第三章45研弹性力学课件

其中A、B、C、D为无量纲量，只与

有关。各应力分量为x、y的纯一次式。应力函数（x，y）应为x、y的纯三次式。设2）检查

是否满足相容方程满足3）根据（2—23）求出应力分量{

；4）根据应力边界条件确定常数a）左面（x=0）b）右面（x=ytg

）0yy

g

gy

n由：解得：应力分量（李维解）：讨论：0yy

g

gy

n

x

y

xy1）

x沿水平方向无变化；2）

y沿水平方向按直线变化；3）

xy沿水平方向也按直线变化多项式形式的应力函数求解直角坐标平面问题只对简单载荷或连续分布载荷的情况才适用，如果载荷比较复杂，或者是间断载荷，一般采用三角级数法求解。复杂载荷，或者是间断载荷，通常可以展开为富氏级数。为此，用逆解法，首先假设应力函数取如下的形式：

Φ＝f(y)

sinαx

（a）其中α是任意常数，它的因次是[长度]-1，f(y)是y的任意函数.§3.5梁的级数解法将式（a)代人相容方程，即得删去因子sinαx,然后求解这个常微分方程，得其中的A、B、C、D都是任意常数，于是得到应力函数的一个解然后，再假设应力函数取如下的形式：

Φ

＝f1(y)cosα'x

同样可以得出应力函数的另一个解答，Φ

=cosα'x(A'sinhα'y＋B'coshα'y＋C'ysinhα'y＋D'ycoshα'y)

（d）其中的A'、B'、C'、D'也是任意常数。

现在，将解答(c)与(d)叠加，得

Φ

=sinαx(Asinhαy＋Bcoshαy＋cysinhαy又因为α取任何值α时，或者当α‘取任何值α’时,表达式(a)都是微分方程(b)的解答，所以这些解答的叠加仍然是该微分方程的解答。于是得三角级数式的应力函数+Dycoshαy)+cosα'x(A'sinhα'y＋B'coshα'y＋

C'ysinhα'y+D'ycoshα'y)应力分量表达式:

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。如果能够选择其中的待定常数αm、Am、Bm、Cm、Dm、α'm、A'm、B'm、C'm、D'm,或再叠加以满足平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某个问题的边界条件，就得出该问题的解答。简支梁受任意横向荷载本节中将以简支梁受任意横向荷载的问题为例，说明三角级数式解答的应用。设简支梁的跨度为l，高度为H，坐标轴如图所示，上下两边的横向荷载分别为q(x)及q1(x),左右两端的反力分别为R及R1。在上下两边，正应力的边界条件是（σy）y=0=-q(x)（σy）y=H=-q1(x)（τxy）y=0=0（τxy）y=H=0剪应力的边界条件是在左右两端，正应力的边界条件是（σx）x=0=0

（σx）x=l

=0为了满足边界条件，选择其中的待定常数

A'm=B'm=C'm=D'm=0,

αm=mπ/l(m=1,2,3...)应力分量表达式简化为下式：剪应力应当合成为反力，即代入边界条件（τxy）y=0=0（τxy）y=H=0得到代入边界条件得到（σy）y=0=-q(x)（σy）y=H=-q1(x)自此可以得出求解系数am、Am、Bm、Cm、Dm的方程，说明如下。式（e）和式(f）表示它们左边的三角级数恒等于零，因此，级数的系数都应当等于零，于是得为了从式（g）得出所需的方程，须将该式右边的q(x)在x=0至x=l的区间展为和左边相同的级数,按照傅立叶级数的展开法则，我们有与式（g)对比，从而得出同样可由式（h)得出求出式（k)及式（l)右边的积分以后，即可由（i)、（j)、（k)，（l)四式求得系数Am、Bm、Cm、Dm，从而由公式（3一10）求得应力分量。因为如此求得的应力分量已经满足式（*)以外的所有一切条件，包括平衡条件在内，而式（*)中的R及R1又完全决定于平衡条件，所以式（*）自然满足，不必考虑。在求出应力分量以后，可以由式（*)的求得反力R

及R1，并利用这两个反力与荷载的平衡作为校核之用。(*)由本节中所讨论的简支梁问题已经看出，用级数求解平面问题时，单是为了求出应力表达式中的系数，计算工作量就已经很大了；再加上由于级数收敛不快，得出应力分量的表达式以后，在计算某些点的应力数值则时，还要花费很大的计算工作量。但是由于级数解法规范，计算机求解方便，仍在许多问题中得到