一次函数知识点

一次函数函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。（二）一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像:一次函数的图像都是一条直线3、一次函数图像的画法：①列表x0______y______0②描点③连线已知一次函数y=kx4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k的值是____________．4、一次函数平移的规律：左加右减，上加下减例1、y=2x1向右平移1个单位，向下平移2个单位,求平移后的解析式为____________例2、在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x＋m−1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为____________5、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）中k的值对函数图像的影响kb图像特征大致图像经过的象限k＞0b＞0上升，交点在y轴上方．b＝0上升，交点在原点．b＜0上升，交点在y轴下方．k＜0b＞0下降，交点在y轴上方．b＝0下降，交点在原点．b＜0下降，交点在y轴下方．例1、在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限例2、已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（

）A． B． C． D．6、正比例函数的性质一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而_______；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而_______。7、一次函数的性质一般地，一次函数有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而_______（2）当k<0时，y随x的增大而_______8、待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式。例1、一次函数，当时，对应的y值为，则kb=________.9、一次函数与一元一次方程的关系(1)从“数”的角度看，一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交点的横坐标；(2)从“形”的角度看，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解．10、一次函数与二元一次方程组的关系二元一次方程组可以看成两个一次函数，两个一次函数图像的交点的横纵坐标就是二元一次方程组的解例1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．例2、若直线y=3x1与y=xk的交点在第四象限，则k的取值范围是_______11、一次函数与一元一次不等式的关系(1)从“数”的角度看，一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集是一次函数y＝kx＋b的图像在x轴上方(或下方)的部分所对应的x的取值范围．(2)从“形”的角度看，一次函数y＝kx＋b的图像在x轴上方(或下方)的部分所对应的x的取值范围就是一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集．(3)一元一次不等式kx＋b＞k1x＋b1(或kx＋b＜k1x＋b1)的解集是一次函数y＝kx＋b的图像在一次函数y＝k1x＋b1的图像上方(或下方)的部分所对应的x的取值范围．(4)一次函数y＝kx＋b的图像在一次函数y＝k1x＋b1的图像上方(或下方)的部分所对应的x的取值范围就是一元一次不等式kx＋b＞k1x＋b1(或kx＋b＜k1x＋b1)的解集．例1、已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．例2、如图，直线y1=kx和直线y2=ax+b相交于点（1，2）．则关于x的不等式组ax+b＞kx＞0的解集为．例3、如图，函数y=mx和y=kx+b的图象相交于点P（1，m），则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为．12、一次函数行程问题横纵坐标（主要关注纵坐标，常见的表示：1.到某地的距离；2.两者之间的距离，3到中间某点的距离）拐点（常见表示的含义：1.发生了意外的事情，例如：车坏了等2.到达了某地，改变了运动过程）交点（常见表示的含义：1.相遇，2到某地的距离相等）k和速度之间的关系（=速度）例1、一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：（1）甲乙两地之间的距离为千米；（2）求快车和慢车的速度；（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．例2、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为_________km；（2）求慢车和快车的速度；（3）请解释图中点C的实际意义；（4）分别写出线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；（5）在整个行驶过程中，两车何时相距25km,请求出相应的x的值.补充：1、关于点的距离的问题方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；若AB∥x轴，则的距离为_______；若AB∥y轴，则的距离为_______；点到原点之间的距离为_______2、交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。3、函数图像与坐标轴围成的面积（假设与两坐标轴的交点分别为A、B）4、中点公式：_______________________________________________________5、两点间距离公式：______________________________________________________6、在平面直角坐标系中，直线（）与（）的位置关系：两直线垂直；两直线平行_______7、y=kx+b(斜截式方程)①k的几何意义:|k|=②斜率公式:若A（x，y）B（x，y）,则k==例1、若m=（x1x2）（y1y2），且A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=ax3x+b图像上两个不同的点，当m＜0时，a的取值范围是______．8、一次函数过定点（y=mx+m（m≠0））y=m（x+1）当x=1时，y=0，所以一次函数y=mx+m恒经过点（1，0）例1、已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为 ．9、含参数P（2m1,4m+2），点P在一次函数上设P点的坐标（x，y），则x=2m1，y=4m+2，则y=2x+4例1、无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于．10、等腰三角形的解法:两点间距离公式例1、在平面直角坐标系中，已知A（3，2），x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的P点的坐标为．11、等腰直角三角形的解法：_____________________例1、(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C的坐标分别为______、______、______．(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．②如图2，在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+A