专题21.7二次根式材料阅读探究大题专题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【华师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题21.7二次根式材料阅读探究大题专题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020春•越城区校级月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点．（1）用二次根式表示点P与点A的距离；（2）当x＝4，y=11时，连接OP、PA，求PA+PO（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求x2【分析】（1）利用两点间的距离公式进行解答；（2）利用两点间的距离公式求得OP、PA，然后求PA+PO；（3）把y＝x+1代入所求的代数式进行解答．【解析】（1）点P与点A的距离：(x-（2）∵x＝4，y=11，P（x，y），A（1，0∴P（4，11），∴PA=(4-1)2+(11)2=PA+PO＝25+33（3）∵点P位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y＝x+1，∴x2+y2=|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝12．（2019春•庐阳区校级期中）观察下列等式：①2×4+1=3②3×5+1（1）写出式⑤：6×8+1（2）试用含n（n为自然数，且n≥1）的等式表示这一规律，并加以验证．【分析】（1）根据规律解答即可；（2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可．【解析】（1）式⑤：6×故答案为：6×（2）第n个等式为(n+1)(n+3)+1=n+2∵n为自然数，且n≥1，∴(n+1)(n+3)+1=n23．（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=(1+设a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为整数），则有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝m2+3n2，b＝（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+43=（2+3）2（3）请化简：12【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，从而可用m、n表示a、b；（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解析】（1）（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn；（2）7+43=（2+3）故答案为：（2+3）2（3）∵12﹣63=（3-3）∴12-634．（2020春•昭通期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：92-2×16=81-32=（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．【分析】（1）直接选择一组数据代入计算得出答案；（2）利用3个数据之间的关系进而计算得出答案．【解答】（1）解：答案不唯一，如：17=289-240=49＝7；（2）证明：设中间那个数为n，则：∵n=n=n=49＝7，∴n2-(n-7)(n+7)5．（2020春•霍邱县期末）观察以下等式：第1个等式：(1第2个等式：(2第3个等式：(3第4个等式：(4…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：（5+1）（6-5）＝55+（2）写出你猜想的第n个等式：（n+1）（n+1-n）＝nn+1【分析】（1）根据所给等式可得答案；（2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可．【解答】（1）解：（5+1）（6-5）＝55故答案为：（5+1）（6-5）＝55（2）（n+1）（n+1-n）＝nn证明：∵(∴(n故答案为：（n+1）（n+1-n）＝nn6．（2020秋•三水区校级期中）在解决问题：“已知a=12-1，求3a2﹣6a∵a=12∴a﹣1=∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的解答过程，解决下列问题：（1）化简：22-（2）若a=13+22，求2a2﹣12a【分析】（1）根据平方差公式计算；（2）利用分母有理化把a化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【解析】（1）22-5=2(2+5（2）a=13+22=3-2则2a2﹣12a﹣1＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1＝2（a﹣3）2﹣19＝2（3﹣22-3）2﹣＝﹣3．7．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b＝m2+2n2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+6n2，b＝2mn（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均为正整数，求（3）化简：7-【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解析】（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）21+80=20+45则7=7-2=6-2=(=5-8．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式a-2有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥②化简：1+1n2+1(n+1)所以1+1n2+1（1）根据二次根式的性质，要使a+23-a=a+2（2）利用①中的提示，请解答：如果b=a-2+2-a+（3）利用②中的结论，计算：1+1【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；（3）利用②中的结论求解即可．【解析】（1）由题意得，a+2≥∴﹣2≤a＜3；（2）由题意得，a-∴a＝2，∴b=2-2+2-2+∴a+b＝2+1＝3；（3）原式＝（1+11-12）+（1+12-＝1×2020+1-＝2020202020219．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7-分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7-6和6-5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：因为7+6＞再例如：求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2当x＝2时，分母x+2+x-2有最小值2，所以y的最大值是解决下述问题：（1）比较32-4和23（2）求y=1+x【分析】（1）利用分母有理化得到32-4=232+4，23-10=223+10，利用3（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y=11+x+x，由于x＝0时，1+x+【解析】（1）∵32-4=23-而32＞23，4＞∴32+4＞23∴32-4＜23（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，而y=1+x∵x＝0时，1+x+x有最小值∴y的最大值为1．10．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7-分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7-6和6-5的大小可以先将它们分子有理化如下：因为7+6＞再例如，求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2当x＝2时，分母x+2+x-2有最小值2．所以利用上面的方法，完成下述两题：（1）比较15-14和（2）求y=x+1-【分析】（1）先将两数变形为115+14、114+（2）根据二次根式有意义的条件得出x≥1，据此知x+1+x-1有最小值2【解析】（1）15-14-而15＞∴15+∴15-（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y=x+1当x＝1时，分母x+1+x-∴y=2x+1+x-111．（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：(2+3)(2-3)=1，(5+解决问题：（1）4-7的有理化因式可以是4+7，323分母有理化得（2）计算：①已知x=3+13-1，y=3②11+【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【解析】（1）4-7的有理化因式可以是4+32故答案为：4+7，3（2）①当x=3+13y=3-13x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2+3+2-3）2﹣2×（2+3＝16﹣2×1＝14．②原式=2-=2000＝205-112．（2020秋•碑林区校级月考）在解决问题“已知a=12-1，求3a2﹣6a∵a=12∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：23-（2）若a=13+22，求2a2﹣12【分析】（1）分子、分母都乘以3+7（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣22得a＝3﹣22，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．【解析】（1）23-7=（2）∵a=13+22=3-2∴a﹣3＝﹣22，∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，∴a2﹣6a＝﹣1，∴2a2﹣12a＝﹣2，则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．13．（2020春•曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2+3）（2-3）＝1，(5+2)(5-像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将12分母有理化得22；2+1的有理化因式是2（2）化简：25+3=（3）化简：12【分析】（1）分子、分母都乘以2即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；（2）分子、分母都乘以5-（3）原式变形为2-1+【解析】（1）12（2+1）（2-1）＝（2）2﹣12＝2﹣1＝1，即2+1的有理化因式是故答案为：22，2-（2）25故答案为：5-（3）原式=2-=100＝10﹣1＝9．14．（2019秋•渝中区校级月考）材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如当x=3+1时，求12x方法一：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1=3．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式=12（x3﹣2x2﹣2x）+2=12[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2=12[x（x﹣1）2﹣3x]+2=12方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+3（2）已知x=2+3，求x【分析】（1）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题；（2）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题．【解析】（1）∵a2﹣3a+1＝0，∴a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，a+1a∴2a3﹣5a2﹣3+＝2a（a2﹣3a）+（a2﹣3a）+3a﹣3+＝2a×（﹣1）+（﹣1）+3a﹣3+＝﹣2a﹣1+3a﹣3+＝a﹣4+＝3﹣4＝﹣1；（2）∵x＝2+3∴x﹣2=3∴x=x=3=3=3=3x(x-2)+15(x-2)-6-21=3=3=9-6=315．（2019春•西湖区校级月考）在解决问题“已知a=12+3，求2a2﹣8∵a=∴a-2=-3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：25（2）若a=12-1，求代数式a（a【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；（2）先化简a，即可得到a﹣1的值，从而可以求得所求式子的值．【解析】（1）25（2）∵a=1∴a﹣1=2∴a（a﹣1）＝（2+1）＝2+216．（2019•滦南县一模）在解决问题“已知a=12+3，求2a2﹣8∵a=12+∴a﹣2=-3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：2（2）若a=12-1，求3a2﹣6a【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；（2）将a分母有理化得a=2+1，移项并平方得到a2﹣2a＝【解析】（1）2=2(=5（2）∵a==2+∴a﹣1=2∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3∴3a2﹣6a﹣1＝2．17．（2020春•庐江县期末）观察下列等式：回答问题：①1+112+1②1+122+③1+132+1（1）根据上面三个等式的信息，猜想1+142+1（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；（3）验证你的结果．【分析】根据观察，可得规律：1+1n2【解析】（1）根据上面三个等式的信息，猜想1+142故答案为：1120（2）1+1n2（3）1+=[n(n+1)=n(n+1)+1=n(n+1)+(n+1)-n＝1+118．（2019秋•淮阳区校级月考）阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：2a+1a甲的解答是：2a+1a2乙的解答是2a+1a（1）填空：乙的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简x【分析】根据已知材料，读懂材料，然后根据二次根式的性质解答．【解析】（1）乙的做法错误．当a=14时，1a故答案为：乙（2）当a＜0时，a2（3）∵3＜x＜5，∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0．x2-14x+49+(2x-5)2=(x19．（2020秋•榆林月考）阅读下列解题过程：15（1）观察上面的解题过程，化简：①413-3（2）利用上面提供的解法，请计算：(1【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．【解析】（1）①413-3②1n（2）(=13（5-=13（3n+2-＝n．20．（2019秋•青岛期中）我们已经知道，形如ca例如：32-下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：7+43建立模型：形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样(a)2问题解决：化简7+43解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝即（(4)2+(∴7+4模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）3+22；（2）11模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4-3，AC=3，那么【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；（3）根据勾股定理求出即可．【解析】（1）这里m＝3，n＝2，由于1+2＝3，1×2＝2，即12+(所以3+22（2）首先把11-46化为11-224，这里m＝11，n＝24，由于3+8＝11，即(3)2所以11（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2所以，(所以，BC=16-821．（2019秋•永安市期中）阅读下列解题过程：12+1=2-1(则：（1）110+9=（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子1n-n-1=（3）利用这一规律计算：（12+1+1【分析】（1）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值；（2）根据题目中的例子，可以写出所求式子的值；（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．【解析】（1）110+故答案为：=10-（2）1n故答案为：n+（3）（12+1+1＝（2-1+3-2＝（2019-1）（2019+＝2019﹣1＝2018．22．（2021春•安宁市校级期中）阅读下面问题：121314试求：（1）求17+6=（2）当n为正整数时1n+1+n=（3）11+【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；（3）先将所求式子变形，然后计算即可．【解析】（1）17故答案为：7-（2）1n+1故答案为：n+1-（3）1=2-1=100＝10﹣1＝9．23．（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：2+23=223，验证：3+38=338，验证：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4+4（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【分析】（1）利用已知，观察2+23=223，3+3（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；【解析】（1）∵2+23=223，∴4+415=44验证：4+4（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴n+n验证：n+n24．（2018春•五莲县期中）小明在解决问题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+12-3∴a﹣2=-∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简1（2）若a=12-1，①求4a2﹣8②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝0；2a2﹣5a+1a+2＝【分析】（1）将原式分母有理化即可；（2）将a分母有理化，化简为2+1，代入①，②【解析】（1）原式=12×=12×（=1＝5；（2）①∵a=2∴4a2﹣8a+1＝4×(2+1)2-8＝5；②a3﹣3a2+a+1=(2+1)3-3＝7+52-（9+62）＝0；2a2﹣5a+1＝2×(＝2；故答案为：0，2．25．（2018秋•新罗区校级月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+23=（1+13）2（3）化简：14+65=3+【分析】（1）模仿例题可以解决问题；（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；（答案不唯一）（3）根据14+65=（3+5）【解析】（1）∵a+b3=（m+n3）2∵a+b3=m2+2mn3+3n∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn．（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；∴4+23=（1+3故答案为：4，2，1，1；（3）∵14+65=（3+5）∴14+65=3故答案为3+526．（2019春•西湖区校级月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：21+45=（1+25）2（3）化简1【分析】（1）将（m+n3）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；（2）设a+b5=(m+n5)2，则(m+n5)2=m2+2mn5+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b5，可将