2023年北京市三帆中学5月中考模拟数学试卷（含答案解析）

2023年北京市三帆中学5月中考模拟数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是（）

A.回

2.餐桌上的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊

心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克.将50000000000用科学记

数法表示应为（）

A.5xl09B.5xlO10C.50x10"D.0.5x10"

3.若“为整数，且“<历<”+1,则〃的值是（）

A.7B.8C.9D.10

4.实数mb,c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+c=0,那么下列结论正确

的是（）

A./?<0B.a<-bC.ab>0D.h-c>0

5.如图，O的直径AB_LCZ）,垂足为E,ZA=25°,连接CO并延长交O于点尸,

连接则/尸的度数为（）

A.25°B.45°C.50°D.65°

6.不透明的袋子中装有两个红球、一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别，从中随

机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二

次摸到绿球的概率是（）

2142

A.9-B.3-9-D.3-

7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AO上.若S^AEF=4,5△%〃=9,且=6,

则DE的长为（）

32

8.下图是国家统计局发布的2021年2月至2022年2月北京居民消费价格涨跌情况折

线图（注：2022年2月与2021年2月相比较称为同比，2022年2月与2022年1月相

比较称为环比）.

北京市居民消费价格涨跌情况折线图

——-同比—,一环比

①2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比均上涨；

②2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比有涨有跌；

③在北京居民消费价格同比数据中，2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年

9月至2022年1月同比数据的方差；

④在北京居民消费价格环比数据中，2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021

年9月至2022年1月环比数据的平均数.上述结论中，正确的有（）

A.①②③B.①②@C.①③④D.②③0

二、填空题

9.若分式—的值为0,则x的值为.

X

试卷第2页，共8页

10.如图，点尸在NA08的平分线上，只需添加一个条件即可证明.AOPnBOP,这

个条件可以是.（只写一个即可，不添加辅助线）

11.方程组的解为_________.

[2x-3y=12

12.用一个值说明命题“若加＞0,则机＞工”是错误的，这个值可以是用=

tn

13.如图中的平面图形由多条直线组成，计算Nl+N2+N3+N4+N5=.

14.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，A,8,C是网格线交点，则cosNA8C=

Q

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A、B、C在双曲线＞=一上，轴

x

于点。，CELy轴于点E,点尸在x轴上，且AO=A尸，则图中阴影部分的面积之和

16.甲、乙、丙三人进行羽毛球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一

局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行.半

天训练结束时，发现甲共当4局裁判，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的

训练中，甲、乙、丙三人共打了局，其中第9局的裁判是

三、解答题

17.计算：出+椁-2卜（3-万）°-3tan30。.

2（x+3）>5x-3

18.解不等式组：3x-2，并写出它的所有非负整数解.

-----<x

2ab-b2)a2-b2

19.已知a-2b=0,求a--------+-------的值.

20.已知：如图，ABC.

求作：点。（点。与点C在直线A8的异侧），使得=S.ZBDC=ZBAC.

作法:

①分别作线段AB的垂直平分线Z,和线段BC的垂直平分线4，直线4与12交于点。；

②以点。为圆心，的长为半径画圆，。与6在直线3c上方的交点为。；

③连接DC.所以点。就是所求作的点.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.证明：连接。4,OB,OC,

直线4垂直平分BC,点。，。都在直线《上，

OB=OC,DB=DC.

直线4垂直平分AB,点。在直线4上，

,,___.

OA=OB=OC.

•・•点A,B,C都在。上.

点。在：。上，

：.NBDC=NBAC.（_）（填推理的依据）

21.关于x的一元二次方程（2帆-3b+（加-1）=0有两个实数根.

试卷第4页，共8页

(1)求机的取值范围；

(2)若机为正整数，求此方程的根.

22.如图，四边形ABC。是矩形，延长DA至E,使得AE=AQ,连接BE,过点。作

。尸〃8E交54的延长线于F,连接EF,BD.

(1)求证：四边形BDFE是菱形；

2

(2)连接CF,若AB=2,cosZABD=-,求CF的长.

23.品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎，节目规

则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五

轮题.每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑

战者答错，则该轮不得分，且停止答题.每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分.现

有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：

«.甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下图，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、

乙两人在相同轮次的得分：

・乙分数

50

40-

30

20

10

01020304050甲分数

b.丙参加比赛的得分统计图如下图：(说明：丙在第四轮比赛中被淘汰)

;丙分数

50-

42

40-

30-

20-p

13

10-

023‘4,’5’盛次

根据以上信息，回答下列问题；

(1)已知点A的坐标为(26,18),则此轮比赛中；甲的得分为一，与甲同场答题的百人团中，

有一人答对；

(2)这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有一轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的

为一；

(3)设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s：,乙参加的第一轮至

第五轮比赛时百人团答对人数的方差为心则(填或

24.如图，四边形。4BC中，NOA8=90。，OA=OC,BA=BC.以。为圆心，以04

为半径作O,0B与。交于点E.

(2)延长8。交二。于点。，点尸为04的中点，连接EF,

①补全图形；

②若EF//AB,求证：AD=AC.

25.在平面直角坐标系xOy中，直线％=3与直线y=1x+l交于点A,函数产"(k>0,

x>0)的图象与直线户3,直线产gx+1分别交于点8,C.

(1)求点4的坐标.

k

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数产一(&>0,x>0)的图象在点8,C

x

之间的部分与线段AB,AC围成的区域(不含边界)为W.

①当上1时，结合函数图象，求区域W内整点的个数；

②若区域卬内恰有1个整点，直接写出人的取值范围.

试卷第6页，共8页

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线〉=0^+法+4经过点(2,4).

(1)求此抛物线的对称轴；

(2)已知点(巧，/)在此抛物线上，其中f<X1<r+l,2-t<x2<3-t

①若比较B，%的大小，并说明理由.

②当。>0时，若存在演，巧，使得,=%，直接写出f的取值范围；

27.已知如图所示ABC中，线段AC绕点4顺时针旋转90。，得到线段AO,过。作A8

的垂线/,直线/上取一点E使得DE=284,连接AE.

(1)直接写出/BAC与大小关系」

⑵求.V1BC与VADE的面积比；

(3)延长CB使3F=BC,连接AF,补全图形，并探究线段什1与线段AE的位置关系和

数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，对于点尸和直线/,过点尸作PHJU于H,若点C与点

D关于点H对称，则称点C与点关于P(直线/)垂足对称”.特别地，若点P在直

线/上，则点，与点P重合.

⑴如图1,点尸(0,2),C(l,0).

y

①若点C与点。“关于P（x轴）垂足对称”，则点D的坐标为「

②若点C与点8（-3,2）“关于P（直线y="）垂足对称“，求女的值;

⑵如图2,的半径为2,直线/的解析式为y=Z（x-2）.

①若点Q（-2,3）,。。上存在点E与点广，关于。（直线/）垂足对称”，则EF的最大值

为一，此时直线/的解析式为「

②若点G（O,g）,在。。上存在点M与x轴上一点M关于G（直线y=x-2）垂足对称”，

直接写出符合题意的g的取值范围：

试卷第8页，共8页

参考答案:

1.c

【分析】根据几何体的三视图得到的图像进行判断即可得到答案.

【详解】解：圆锥的三视图是圆和三角形，无法得到矩形，

故选：C.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握相关性质是解题的关键.

2.B

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1<H<10,〃为整数.确定〃的值

时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值>10时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【详解】解：50000000000=5x10,°,

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中

1<H<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.C

【分析】根据〃为整数，庖<质<而5,即可求得”的值.

【详解】解：：扃<质<，155,

•,•9<^97<10,

,"为整数，且+

，〃=9.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键.

4.B

【分析】由图可知，a<b<c,由a+c=。，可得。=一。，a<0<b<c,贝i]b>0,ab<0,

b-c<0,进而可判断A,C,D的对错；由a+Z><a+c=0,可得a<—匕，进而可判断B的

正误.

【详解】解：由图可知，a<b<c,

Va+c=0,

答案第1页，共22页

，av0v。vc,

Z?>0,abvO,b-c<0,

:・A,C,D错误；故不符合题意；

*.<a+b<a+c=O,

a<-b,

・・・B正确，故符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负.解题的关键在于从数轴上得出

a<0<b<c.

5.C

【分析】连接0D,根据圆周角定理求解即可.

【详解】解：连接0。，

。的直径

・•.BC=BD，

・•./BOC=/BOD,

ZA=25°,ZBOC=2ZA,

:.ZBOC=50°,

/.ZCOD=100°,

ZF=-ZCOD=50°,

2

故选：C.

【点睛】此题考查「圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，熟记圆周角定理正确作辅助线是

解题的关键.

答案第2页，共22页

6.A

【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再由概率公式求解即

可.

【详解】解：画树状图为：

开始

红红绿

/N/1\/K

红红绿红红绿红红绿

由图知，一共有9种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有2种结果，

所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为最，

故选：A.

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率一所求情况数与总情

况数之比.

7.D

【分析】由平行四边形的性质可得A£>〃8C,AD=BC=6,从而可得,根

据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得萍=（丝］，代入数据即可求得A£=4,

yBC）

最后根据£>£=A£>-AE即可得到答案.

【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，BC=6,

AD//BC,AD=BC=6,

：./\AEF^/\CBF,

.・SBCF\BC）'

S^AEF=4,S&BCF=9,

个用，

:.AE=4,

:.DE=AD-AE=6-4=2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角

答案第3页，共22页

形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键.

8.D

【分析】直接利用折线图，结合环比与同比的概念，判断①②③④的结论，即可得出答案.

【详解】解：从同比来看，2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比数据有正数也

有负数，即同比有上涨也有下跌，故①错误；

从环比来看，2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比数据有正数也有负数，即环

比有上涨也有下跌，故②正确；

从折线统计图看，2021年4月至8月的同比数据波动小于2021年4月至8月的同比数据波

动，所以2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的

方差，故③正确；

2021年4月至8月的环比数据的平均数为：(0-0.1—0.4+0.7+0.1)+5=().06,

2021年9月至2022年1月环比数据的平均数为:(-0.1+0.9+0-0.3+0.2)4-5=0.14,

•••2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均

数，故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查折线统计图，方差，平均数，从统计图获取的所要的信息是解题的关键.

9.1

【分析】根据分式的值为零的条件即可得出.

X—1

【详解】解：•.•分式—的值为0,

x

x-l=0且x/0,

x=l.

故答案为1.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为

零.

10.OA=OB(答案不唯一)

【分析】在"OP与"OP中，已有OP=OP,一边一角对应相等，则再加

OA=OB即可由SAS证全三角形全等,答案不唯一,再加一角对应相等也可,如NOfi4=/OP8

或NOAP=NOBP.

答案第4页，共22页

【详解】解：加OA=OB9

是/AO3的平分线,

J/AOP=/BOP,

在与尸中,

OA=OB

</AOP=/BOP,

OP=OP

:・.AOP-BOP（SAS）,

故答案为：OA=OB.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定三角形全等的定理有：SSS,SAS,ASA,AAS,

熟练掌握这些判定定理是解题的关键.

x=3

11.

y=-2

【分析】利用代入消元法即可求解.

3x+y=7①

【详解】

2x-3y=12②

由①得y=7—3x③，

将③代入②中，得：2x-3（7-3x）=12,

解得：x=3,

将x=3代入③中，得：y=1—3x=-2,

（工=3

即方程组的解为：'c,

[y=_2

[x=3

故答案为：〜

[产-2

【点睛】本题考查了求解二元一次方程组的解知识，掌握代入消元法、加减消元法是解答本

题的关键.

12.1（答案不唯一）

【分析】解不等式“〉,，求出它的解集，据此举一个不在解集中的机的值即可.

m

【详解】解：当机＞0时，由〃得病＞1,即加＞1.

m

答案第5页，共22页

，当0cmW1时，m>—一定是错误的.

m

•••这个值可以是，"=1.

故答案为：1（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了解不等式，举反例证明假命题，熟练掌握相关知识是解题的关键.

13.3600

【分析】由对顶角相等，结合多边形外角和定理可知，逆时针/I、/2、/3、/4、/5组

成多边形的外角和，由此即可求解.

【详解】解：如下图所示，由对顶角相等可知：Z2=Z6,N5=N7,

逆时针数，Nl、N6、/3、N4、N7组成了多边形的外角和,

由多边形外角和定理可知：Zl+Z6+Z3+Z4+Z7=360°,

Nl+N2+/3+N4+Z5=360°,

故答案为：360°.

【点睛】本题考查了多边形的外角和定理及对顶角相等，属于基础题，熟练掌握基本几何图

形的性质是解决本题的关键.

14.*

【分析】作AD1BC于D点，在RtAABD中根据余弦的定义求解即可.

【详解】如图，作AD_LBC于D点，则AABD为直角三角形,

其中，AD=3,BD=4,由勾股定理可得AB=5,

••cos=----=_

AB5

4

故答案为：—.

【点睛】本题考查求余弦值，根据余弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键.

15.16

答案第6页，共22页

【分析】过4作AG垂直于x轴，交x轴于点G,由AO=AF,利用三线合一得到G为。尸的

中点，根据等底同高得到三角形AOG的面积等于三角形AFG的面积，再由A,B及C三点

都在反比例函数图象上，根据反比例的性质得到8。。，COE及,,AOG的面积都相等，都

为国,由反比例解析式中的4值代入，求出三个三角形的面积，问题随之得解.

2

【详解】解：过A作AG,工轴，交x轴于点G,如图所示：

VAO=AF,AG±OF,

・・・G为QF的中点，即OG=/G,

♦•jOAG一0,FAG，

Q

XVA,8及C点都在反比例函数y=-上，轴，轴，

x

・阂

,•°OAG-DBOD_3COE一2一一，

・q_q_q_s—4

则S阴影=SOAG+SBOD+SCOE+S.FAG=16,

故答案为：16.

【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来解答本题

关键.

16.19乙

【分析】先确定出乙、丙之间打了4局，乙与甲打了5局，丙与甲打了10局，进而确定出

三人一共打的局数和乙当裁判的局数，即可得出结论.

【详解】解：甲共当裁判4局，

，乙、丙之间打了4局，

答案第7页，共22页

乙、丙分别打了9局、14局比赛，

，乙与甲打了9一4=5（局），丙与甲打了14-4=10（局），

二甲、乙、丙三人共打了4+5+10=19（局），

丙与甲打了10局，

，乙当了10局裁判，

从1到19共9个偶数，10个奇数，

二乙当裁判的局数为奇数，

第9局的裁判是乙，

故答案为：①19,②乙.

【点睛】本题主要考查了推理论证，计数原理，奇数和偶数，判断出总局数和乙当裁判的局

数是解本题的关键.

17.5-24.

【分析】根据负整数指数幕的运算法则、绝对值的性质、零指数塞的运算法则和特殊角的三

角函数值分别计算，再合并即得结果.

【详解】解：（g）+2一2卜（3-乃）-3tan30

=4+2-g-l-3x@

3

=5-26

【点睛】此题主要考查了实数的运算，熟练掌握以上基本知识是解题的关键.

18.不等式组的解集为：x<2,它的所有非负整数解为：0,1,2

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后写出它的所

有非负整数解即可.

2（x+3）>5x-3①

【详解】解：3x-26，

-----<M2）

2

解①得：2x+6>5%-3,

5x-2x<6+3,

3x<9,

x<3,

解②得：3x-2<2x,

答案第8页，共22页

3x-2x<2,

x<2,

・•.不等式组的解集为：x<2,

,它的所有非负整数解为：0,1,2.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握求不等式组解集的口诀:

同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），是解题的关键.

19.

3

【分析】先将分式化简，然后将〃=%代入即可求出答案.

a2-2ab+b2a_(a-b)2aa-b

【详解】解:

a+b

a=2b,二原式=自=：.

3b3

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的混合运算法则，本题属于

基础题型.

20.（1）见解析

（2）04,OB,同弧所对的圆周角相等

【分析】（1）根据题目所给作图方法作图；

（2）结合垂直平分线的性质与同弧所对的圆周角相等证明.

【详解】（1）解：如图所示，点。就是所要求作的点.

(2)证明：连接Q4,OB,OC,

直线4垂直平分BC,点。，。都在直线4上,

..OB=OC,DB=DC.

答案第9页，共22页

直线4垂直平分AB,点。在直线4上，

OA=OB.

OA=OB=OC.

二点A,B,C都在。上.

点。在。上，

-NBDC=ABAC.(同弧所对的圆周角相等)

【点睛】本题考查了用尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，同弧所对的圆周角相等，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

9

21.(1)6<0或0<枕二一

8

(2)须=-1,x2=0

【分析】(1)一元二次方程有两个实数根，则二次项系数不为0,且AN0;

(2)由(1)可得机的取值，解方程即可.

【详解】(1)解：关于龙的一元二次方程，批2-(2〃7-3h+(加-1)=0有两个实数根,

〃2工0

A=[-(2m-3)]2-4/w(/n-1)>0>

9

国军得：〃7<0或0<"14一.

8

9

(2)解：加为正整数，且小<0或0<机工三，

8

**•m=\.

，原方程为f+x=o,

解得士=-1,x2=0.

答案第10页，共22页

••・当”为正整数时，该方程的根为-I或0.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关

知识是解题的关键.

22.(1)见详解

⑵历

【分析】(1)先证明_八4尸名二即可得8尸、DE互相垂直平分，问题即可得证；

?AR____________

(2)利用Afi=2,COSNAB£>=£,可得50=---——=5,即有AD=dBD?-AB[=后，

5cosZABD

根据四边形8。正是菱形，可得AF=AB=2,即尸3=4,再利用勾股定理即可求解.

【详解】(1)・・,四边形ABCO是矩形，

/.ABrAD9

:.DE工BF,

,:DF〃BE,

:.?FDA?BEA，

AE=ADfZDAF=ZEAB,

：・..DAF经EAB,

JAJB=AF,

•:DE工BF,AE=AD,

:・BF、OE互相垂直平分，

・・・四边形瓦叱七是菱形；

(2)如图,

，在RtZkABZ）中，BD=

cosZABD

；・AD=y]BD2-AB2=V21，

答案第11页，共22页

•••四边形A8CD是矩形，

,BC=AD=历，?FBC90?，

,•,四边形BOFE是菱形，

，AF=AB^2,

；•FB=4,

，在RtACFfi中，CF=yjBC2+FB2=后，

即CF=历.

【点睛】本题考查了解直角三角形、菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理等知识,

掌握菱形的判定与性质，矩形的性质是解答本题的关键.

23.(1)26；74.

(2)2；乙.

闭＜

【分析】(1)根据题意每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分，因

此由点A的坐标可求甲的得分.又百人团答错的人数即为选手该轮得分，故可求出百人团答

错的人数，进而得到百人团中答对的人数；

(2)由图可得横坐标大于纵坐标的点有2个，故甲得分高于乙得分的比赛共有2轮；图中

5个点的横坐标即为甲的得分，纵坐标为乙的得分，再根据第二个图可得到乙的得分最高；

(3)方差衡量数据的波动情况，波动越大，方差越大，波动越小，方差越小.由图可得乙

的得分的波动比甲的大，故百人团答对的人数波动也打，故s；＜s]

【详解】(1)A(26,18)

二甲得分为26,百人团答对人数为：100-26=74

故答案为：26；74.

(2)；丙的最后两轮得分均为0

工丙的总得分最少

•••图中的点中，横坐标大于纵坐标的点有2个,各点的纵坐标之和大于横坐标之和

二乙的总得分高于甲的总得分

答案第12页，共22页

...甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙

故答案为：2；乙.

(3)•••由图可知甲的得分在30分左右波动，而乙的得分波动更大

.•.甲参赛时百人团答错人数的波动比乙参赛时百人团答错的人数波动更小

，甲参赛时百人团答对人数的波动比乙参赛时百人团答对的人数波动更小

故答案为：<.

【点睛】本题主要考查在材料阅读下解决实际问题，涉及到平面直角坐标系中点的坐标，统

计中的方差，正确理解题意是解题的关键.

24.(1)证明见解析

(2)补全图形见解析；证明见解析

【分析】(1)利用SSS证明三角形全等，从而推出NQ4B=NOCB=90。，即可证明BC是0

的切线.

(2)①根据题意补全图形即可；

②通过中位线定理即可推出=从而求出相应的角的度数，即可求出

ZAOC=ZAOD,利用SAS证明三角形全等即可证明〃>=AC.

【详解】(1)解：OA=OC,BA=BC,OB=OB,

.•.△AOB^ACOB(SSS),

:.ZOAB=ZOCB=90°,

:.OC1BC,

:.BC是。的切线.

(2)解：①由题意画图，图如下，

C

答案第13页，共22页

②由(1)知，AAO8/△COB(SSS),

:.ZAOB=/COB,ZABO=NCBO,

EF//AB,点尸为04的中点，

.OEOF

.・----=------=1t,

BEAF

：.OE=EB,

OA=OE,

在RtAAOB中，OA-OE=EB=—OB,

2

ZABO=ZCBO=30°,ZAOB=ZCOB=60°.

ZAOC=120°,

ZAOC+ZAOB=120。+60。=180°,

,ZAOD+ZAOB=180°,

ZAOC=ZAOD.

OD=OC,OA^OA,

.•._AO®,AOC(SAS),

.-.AD=AC.

【点睛】本题考查了圆的切线判定与性质、中位线定理、直角三角形的特征以及三角形全等

的证明.解题的关键在于熟练掌握相关性质定理以及灵活运用.

25.(1)4(3,|)；(2)①在W区域内有1个整数点；②当区域W内恰有1个整点时，1女

V2或16〈仁20

【分析】(1)根据题意列方程即可得到结论；

(2)①当仁1时，求得8、C的坐标，根据图象得到结论；

②分两种情况根据图象即可得到结论.

【详解】解：(1)直线户3与直线交于点A,

产=3》=3

f1.,解得，5，

iIy=—2x+1-v2=—

A(3,—)；

(2)①当仁1时，根据题意8(3,2),C(-1+73,立里)，

32

答案第14页，共22页

②若区域卬内恰有1个整点，

当C点在直线43的左边时，如图1,在W区域内有1个整数点：（2,1）,

,1女＜2；

当C点在直线43的右边时，如图2,在卬区域内有1个整数点：（4,4）,

综上，当区域W内恰有1个整点时，1弘〈2或16〈仁20

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题

的关键.

26.⑴直线x=l

⑵①当a＞0时，乂＜%;当。＜0时，%＞必；②"0或后2

【分析】⑴将（2,4）代入）=⑪2+"+4中得到6=-勿，再根据对称轴方程x=-?求解

2a

即可;

答案第15页，共22页

(2)①先求得%,和演的取值范围，进而得到两点与对称轴的距离大小关系，再分a>0和a<0,

利用二次函数的性质求解即可；

②根据抛物线的对称性求解即可.

【详解】(1)解：将(2,4)代入y=奴2+6x+4中得至114a+2Z?+4=4,则》=-2a,

•••此抛物线的对称轴为直线x=-3=1;

2a

11335

(2)解：①当，=彳时，4<占<彳，—<x<—,

222222

•*,13-1<|々-1，

当a>0时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点的纵坐标越大，

<必；

当a<0时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点的纵坐标越小，

②•••抛物线的对称轴为直线x=l,又存在々，巧，使得,=必，

.,.点(小乂)和(西,乂)关于直线x=i对称，

.J/+1<1„P>1

**[2-r>l^[3-/<r

A/<0^/>2.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与

方程及不等式的关系.

27.{\}ABAC=ZADE

(2)1:2

&AF=AE,AF±AE,补全图形与理由见解析

【分析】(1)延长54交OE于P,根据旋转性质和垂直定义得到NAP。=ACAD=90°,

进而利用等角的余角相等可得结论；

(2)过C作©/14?交AB延长线于贝UNM=ZAPD=90°,证明

AMC出一DPA(AAS)得到CM=AP,然后根据三角形的面积公式求解即可；

答案第16页，共22页

(3)过C作G"J.45交A3延长线于过产作AVJLAB于N,延长54交。E于P,则

NFNB=ZFNA=ZAPE=ZM=90°,分别证明MVB纣CMB(AAS)和

FNA空APE(SAS),利用全等三角形的性质可得出结论.

【详解】(1)解：延长取交DE于P,由题意得NAP3=NCW=90。，

/.ABAC+ZDAP=ZADE+ZDAP=90°,

Zfi4C=Z4£>E；

(2)解：过C作CV±四交AB延长线于M,则=ZAPD=90°,

由旋转性质得47=4),

在.AMC和一£)/为中，

'NMAC=NPDA

■ZM=ZAPD

AC=AD

：._AMC^.DPA(AAS),

/.CM=AP,又DE=2BA,

<—AB-CM.p।

.SA-=2________AB1

,,S„.1DE2;

做Af-DE-AP

2

即，ABC与VA£)E的面积比是1:2；

(3)解：补全图形如图2,可知：AF^AE,AFVAE.

答案第17页，共22页

理由：过C作。/，四交A8延长线于M,过尸作于N,延长融交。£于P,则

4FNB=ZFNA=ZAPE=ZM=90°,

2FNB=NM,2FBN=ZCBM,BF=BC,

：.FNB沿CMB（AAS）,

:.BN=BM,FN=CM,

由（2）知二AMC/二OR4,则AM=£>P,CM=AP,又DE=2BA,

:.FN=AP,AN-PE,又/FNA=ZAPE,

：..FNA^APE（SAS）,

：.AF=AE,NFAN=ZAEP,

'：ZFAN+NEAP=ZAEP+ZEAP=90°,

/.ZFAE=9O°,即A/FAE.

【点睛】本题考查了旋转性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等等知识，熟练掌

握利用全等三角形的性质探究边与角的关系，添加常用辅助线构造全等三角形是解答的关键.

28.⑴①（TO）②％=-1

⑵①2白；y=^x-l®0<g<4

【分析】（1）①作轴于点”，先求出点H的坐标，即可求出点C（l,0）关于点H的对

称点的坐标；

②作,也，直线丫=丘交于点先求出点”的坐标，通过待定系数法求得点尸，“经过的

直线解析式，即可根据两直线十年垂直的关系求得％值；

（2）根据解析式y=k（x-2）,可得无论％取何值，直线/都经过点例（2,0）,连接QM,令

答案第18页，共22页

。“，直线了=&（》-2）交于点//,可得Q"LAW,根据90度的圆周角所对的弦是直径,

可得点”在以QM为直径的圆上，令圆心为点N,可求得点N的坐标为N