广东省茂名市电白区林头中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

林头中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列结论中，正确的是（）A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，ac2＞bc23．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 C． D．x4+6x+8＝x（x+6）+84．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等 B．全等三角形对应边上的中线相等 C．相等的角是对顶角 D．若|x|＝|y|，则x＝y5．若不等式组的解集为﹣1＜x≤3，则在数轴上表示出解集正确的是（）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB垂直平分线上一点，∠ADC＝80°，则∠C的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°7．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，则四边形ABCD的面积为（）A．30 B．40 C．50 D．608．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上．若∠A＝26°，∠BCA'＝44°，则α等于（）A．37° B．38° C．39° D．40°9．在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m﹣5）在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＜5 B．3＜m＜5 C．m＜3 D．m＜﹣310．过△ABC的顶点A分别作对边BC边上的高AD和中线AE，D为垂足，E为BC的中点，规定λA＝，特别地，当点D与E重合时，规定λA＝0．对λB、λC作类似的规定．若△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则λA+λB+λC＝（）A． B．2 C． D．3二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为．12．将点A（﹣2，﹣1）向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，CD＝2，则AD＝．14．若不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围是．15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，若P是y轴负半轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，则符合条件的P有个．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．17．（8分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．18．（8分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD＝2BE．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，可以得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后的△A2B2C2．20．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象（如图1）．（1）k＝，b＝；（2）正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）与一次函数y＝kx+b相交于点P（如图2），则不等式mx＞kx+b的解集为：不等式组的解集为．21．某抖音直播店铺销售甲、乙两种商品．该店铺第一次用43000元购进甲、乙两种商品，其中购进乙商品的件数比甲商品件数的一半还多200件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）2230售价（元/件）2940（1）该店铺购进甲、乙两种商品各多少件？（2）在第一次购进的两种商品销售完之后，该店铺第二次购进甲、乙两种商品，进价与第一次相同．其中甲商品的件数不变、乙商品的件数是第一次的3倍，甲商品按原价销售，乙商品打a折销售．假设在第二次购进的两种商品都销售完之后，所获得的总利润比第一次获得的总利润多出的部分在1400元到5600元之间（包括1400元和5600元），求a的取值范围；（3）直播结束前，主播提出向粉丝赠送10件甲、乙两种商品，在至少赠送4件甲商品的情况下，怎么赠送两种商品，该店铺赠送商品的成本最高？22．（12分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．（1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm．①求线段BC的长；②求线段OA的长．（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．23．（12分）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝；（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为；（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．故选：D．2．解：A、当a＞b＞0时，＜，原说法错误，故此选项不符合题意；B、当a＞0，b＜0，a＜|b|时，a2＜b2，原说法错误，故此选项不符合题意；C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，原说法正确，故此选项符合题意；D、当c＝0时，虽然a＞b，但是ac2＝bc2，原说法错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．解：根据因式分解的定义可知，A选项，不符合因式分解的定义，不符合题意；B选项，是应用完全平方公式进行因式分解，符合题意；C选项，a的值不确定，且右侧含有分式，不符合题意；D选项，不符合因式分解的定义，不符合题意．故选：B．4．解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；B、全等三角形对应边上的中线相等，正确，是真命题，符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；D、若|x|＝|y|，则x＝±y，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：B．5．解：不等式组的解集﹣1＜x≤3在数轴上的表示为：故选：B．6．解：∵D是AB垂直平分线上一点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵∠ADC＝80°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°．故选：C．7．解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC，在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，∴DE＝5，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE＝＝＝12，∵AB＝8，∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD+S△BED﹣S△AED＝+﹣＝+﹣＝50，故选：C．8．解：∵△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，∴∠A′＝∠A＝26°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′，∴∠B′＝∠CBB′，∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′＝26°+44°＝70°，∴∠B′＝70°，∴∠BCB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴α＝40°，故选：D．9．解：∵点M（m﹣3，m﹣5）在第四象限，∴，解不等式①，得：m＞3，解不等式②，得：m＜5，∴3＜m＜5，故选：B．10．解：在图中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E是BC的中点，BC边上的高与AC重合，则λA＝＝1；同理λB＝＝1，当F是AB的中点时，BC＝AB＝BF，∠B＝60°，则△BCF是等边三角形，则DF＝BF＝AF，则λC＝，∴λA+λB+λC＝1+1+＝，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为3x﹣5≥﹣4．故答案为：3x﹣5≥﹣4．12．解：将点A（﹣2，﹣1）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．13．解：∵∠A＝30°，∠BDC＝60°，∴∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，∴∠DBA＝∠A，∴BD＝AD．在Rt△BCD中，∠C＝90°，∠BDC＝60°，∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴BD＝2DC＝2×2＝4，∴AD＝BD＝4．故答案为：4．14．解：若不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围是a≥4，故答案为：a≥4．15．解：当AB＝AP时，点P有1个，如图所示：当AB＝BP时，点P有1个，如图所示：当AP＝BP时，点P有1个，如图所示：综上分析可知，符合条件的P有3个点．故答案为：3．三．解答题（共8小题，满分75分）16．解：（1）3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）＝（m﹣2）（x2﹣y2）＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．17．解：解不等式3（x+2）＞x﹣2，得：x＞﹣4，解不等式x﹣≤，得：x≤，则不等式组的解集为﹣4＜x≤，将不等式组的解集表示在数轴上如下：18．证明：延长BE和AC后相交于点M，如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，又∵AD是∠A的平分线，∠MAE＝∠BAE，又∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝90°，在△AME和△BAE中∴△AME≌△BAE（ASA）∴BE＝ME，∴BM＝2BE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ADC+∠DAC＝90°，又∵∠BDE+∠DBE＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴∠DAC＝∠MBC，在△ACD和△BCM中，∴△ACD≌△BCM（ASA）∴AD＝BM∴AD＝2BE．19．解：（1）如图所示△A1B1C1，即为所求：A1（0，﹣5），B1（2，2），C1（0，2）；（2）如图所示：△A2B2C2．即为所求．20．解：（1）分别将（0，4），（2，0）代入y＝kx+b得：，解得；故答案为：﹣2，4；（2）由函数图象可得：当x＞1时，函数y＝mx在y＝kx+b上方，∴mx＞kx+b的解集为x＞1，由函数图象，当0＜x＜2时，函数y＝mx和y＝kx+b都在x轴上方，则不等式组的解集为0＜x＜2；故答案为：x＞1，0＜x＜2．21．解：（1）设该店铺购进x件甲商品，y件乙商品，根据题意得：，解得：．答：该店铺购进1000件甲商品，700件乙商品；（2）根据题意得：，解得：8.5≤a≤9，∴a的取值范围为8.5≤a≤9；（3）设赠送m件甲商品，该店铺赠送商品的成本为w元，则赠送（10﹣m）件乙商品，根据题意得：w＝22m+30（10﹣m），∴w＝﹣8m+300，∵﹣8＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m≥4，∴当m＝4时，w取得最大值，此时10﹣m＝10﹣4＝6，∴当赠送4件甲商品，6件乙商品时，该店铺赠送商品的成本最高．22．解：（1）①∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm；②∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝20cm，∴OA＝OB＝OC＝6cm；（2）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠B