,

(

)

,Z(z)

的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。

若静电场与变量z无关，则。那么电位微分方程变为此方程的解为指数函数，即

若又与变量

无关，则m=0。那么，电位微分方程的解为

例：求均匀电场E0的空间电位分布解：要求空间任一点P的电位，可选择任一点O作为坐标原点，有均匀电场的电位不能选取无穷远处作为电位参考点，所以选择O点做为电位参考点，即：在球坐标系中，设E0沿极轴z，即：同理可求得在圆柱坐标系统中：在圆柱坐标系中，设E0沿极轴x，即：例设一根无限长的导体圆柱位于均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱。试求导体圆柱外的电场强度。

x

yaE0O

解选取圆柱坐标系。令z

轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x轴一致，即

当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z无关。x

yaE0O解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边界条件。①圆柱表面电场强度的切向分量为零。求得②无限远处的电场未受到扰动。此式表明，无限远处电位函数仅为cos

的函数。即因此为了满足②，系数，且m=1。因此电位函数应为那么，根据边界条件即可求得系数B1，D1

应为代入前式，求得圆柱外电位分布函数为

则圆柱外电场强度为

x

yaE0O圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布电场线等位面

假如导体球换成介质球，怎么去求圆柱内外的电位和电场分布？习题3-22.令代入上式，得5.球坐标系中的分离变量法

在球坐标系中，电位微分方程的展开式为其解应为令若静电场与变量

无关，则m=0

。将代入上式，得可见，上式中第一项仅为r

的函数，第二项与r无关。因此，第一项应为常数。这是欧拉方程，其通解为

为了便于进一步求解，令即,n

为整数令，则上式变为上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数与第二类连带勒让德函数之和，这里m<n

。

当n是整数时，及为有限项多项式。将上述结果代入前式，得当场区包括或

时，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。那么，电位微分方程的通解取下列线性组合

若静电场与变量

无关，则m=0，称为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为通常令例设半径为a