第05讲一次方程（组）及其应用（讲义）

第05讲一次方程（组）及其应用目录TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一等式的基本性质题型01利用等式的性质判断变形正误题型02利用等式的性质求解考点二一元一次方程题型01判断一元一次方程题型02解一元一次方程题型03一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧1巧化分母为1技巧2巧化同分母技巧3巧约分去分母【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧1巧用拆分法技巧2巧用对消法技巧3巧通分【类型三】含括号的一元一次方程技巧1利用倒数关系去括号技巧2整体合并去括号技巧3整体合并去分母技巧4由外向内去括号技巧5由内向外去括号题型04错看或错解一元一次方程问题考点三二元一次方程（组）题型01二元一次方程（组）的概念题型02解二元一次方程组题型03二元一次方程组特殊解法类型一引入参数法类型二特殊消元法方程组中两未知数系数之差的绝对值相等类型三特殊消元法方程组中两未知数系数之和的绝对值相等类型四换元法类型五同解交换法类型六主元法题型04错看或错解二元一次方程组问题题型05构造二元一次方程组求解题型06解三元一次方程组考点四一次方程（组）的应用题型01利用一元一次方程解决实际问题类型一配套问题类型二工程问题类型三增长率问题类型四销售利润问题类型五比赛积分问题类型六方案选择问题类型七数字问题类型八日历问题类型九几何问题类型十和差倍分问题类型十一行程问题题型02利用二元一次方程解决实际问题类型一配套问题类型二方案选择问题类型三年龄问题类型四几何问题类型五行程问题类型六古代问题类型七图表问题类型八工程问题考点要求新课标要求命题预测等式的基本性质理解等式的基本性质一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点.预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．一元一次方程能解一元一次方程二元一次方程（组）掌握消元法，能解二元一次方程组能解简单的三元一次方程组[选学]一次方程（组）的应用利用一次方程求解实际问题考点一等式的基本性质性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.题型01利用等式的性质判断变形正误【例1】（2022青海省中考）下列说法中，正确的是（

）A．若ac=bc，则a=b B．若a2=C．若ac=bc，则a=b【答案】C【提示】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质提示得出答案．【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；B、若a2=bC、若ac=bD、若-13x=6故选：C．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．【变式11】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（

）A．若x=y，则xz=yzC．若x2=4x，则x=4 D．若a【答案】D【提示】根据等式的性质逐一判断即可．【详解】解：A、当z=0时，由x=y不能得到xzB、当c=0时，由ac=bc不一定能得到a=b，变形错误，不符合题意；C、若x2=4x，则x=4或D、由ac=b故选D．【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立．【变式12】（2023沧州市二模）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（

）A．x＋y＝0 B．x5=【答案】C【提示】利用等式的基本性质逐一判断各选项可得答案．【详解】解：∵x=y，∴x-y=y-y=0,故A错误；∵x=y，∴x5=∵x=y，∴x-2=y-2,故C正确；∵x=y，∴x+7=y+7,故D错误；故选：C.【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质2.题型02利用等式的性质求解【例2】（2023·河北唐山·一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（

）A． B．C． D．【答案】B【提示】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y“●”的质量为m，列出等式，根据等式的性质计算判断即可．【详解】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y“●”的质量为m，根据题意，得2x=4y即x=2y，故A正确，不符合题意；∴x+m=m+2y，故C正确，不符合题意；故B不正确，符合题意；∴x+2m=2m+2y，故D正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键．【变式21】（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（）A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不为0）C．如果a-c=b-c，那么a=b（a，b，c均不为0）D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不为0）【答案】A【提示】根据等式的性质解答即可．【详解】解：观察图形，是等式a+c=b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得到a=b，即如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）．故选：A．【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．【变式22】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2【答案】B【提示】根据等式的性质2可得答案．【详解】解：I=UR去分母得IR=U，其变形的依据是等式的性质故选：B．【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．【变式23】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知20212022-20222021+x=0，则A．20222021+2021C．20222021-2021【答案】C【提示】根据等式的性质进行计算即可．【详解】解：将原式两边同时减去20212022-2022即x=2022故选：C．【点睛】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式24】（2023衡水市中考模拟）若等式m+a=n-b根据等式的性质变形得到m=n，则a、A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．无法确定【答案】C【提示】根据等式的性质，两边都加上b，然后判断即可得解．【详解】解：m+a=nb两边都加上b得，m+a+b=n，∵等式可变形为m=n，∴a+b=0，∴a=b．故选：C．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．考点二一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0）解一元一次方程的基本步骤：1.1.一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.2.一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.3.解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用．4.对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数．题型01判断一元一次方程【例1】（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可【详解】解：①不含未知数，故错②未知数的最高次数为2，故错③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对④左边不是整式，故错⑤不是等式，故错⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键【变式11】（2021·贵州·一模）已知关于x的方程k2-4xA．2 B．2 C．6 D．1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可．【详解】解：∵方程k2-4x∴k2-4=0解得：k=2，方程为4x=2+6，解得：x=1，故选：D．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．【变式12】（2023九江市一模）已知k-1xk+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为【答案】-1【分析】由一元一次方程的定义可直接进行列式求解．【详解】解：∵方程k-1xk+2=3是关于x∴k=1,k-1≠0解得：k=-1；故答案为-1．【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【变式13】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是关于x的一元一次方程，则【答案】2023【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0(a，b是常数且【详解】解：∵(k+2)x|k+1|+6=0∴k+2≠0，k+1=1解得：k=0．∴k+2023=2023，故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．题型02解一元一次方程【例2】（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】x=3．【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．【详解】解：4x﹣1＝2x+5，移项得：4x﹣2x＝5+1合并同类项得：2x=6，∴系数化1得：x=3．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根据方程的特点灵活选用合适的方法【变式21】（2023·内蒙古包头·校考一模）若4x+12的值与x-7互为相反数，则xA．1 B．1310 C．3 D．【答案】A【分析】根据互为相反数的两数之和为0，列出方程进行求解即可．【详解】解：由题意，得：4x+解得：x=1；故选A．【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．【变式22】（2023·河北秦皇岛·一模）如果单项式-xyb与12xay3A．x=13 B．x=-13 C．【答案】B【分析】根据同类项的定义得出，a=1，b=3，代入方程bx+a=0，解得即可．【详解】∵单项式-xyb与∴a=1，b=3，∴方程为3x+1=0，解得x=-1故选：B．【点睛】本题考查同类项和解一元一次方程，所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，解题的关键是熟知同类项的定义．【变式23】（2019·山东济南·中考真题）代数式2x-13与代数式3-2x的和为4，则x=【答案】﹣1.【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【详解】根据题意得：2x-13去分母得：2x-1+9-6x=12，移项合并得：-4x=4，解得：x=-1，故答案为﹣1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式24】（2023扬州市三模）规定一种新的运算：a*b=2-a-b，求2x-13*1+x2【答案】x=【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【详解】解：根据题中的新定义化简得：2-2x-1去分母得：12-22x-1去括号得：12-4x+2-3-3x=6，移项合并得：-7x=-5，解得：x=5故答案为：x=5【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式25】（2023·四川成都·二模）若实数a，b，c满足a2=b3=c【答案】2【分析】先根据等式的性质得：a=2k，b=3k，c=4k，再代入到等式a+2b+3c=40中，得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可．【详解】解：由a2=b3=c4代入到等式a+2b+3c=40中，得：2k+6k+12k=40，解得：k=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等式的基本性质、代入消元法及一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键．【变式26】（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为．【答案】2【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4∵f=4∵对角线上6+c+f=15∴6+4+c=15，得到c=5∵c=5另外一条对角线上8+c+a=15∴8+5+a=15，得到a=2故答案为：2．【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键．题型03一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧1巧化分母为1【例3】解方程：0.6x+0.5【详解】解：0.6x+0.56x+536x+518x+15-3x-20=2x-1818x-3x-2x=-18-15+2013x=-13x=-1．【变式31】解方程：0.3x【详解】解：原方程可化为3x去分母，得3(3x去括号，得9x移项，得9x合并同类项，得13x系数化为1，得x=3【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．技巧2巧化同分母【例4】解方程：x0.6【详解】解：x化为同分母，得，0.1x去分母，得0.1x-0.16+0.5x=0.06．解得x=11技巧3巧约分去分母【例5】解方程：x-4【详解】解：解：x-410x-40550x-200-100=200x-60050x-200x=-600+200+100-150x=-300x=2．【变式51】解方程：0.3x-1【详解】解：0.3x-10.02整理，得(15x-50)-(0.8x-16)=1，去括号，得15x-50-0.8x+16=1，移项、合并同类项，得14.2x=35，系数化为1，得x=175【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧1巧用拆分法【例6】解方程：3x-1【详解】解：3x-1将原式拆分为：3x414解得x=11．【变式61】解方程：x-12【答案】x=4【详解】解：x-1将原式拆分为：x212x3+解得x=4．【变式62】解方程：x2【详解】解：拆项，得x-x整理得：x-x解得：x=5【变式63】解方程：x2解：x2x1×2(1-1x-1x-120082009x=2009．技巧2巧用对消法【例7】解方程：x3技巧3巧通分【例8】解方程：x+37【详解】解：方程两边分别通分后相加，得5(x+3)-7(x+2)35化简，得-2x+135解得x=-362【类型三】含括号的一元一次方程技巧1利用倒数关系去括号【例9】解方程：6解：62x+1+6-1=4x2x-4x=-6-2x=-6x=3．【变式91】解方程：解方程3【详解】解：3去括号得：14x﹣1﹣3﹣x移项，合并同类项得：﹣34x系数化为1得：x＝﹣8．技巧2整体合并去括号【例10】解方程：x-1【详解】解：x-x-移项，合并同类项得：23解得：x=0；【变式101】解方程：x-1【详解】解：去括号，得：x-1移项，得：x-合并同类项，得：12系数化为1，得：x=2．技巧3整体合并去分母【例11】解方程：13【详解】解：移项，得1合并同类项，得x-5=3系数化为1，得：x=8．【变式111】解方程：14【详解】解：移项，得1合并同类项，得x-2=8系数化为1，得：x=10．技巧4由外向内去括号【例12】解方程：解方程：13【详解】解：1去中括号，得，1去小括号，得，1移项，得，1系数化为1，得x=3．技巧5由内向外去括号【例13】解方程：24【详解】解：2去小括号，得2去中括号，得4移项，合并同类项，得7系数化为1，得x=-12【变式131】解方程：41【详解】解：去括号得：4去括号得：2x-3x+3=移项得：2x-3x-合并同类项得：-4解得：x=1．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟记解一元一次方程的步骤，能正确的去括号，移项是解题的关键．题型04错看或错解一元一次方程问题【例14】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程x+12解：方程两边同乘6，得3x+1去括号，得3x+3-1=2x-2②移项，得3x-2x=-2-3+1③合并同类项，得x=-4④以上解题步骤中，开始出错的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【详解】解：方程两边同乘6，得3x+1∴开始出错的一步是①，故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．【变式141】（2023·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程x-x-33解：两边同乘以3，得3x-x-3=3，移项，合并同类项，得2x=6，两边同除以2，得x=3，圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【答案】圆圆的解答过程有错误，方程的解为x=0．【分析】由去分母后没有及时添加括号；可得圆圆的解答过程有错误，再去分母正确的解方程即可．【详解】解：圆圆的解答过程有错误，去分母后没有及时添加括号；正解：x-两边同乘以3，得3x-x-3∴3x-x+3=3，移项，合并同类项，得2x=0，两边同除以2，得x=0．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，熟练的掌握一元一次方程的解法与步骤是解本题的关键．【变式142】（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．解方程：2x+1解：去分母，得22x+1-去括号，得4x+2-5x+1=1……第二步移项，得4x-5x=1-1-2……第三步合并同类项，得-x=-2，……第四步方程两边同除以－1，得x=2．……第五步(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．A．等式的基本性质

B．不等式的基本性质

C．分式的基本性质

D．乘法分配律(2)从第_________步开始出现错误；(3)该方程正确的解为____________【答案】(1)A(2)一(3)x=-3【分析】（1）根据移项的变形依据回答即可；（2）根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；（3）写出正确的解题过程，即可得到答案．【详解】（1）解：移项的依据是等式的基本性质，故选：A（2）从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6，故答案为：一（3）2x+1解：去分母，得22x+1-去括号，得4x+2-5x+1=6……第二步移项，得4x-5x=6-1-2……第三步合并同类项，得-x=3，……第四步方程两边同除以－1，得x=-3．……第五步故答案为：x=-3【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式143】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：-6×(1)如果被污染的数字是12，请计算-6(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．【答案】(1)9(2)3【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）设被污染的数字为x，由题意，得-6×【详解】（1）解：-6×23（2）设被污染的数字为x，由题意，得-6×23所以被污染的数字是3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．【变式144】在做解方程练习时，有一个方程“y-15=2y+■”，题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”【答案】“■”这个有理数为-65，方程的解为：y【分析】利用“该方程的解与当x＝2时整式5（x−1）−2（x−2）−4的值相同”求出方程的解；再将方程的解代入y-15=2y+■【详解】解：当x＝2时，整式5（x−1）−2（x−2）−4＝5×（2−1）−2×（2−2）−4＝1．∵方程的解与当x＝2时整式5（x−1）−2（x−2）−4的值相同，∴方程的解为：y＝1．当y＝1时，y-15=2∴1-1解得：■＝-6答：“■”这个有理数为-65，方程的解为：y＝【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，求代数式的值．利用方程的解的意义，将方程的解去替换未知数的值是解题的关键．考点三二元一次方程（组）1.二元一次方程有无数个解1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．题型01二元一次方程（组）的概念【例1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【答案】D【提示】将选项中的x,y的值分别代入方程的左边，进而即可求解．【详解】解：A、当x=1y=2时，2x+y=4，则x=1y=2是二元一次方程2x+y=4B、当x=2y=0时，2x+y=4，则x=2y=0是二元一次方程2x+y=4的解C、当x=0.5y=3时，2x+y=4，则x=0.5y=3是二元一次方程D、当x=-2y=4时，2x+y=0，则x=-2y=4不是二元一次方程故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．【变式11】（2023·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组x+y=23x-5y=4的解为x=ay=b，则a-b=【答案】3【提示】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a-b的值．【详解】解：将x=ay=b代入方程组x+y=2得：a+b=2    ①+②得：∴a-b=6故答案为：32【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值．【变式12】（2023蚌埠市二模）若方程7xm+m+1y=6是关于x，y【答案】1【提示】根据二元一次方程的定义求解，只需要令x，y的次数为1，并且系数不为零，即可求出m的值．【详解】∵7xm+m+1y=6∴可列式得m=1解得m=1．故答案为1．【点睛】此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是根据其定义列式求解．题型02解二元一次方程组【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组3x+y=8【答案】x=3【提示】方程组运用加减消元法求解即可．【详解】解：3x+y=8①①+②得5x=15，解得x=3，将x=3代入①得3×3+y=8，解得y=-1．∴原方程组的解为x=3,【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．【变式21】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：x-2y=3【答案】x=5【提示】整理方程组得x-2y=3①【详解】解：整理方程组得x-2y=3①2x+3y=13②①×2-②得-7y=-7，y=1把y=1代入①得x-2=3，解得x=5，

∴方程组的解为x=5y=1【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．解二元一次方程组的方法选择：1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者1时，选用代入消元法；2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．题型03二元一次方程组特殊解法类型一引入参数法解题技巧：当方程组中出现x/a=y/b的形式时，常考虑先用参数分别表示出x，y的值，然后将x，y的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解.【例3】用代入法解方程组：x5【答案】x=5y=-6【提示】采用先换元，再代入即可作答．【详解】解：由①，得x5设x5=-y6=k将x=5k，y=-6k代入方程②，得35k+6k解这个方程得k=1，即x=5，y=-6，所以原方程组的解是x=5【点睛】本题考查了利用换元法和代入法解二元一次方程组的知识，掌握换元法，准确换元，是解答本题的关键．【变式31】用代入法解方程组：x【详解】解：由①，得x3设x3=-y4=k将x=3k，y=-4k代入方程②，得23k-4k解这个方程得k=2，即x=6，y=-8，所以原方程组的解是x=6类型二特殊消元法方程组中两未知数系数之差的绝对值相等解题技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便.【例4】解方程组：2015x+2016y=2017①【答案】x=-1【提示】根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法即可求解.【详解】解：②-①，得x+y=1③，由③，得x=1-y④，把④代入方程①，得2015(1-y)+2016y=2017，解这个方程，得y=2，把y=2代入方程③，得x=-1，所以原方程组的解为x=-1y=2【点睛】本题主要考查数值较大的二元一次方程组的解法，找出方程组中对应数值的关系是解题的关键．【变式41】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．解方程：19x+18y=17解：①②，2x+2y=2即x+y=1③③×16，得16x-16y=16④②④，得x=把x=-1，代入③，得-1+y=1所以原方程组的解为：x=-1(1)请仿照上面的方法解方程组：2022x+2021y=20202020x+2019y=2018(2)请猜想关于x，y的方程组(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b的解，并利用方程组的解加以【答案】(1)x=-1(2)x=-1y=2【提示】（1）仿照题干的方法求解即可；（2）根据题干和（1）中的结果直接猜测即可．【详解】（1）2022x+2021y=2020①由①-②，得2x+2y=2，即x+y=1③，③×2019，得2019x+2019y=2019④，②-④得x=把代入③，得-1+y=1，∴y=2，∴原方程组的解是x=-1y=2（2）根据题干和（1）的结果，猜测方程组a+2x+a+1y=a验证：将x=-1y=2代入方程(a+2)x+(a+1)y=a左边=a+(-2)+2a+2=a，所以左边=右边．将x=-1y=2代入方程(b+2)x+(b+1)y=b同理可得左边=右边，∴此方程组的解是x=-1y=2【点睛】本题考查了解二元一次方程组：利用代入法或加减消元法把二元一次方程转化为一元一次方程求解，理解题干的方法是解题的关键．类型三特殊消元法方程组中两未知数系数之和的绝对值相等解题技巧：当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=a;当两式相减时，x和y的系数互为相反数，化简即可得到x+y=b.由此达到化简方程组的目的.【例5】解方程组：13x+14y=40①14x+13y=41②【详解】解：②+①，化简得x+y=3③，由③，得x=3-y④，把④代入方程①，得13(3-y)+14y=40，解这个方程，得y=1，把y=1代入方程③，得x=2，所以原方程组的解为x=2y=1【点睛】本题主要考查数值较大的二元一次方程组的解法，找出方程组中对应数值的关系是解题的关键．【变式51】感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值．思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．如①②可得x-4y=-2①+②×2可得7x+5y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．体会思想：(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x-y=______，x+y=______(2)解方程组：x+y=5(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？【答案】(1)1，5(2)x=2(3)30元【提示】（1）把两个方程相加可求x+y=5，相减可求x-y=-1；（2）把3个方程相加得x+y+z=6，分别减三个方程可求解；（3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可．【详解】（1）解：2x+y=7①+②得3x+3y=15，解得x+y=5，①②得x-y=-1，故答案为：1，5．（2）解：x+y=5①x+z=3②①+②+③得，2x+2y+2z=12，即x+y+z=6④，④①得，z=1，④②得，y=3，④③得，x=2，方程组的解为x=2z=1（3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,根据题意列方程组得，20a+3b+2c=32①①×2②得，a+b+c=6，则5a+5b+5c=30；答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解．类型四换元法【例6】解方程组：1x【答案】x=1y=-0.5【提示】设1x=a，【详解】解：设1x=a，则原方程组化为：a+b=3①3a-b=1②①+②得：4a=4，解得：a=1，把a=1代入①得：1+b=3，解得：b=2，即1x=11经检验x=1y=-0.5所以原方程组的解是x=1y=-0.5【点睛】本题考查了换元法解方程组，解题关键是抓住方程组的特征，巧妙换元，熟练的解二元一次方程组和分式方程，注意：分式方程要检验．【变式61】阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m+5-2n解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，解得：x=1y=2．∴m+5=1n(1)若方程组2x-3y=45x-3(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x【答案】(1)a(2)x【提示】（1）根据题意所给材料可得出a+（2）根据题意所给材料可令m=x+y，n=x-y，则原方程组可化为3m-解得：m=2815n【详解】（1）∵方程组2x-3y∴a+解得：a=-（2）对于3x+y则原方程组可化为3m-解得：m=∴x+解得：x=【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．【变式62】数学方法：解方程组：32x+y-2x-2y=2622x+y+3x-2y=13，若设2x+y=m，x-2y=n(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=-2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n(2)知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b求关于x，y的方程组2a【答案】(1)m=1(2)x=4(3)x=10【提示】（1）设m+n=x，m-n=y，即可得m+n=-2m-n=4（2）设x+y2=m，x-y3（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=【详解】（1）设m+n=x，m-n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=-2∴m+n=-2m-n=4解得m=1n=-3故答案为：m=1n=-3（2）设x+y2=m，x-y3解得m=4n=0即有x+y2解得x=4y=4即：方程组的解为x=4y=4（3）设2x5=m，3y5化简，得a1∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b∴m=4n=-3，即有2x解得：x=10y=-5故方程组的解为：x=10y=-5【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．类型五同解交换法解题技巧：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b的二元一次方程组,进而确定a、b的值.【例7】（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x【答案】（1）-43；12（2【提示】（1）关于x，y的方程组ax+23y=-103x+y=4x-y=2的解，可求出方程组的解，进而确定a、b（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26【详解】解：由题意列方程组：x+y=4x-y=2解得将x=3，y=1分别代入ax+23y=-10解得a=-43，∴a=-43，（2）x解得x=这个三角形是等腰直角三角形理由如下：∵(2∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．【变式71】若关于x，y的二元一次方程组2x+5y=-26ax-by=-4，和3x-5y=36(1)求这两个方程组的解；(2)求代数式2a+b2022【答案】(1)x=2(2)1【提示】根据题意可得2x+5y=-26①（2）把x=2y=-6代入ax-by=-4和bx+ay=-8，可得关于a，b【详解】（1）解：根据题意得：2x+5y=-26①由①+②得：5x=10，解得：x=2，把x=2代入②得：3×2-5y=36，解得：y=-6，∴这两个方程组的解为x=2y=-6（2）把x=2y=-6代入ax-by=-4和bx+ay=-82b-6a=-82a+6b=-4，解得：a=1∴2a+b2022【点睛】本题主要考查了同解方程组，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．类型六主元法解题技巧：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数.【例8】已知4x-3y-3z=0x-3y-z=0（x，y，z均不为0），求xy+2yz【答案】6【分析】本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数．【详解】解：将原方程组变形，得4x-3z=3y,解得x=-6y,所以xy+2yz【点睛】本题不是考查学生直接解方程的能力，而是让学生理清三个未知数之间的关系，所以未知数之间的转换就是关键【变式81】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z=【答案】-【提示】由②-①得：x+3y=2017，x=2017-3y，由②×3-①×4【详解】解：3x+7y+z=1①由②-①得：∴x=2017-3y，由②×3-①×4∴z=2y-6050，∴x+y+z=2017-3y+y+2y-6050=-4033，∴x+3y2017x+2017y+2017z故答案为：-【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到x=2017-3y，z=2y-6050是解题的关键．题型04错看或错解二元一次方程组问题【例9】在解方程组ax+5y=104x-by=-4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为x=-3y=-1，乙看错了方程组中的b，得到的解为x=5y=4A．x=-2y=8 B．x=15y=8 C．x=-2y=6【答案】B【提示】把甲得到的解带入第二个方程，把乙得到的解带入第一个方程，然后求解得a，b，再对{-2x+5y=104x-8y=-4【详解】把甲得到的解带入第二个方程，得b=8；把乙得到的解带入第一个方程，得a=-2；则得到方程{-2x+5y=104x-8y=-4，解得{【点睛】本题考查二元一次方程的解法，解题的关键是把甲得到的解带入第二个方程，把乙得到的解带入第一个方程.解“看错系数”问题的方法看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组.【变式91】（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：x-2y=1第一步：由①得，x=2y+1③；第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5第三步：解得y=第四步：将y=1代入③，解得x=7第五步：所以原方程组的解为x=任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．任务三：请写出方程组正确的解答过程．【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析．【提示】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案．【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元；但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；正确的解答过程：由①得x=2y+1③将③代入②得2(2y+1)+2y=5解得y=12，代入③∴原方程组的解为：x=2【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键．【变式92】（2021·浙江嘉兴·二模）解方程组：3x-2y=6①x+y=5小海同学的解题过程如下：解：由②，得y=5+x③……（1）把③代入①，得：3x-2x+5=6……（2）解得：x=-1……（3）把x=-1代入③，得y=4……（4）∴此方程组的解为x=-1y=4……（5判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为x=16【提示】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．【详解】解：错误的是（1），（2），（3），正确的解答过程：由②得：y＝5﹣x③把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，解得：x=16把x=165代入③得：∴此方程组的解为x=16【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．题型05构造二元一次方程组求解【例10】（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y-52+x+2y+4=0，则【答案】9【提示】根据非负数之和为0，每一项都为0，分别算出x，y的值，即可【详解】∵2x+y-5x+2y+42x+y-5∴2x+y-5=0解得：x=x-y=故答案为：9【点睛】本题考查非负数之和为零，解二元一次方程组；根据非负数之和为零，每一项都为0，算出x，y的值是解题关键【变式101】（2019·江苏宿迁·中考真题）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为．【答案】10【提示】设“△”的质量为x，“□”的质量为y，由题意列出方程：{x+y=6x+2y=8，解得：{x=4【详解】解：设“△”的质量为x，“□”的质量为y，由题意得：{x+y=6解得：{x=4∴第三个天平右盘中砝码的质量=2x+y=2×4+2=10；故答案为10．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键．【变式102】（2022·湖南长沙·校考一模）如果单项式-3ax-2yb2与14【答案】5【提示】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组，求出x，y的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：根据题意得：x-2y=32x+y=2解得：x=7∴3x-y=3×7故答案为：5．【点睛】本题主要考查了同类项的定义和解二元一次方程组，根据同类项的定义列出关于x、y方程组，是解题的关键．【变式103】请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b=ax+by．例如：(1)如果x=-5，2◎4=-18，求(2)1◎1=8，4◎2=20，求【答案】(1)y=-2(2)x=2【提示】（1）根据题意，得出方程组，解答即可；（2）根据题意，得出方程组，解答即可．【详解】（1）解：根据题意，得2x+4y=-18，把x=-5代入，得-10+4y=-18，解得y=-2；（2）解∶根据题意，得x+y=84x+2y=20解得x=2y=6【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．理解新定义是解题的关键．题型06解三元一次方程组【例11】（2023·上海长宁·二模）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A（A．2 B．3 C．4 D．t【答案】A【提示】把点A（【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0∴4a+2b+c=t9a+3b+c=t16a+4b+c=2，解得，∴a+b+c=1-1故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的方法是解题的关键．【变式111】已知方程组x+2y=k2x+y=1的解满足x＋y＝3，则k的值为()A．10 B．8 C．2 D．－8【答案】B【详解】试题解析：由题意可得x+2y＝2×①②得y=23k1②③得x=2，代入③得y=5，则23k13解得k=8．故选B.【变式112】（2022·四川眉山·校考一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，bcb+c【答案】6【提示】先将每个等式求倒数，然后组成方程组1a+11a+1b+【详解】解：∵aba+b=23，∴1a+1b=∴1a(①+②+③)÷2得：1a④①得1c=116④②1b=116④③1a=116∴a＋b＋c=1+2+3=6．【点睛】本题考查解分式方程，求代数式的值，掌握倒数法解方程组是解题关键．考点四一次方程（组）的应用用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.与一次方程（组）有关应用题的常见类型：题型01利用一元一次方程解决实际问题类型一配套问题【例1】（2022滨州市二模）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800xC．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x【答案】C【提示】此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数，据此设未知数列出方程即可．【详解】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26x）人生产螺母，由题意得1000（26x）=2×800x，故C答案正确故选C【变式11】（2023哈尔滨市三模）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其它工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（

）A．22x=64(27-x) B．64x=22(27-x)C．2×22x=64(27-x) D．2×64x=22(27-x)【答案】C【提示】设分配x名工人生产螺栓，则分配（27-x）名工人生产螺母，根据生产螺母数是生产螺栓数量的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配（27-x）名工人生产螺母，依题意，得：2×22x=64（27-x）．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式12】（2023西安尊德中学二模）制作一张方桌要用1个桌面和4条桌腿，若1m3木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求应安排多少木材用来制作桌面．【答案】应安排10m3木材用来生产桌面．【提示】设应安排xm3木材用来生产桌面，则应安排12-xm3木材用来生产桌腿．“1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”求出桌面数与桌腿数．根据一张桌子要用一个桌面和4条桌腿配套，利用桌面数×4=桌腿数建立方程求出其解即可．【详解】解：设用xm3木材制作桌面，则用12-xm3木材制作桌腿，根据题意得4×20x=40012-x整理得：480x=4800，解得：x=10．答：应安排10m3木材用来生产桌面．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据“1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”求出桌面总数与桌腿总数，掌握利用桌面数×4=桌腿数建立方程是解题的关键．类型二工程问题【例2】（2022·辽宁阜新·一模）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（

）A．x+1020+1025=1 B．1025【答案】C【提示】设甲、乙一共用x天完成，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设甲、乙一共用x天完成，根据题意得：x-1025故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式21】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做10个就可以超额完成3个，若每小时做11个就可以提前1h完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有x个，则根据题意得到的正确方程是（

）A．x10-3=xC．x10+3【答案】D【提示】根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，设这批零件一共有x个，则每小时做10个就可以超额完成3个，工作总量为：x+3，工作时间为：x+310，再根据每小时做11个就可以提前1h【详解】设这批零件一共有x个，∴x+310∴x10故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程．【变式22】（2023·安徽合肥·二模）整理一批图书，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用2h整理，随后又增加5人和他们一起又做了3h【答案】8【提示】安排整理的人员有x人，则随后有(x+5)人，根据题意可得等量关系：开始x人2小时的工作量+后来(x+5)人3小时的工作量=1，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设先安排整理的人员是x人．由题意得：1解得：x=3x+5=8答：一共安排整理的人员有8人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．类型三增长率问题【例3】（2022·安徽合肥·模拟预测）一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是（

）A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元【答案】C【提示】设原来的价格为x元，根据题意，得（1+20%）×x×(110%)=2160，解一元一次方程即可．【详解】设原来的价格为x元，根据题意，得（1+20%）×x×(110%)=2160，解得x=2000，故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式31】（2023蚌埠高新区模拟）受季节影响，某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是100元，那么该商品每件的原售价可表示为（

）A．921-a% B．1081-a% C．【答案】B【提示】设该商品每件的原售价为x元．然后根据“某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是100元”列方程求解即可．【详解】解：设该商品每件的原售价为x元．由题意可得：x1-a%-8=100，解得：答：该商品每件原售价可表示为1081-a故选B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，舍出未知数、找准等量关系、列出一元一次方程是解答本题的关键．类型四销售利润问题【例4】（2023宁波市一模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（

）A．120元 B．100元 C．80元 D．60元【答案】C【详解】解：设该商品的进价为x元/件，依题意得：（x+20）÷510=200解得：x=80．∴该商品的进价为80元/件．故选：C．【变式41】（2023巴东县模拟）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（）A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元【答案】C【详解】提示：设两件衣服的进价分别为x、y元，根据利润=销售收入进价，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再用240两件衣服的进价后即可找出结论．详解：设两件衣服的进价分别为x、y元，根据题意得：120x=20%x，y120=20%y，解得：x=100，y=150，∴120+120100150=10（元）．故选C．点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式42】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）某种商品进价为200元，标价为300元．现打折销售，要使利润率为5%【答案】需打7折【提示】设需要打x折，根据利润率为5%【详解】解：设需要打x折，由题意，得：300×x解得：x=7；∴需打7折．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．类型五比赛积分问题【例5】（2023·湖南长沙·长沙麓山国际实验学校校考模拟预测）全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）可以进入下一轮比赛．如表是某次小组赛的积分表：排名球队积分1甲62乙43丙44丁如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【提示】提示比赛规则可知：胜一场两队共积3分，平一场两队共积2分，设丁队的积分是x分，根据本小组比赛中只有一场战平及甲、乙、丙三队的积分，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论．【详解】解：设丁队的积分是x分，根据题意得：6+4+4+x=3×1解得：x=3，∴丁队的积分是3分．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式51】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）在全国足球甲级A组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【提示】设该队胜的场数是x，根据“某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分”列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设该队胜的场数是x，则3x+解得x=6，即该队胜的场数是6，故选：C【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．【变式52】（2022·陕西西安·西安市西光中学校考二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．【答案】7场【提示】设该队获胜x场，则平11-x场，利用总得分=3×获胜场次数+1×打平场次数，即可得出一元一次方程，解方程即可求得答案．【详解】设该队获胜x场，则平11-x场，依题意得：3x+11-x=25，解得：答：该队获胜7场．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．类型六方案选择问题【例6】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同，A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按6折票价优惠．请问当家庭的人数是多少时，两家旅行社的费用相同？【答案】5【提示】设家庭的人数是x人，A旅行社的费用为90+45x-1元，B旅行社的费用为90x×0.6元，根据“两家旅行社的费用相同”，可建立关于x【详解】解：设家庭的人数是x人时，两家旅行社的费用相同，依题意，得：90+45x-1解得：x=5．答：当家庭的人数是5人时，两家旅行社的费用相同．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找到等量关系是解题的关键．【变式61】（2023怀远县二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：起步价/元限定里程/km超限定里程（元/km）甲108803乙1801002租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费，租用乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费，设里程为x千米．（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用；（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？【答案】（1）租用甲种型号货车费用为（3x132）元，租用乙种型号货车费用为：（2x20）元；（2）112km【提示】（1）行驶里程x>100，根据甲车80km内，付起步价108元，超过80km的部分按3元/km，列出代数式；再根据乙车100km内，付起步价180元，超过100km的部分按2元/km，列出代数式即可（2）当x≤80km时，甲车租金108元，乙车租金180元，不相等；当80km<x≤100km时，结合题意列方程，解方程即可；当x>100km时，结合（1）所列的代数式，列出方程，解方程即可【详解】（1）根据题意可得：x>100∴租用甲种型号货车费用为：108+3×x-80∴租用乙种型号货车费用为：180+2×x-100（2）当x≤80km时，甲货车租金108元，乙货车租金180元，不相等；当80km<x≤100km时，则有108+3x-80解得x=104因为104>100，舍去，当x>100km时，则有3x-132=2x-20，解得x=112所以当里程为112km时，租用两种型号的车费用相等【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识，读懂题意正确列出代数式，再结合题意找出等量关系列出一元一次方程是解题关键．类型七数字问题【例7】（2023·山东滨州·一模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn=（A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【提示】根据三阶幻方中的数字列方程求解即可．【详解】解：由题意知，-4+2=n+(-2)，解得n=0，-4+m=n+2，即-4+m=2，解得m=6，∴m故选：A．【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识以及零指数幂，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．【变式71】（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）一个两位数的个位数字与十位数字都是x，如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数大12，则可列的方程是（

）A．2x+3=12B．10x+2+3=12C．(10x+x)-10(x+1)-(x+2)=12D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12【答案】D【提示】根据题意分别表示出原来的两位数和新的两位数，再根据所得的新数比原数大12得出方程．【详解】解：由题意得：原来的两位数可表示为10x+x，新的两位数可表示为10x+1则可列的方程是10x+1故选：D．类型八日历问题【例8】（2023增城区一模）在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是()A．4 B．33 C．51 D．27【答案】A【提示】因为挂历上同一列的数都相对于前一个数相差7，所以设第一个数为x，则第二个数、第三个数分别为x+7、x+14，求出三数之和，发现其和为3的倍数，对照四选项即可求解．【详解】设圈出的第一个数为x，则第二数为x+7，第三个数为x+14，∴三个数的和为：x+（x+7）+（x+14）=3（x+7）∴三个数的和为3的倍数由四个选项可知只有A不是3的倍数，故选A．【点睛】本题考查的知识点是列代数式，解题关键是找出三数的关系，然后根据三数之和与选项对照求解．【变式81】将连续的偶数2，4，6，8，…排成下图所示，若将十字框上下左右移动，可框住五个数，这五个数的和可能等于（

）A．123 B．115 C．240 D．400【答案】C【提示】设十字框最中间的数为x，表示出其余数字，根据之和为选项中的数字求出x的值，x的值符合题意即可．【详解】设十字框最中间的数为x，其他数为x10，x+10，x2，x+2根据题意得：x10+x+10+x2+x+2+x=5xA．当5x=123时，x，不符合题意；B．当5x=115时，x=23，不符合题意；C．当5x=240时，x=48，由于48位于第四列，第五行，故240正确，符合题意；D．当5x=400时，x=80，由于80位于第五列，第八行，故400不正确，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．【变式82】（2023·河北廊坊·校考三模）2023年4月的日历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为36，这三个数在日历中的排布不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【提示】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解，然后判断即可．【详解】解：A．设最小的数是x．x+x+1+x+2=36，x=11．故本选项不符合题意．B．设最小的数是x．x+x+6+x+8=36，x=22C．设最小的数是x．x+x+8+x+16=36，x=4，故本选项不符合题意．D．设最小的数是x．x+x+7+x+8=36，x=7，本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用．解题的关键在于掌握日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．类型九几何问题【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a、b互为相反数，若AB=8，则点A表示的数为（

）A．8 B．4 C．0 D．-4【答案】D【提示】由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数【详解】解：∵A，B两点对应的数互为相反数，∴设A表示的数为a，则B表示的数为-a，∵AB=8∴-a-a=8，解得：a=-4，∴点A表示的数为-4，故选：D．【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程-a-a=8．【变式91】（2023·广西南宁·一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为30cm，宽为18cm，AD=2AB，则该纸盒的容积为（A．960cm3 B．800cm3 C．【答案】D【提示】设AB=xcm，则AD=2xcm，列出关于【详解】解：设AB=xcm，则AD=2x2x+x=18，解得：x=6，所以AB=6cm则长方体的底面宽为：12所以该纸盒的容积为：12×9×6故选：D【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体及一元一次方程应用，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题．【变式92】如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是【答案】20【提示】设长方形硬纸板的宽为xcm，根据纸盒的体积是1500cm3【详解】解：设长方形硬纸板的宽为xcm得40-10×解得：x=20；答：长方形硬纸板的宽为20cm【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．类型十和差倍分问题【例10】（2020·湖南张家界·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（

）A．x+23=x2-9 B．x3【答案】B【提示】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：x3每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：x-92∴列出方程为：x3故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式101】（2022·江苏苏州·一模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（

）A．6x+14=8x B．6x+14=8x C．8x+14=6x D【答案】A【提示】设牧童有x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”列一元一次方程即可求解．【详解】解：设牧童有x人，根据题意得，6x+14=8x，故选A．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．【变式102】（2022·江苏宿迁·二模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（

）A．7x+4=9x-8 B．7x-4=9x+8 C．x+47=x-8【答案】D【提示】设共有银子x两，根据分银子的人