2023-2024学年四川省泸州高中附属学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省泸州高中附属学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝0或x＝﹣1 D．x＝0或x＝12．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B． C． D．3．抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝24．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2＝11 B．（x﹣2）2＝11 C．（x+4）2＝23 D．（x﹣4）2＝235．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2﹣3，下列叙述正确的是（）A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．17．设x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣18．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞59．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A、B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3 C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜111．如图，已知双曲线y＝（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．412．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）满足条件：（1）4a﹣b＝0；（2）a﹣b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2，以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③a+b+c＜0；④，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是．14．如图，若点A在反比例函数的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为4，k＝．15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加m．16．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值是7，则该二次函数的最小值是．三.解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：．18．（6分）解方程：3x2+6x﹣4＝0．19．（6分）先化简，再求值：，其中．四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）20．（7分）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，AE＝CF．求证：BF∥DE．21．（7分）学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图（2）．请根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）本次随机调查的学生人数是，图（1）中m的值是；（Ⅱ）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数；（Ⅲ）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10天的学生人数．五.解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）22．（8分）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值．23．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）求出y与x的函数关系式；（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？六.解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）24．（12分）如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点C，使△ABC的周长最小，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．25．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．请你求出四边形ABEC面积最大时，点E的坐标；（3）若点M是x轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年四川省泸州高中附属学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．解：方程x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x＝0或x＝1．故选：D．2．解：A、y＝4x是一次函数，不符合题意；B、y＝是一次函数，不符合题意；C、y＝不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，不符合题意；D、y＝是反比例函数，符合题意．故选：D．3．解：抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是直线x＝﹣2，故选：C．4．解：x2﹣4x＝7，x2﹣4x+4＝11，所以（x﹣2）2＝11．故选：B．5．解：将抛物线y＝x2向下平移3个单位得到抛物线y＝x2﹣3，故选：D．6．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故选：A．7．解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，则原式＝＝＝﹣5．故选：B．8．解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5，故选：D．9．解：在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项A错误；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项B错误；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项C错误；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D正确；故选：D．10．解：由图象可知，当x＜0或1＜x＜3时，y1＜y2．故选：B．11．解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y＝经过点D，∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴△BOC的面积＝|k|＝3．又∵△AOB的面积＝×6×4＝12，∴△AOC的面积＝△AOB的面积﹣△BOC的面积＝12﹣3＝9．故选：B．12．解：∵4a﹣b＝0，即b＝4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，∵抛物线与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2，∴抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）与（﹣2，0）之间，另一个交点在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间，而a﹣b+c＞0，∴抛物线的开口向上，∴a＞0，所以①错误；∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，所以②正确；∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，所以③错误；∵b＝4a，4a﹣2b+c＜0，a﹣b+c＞0，∴4a﹣8a+c＞0，a﹣4a+c＞0，∴＜a＜，所以④正确．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，解得：a≠1，故答案为：a≠1．14．解：因为△AOM的面积是3，所以|k|＝2×3＝8．又因为图象在二，四象限，k＜0，所以k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），得：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，故答案为：（2﹣4）．16．解：∵y＝ax2﹣4ax+a，∴对称轴为直线x＝﹣＝2，抛物线开口向上，∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，当x＝﹣1时，y＝7，∴7＝（﹣1）2×a﹣4a×（﹣1）+a，解得：a＝，∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为×4﹣4××2+＝﹣．故答案为：﹣．三.解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）17．解：原式＝﹣1+1﹣（2﹣）+3＝0﹣2++3＝+1．18．解：a＝3，b＝6，c＝﹣4，∴b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣4）＝84，x＝＝，∴x1＝，x2＝．19．解：＝•＝﹣，当a＝2时，原式＝﹣＝﹣．四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）20．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∵AE＝CF，∴DF＝EB，DF∥EB，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF．21．解：（Ⅰ）本次随机调查的学生人数是4+12+10+8+6＝40，m%＝×100%＝20%．故答案为：40，20；（Ⅱ）观察条形统计图，∵在这组数据中，10出现了12次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为10．∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是11，有，∴这组数据的中位数为11．∵，∴这组数据的平均数是11．（Ⅲ）∵在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于10天的学生人数占60%，∴估计该校480名学生中，参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约占60%，有480×60%＝288．∴参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约为288．五.解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）22．解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下：（x+2）（x+7）＝0，解得x1＝﹣7，x2＝﹣2，∵3＜＜4，∴方程为“限根方程”；（2）由根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵x1+x2+x1x2＝﹣1，∴﹣+＝﹣1，∴k＝2或﹣1；①当k＝2时，x1＝﹣，x2＝﹣1，∴3＜＜4，∴k＝2符合题意；②当k＝﹣1时，x1＝﹣2，x2＝﹣1，∴＝2，∴k＝﹣1（不合题意，舍去）．∴k的值为2．23．解：（1）设y与x的关系式为y＝kx+b，把（22，36）与（24，32）代入，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）由题意可得：w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，∴20≤x≤28，∴当x＝28时，w最大，w最大＝﹣2×（28﹣30）2+200＝192，答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．六.解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）24．解：（1）把点A（﹣2，b）代入y＝﹣中得：b＝﹣，解得b＝4，即A（﹣2，4），把A（﹣2，4）代入y＝kx+5中得：﹣2k+5＝4，解得k＝，∴一次函数的解析式为y＝x+5；（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点C，点C即为所求，联立解析式得，解得或，∴B（﹣8，1），A（﹣2，4），∴A′（﹣2，﹣4），设直线A′B为y＝ax+b，∴，解得y＝，当y＝0时，x＝﹣，∴C（﹣，0）．25．解：（1）∵OA＝2，OC＝6，∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），将A、C点坐标代入y＝x2+bx+c，∴，解得∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6；（2）连接BC，过点E作EF∥y轴交BC于点F，当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，∴3k﹣6＝0，解得k＝2，∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，设E（t，t2﹣t﹣6），则F（t，2t﹣6），∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t，∴S△BCE＝3×（﹣t2+3t）＝﹣t2+t，∵