勾股定理实际问题大题专练八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题勾股定理实际问题大题专练〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题〔共24小题〕1．〔2021春•安庆期中〕?九章算术?是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股〞章中记载了一道“折竹抵地〞问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？〞翻译成数学问题是：如下图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【分析】直接利用勾股定理进而得出AC的长．【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+AB＝10，BC＝4，设AC＝x，那么AB＝10﹣x，∴x2+42＝〔10﹣x〕2，解得：x=215，答：AC的长为215．2．〔2021秋•射阳县期末〕如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时〔筷子底端不动〕，筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度．【分析】设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是〔x+2〕cm，因为直径为12cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．【解析】设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是〔x+2〕cm，∵杯子的直径为12cm，∴杯子半径为6cm，∴x2+62＝〔x+2〕2，即x2+36＝x2+4x+4，解得：x＝8，8+2＝10〔cm〕．答：筷子长10cm．3．〔2021春•古丈县期末〕上午6：00时，甲船从M港出发，以80km/h的速度向东航行．半小时后，乙船也由M港出发，以相同的速度向南航行．上午8：00时，甲、乙两船相距多远？要求画出符合题意的图形．【分析】画图构造直角三角形，通过计算，两直角边分别160km和120km，从而利用勾股定理求出斜边为200km，即两船相距200km．【解析】如下图，∵甲船从M港出发，以80km/h的速度向东航行，∴MA＝80×2＝160〔km〕，∵半个小时后，乙船也由M港出发，以相同的速度向南航行，∴MB＝80×＝120〔km〕，∴AB=1602+1202答：上午8：00时，甲、乙两船相距200km．4．〔2021秋•芝罘区期末〕如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．【分析】根据题意利用勾股定理易得BD长，再表示出线段CD，CB的长，根据直角三角形BCD的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离．【解析】∵AB⊥l于B，AB＝3千米，AD＝5千米．∴BD=AD2-设CD＝x千米，那么CB＝〔4﹣x〕千米，x2＝〔4﹣x〕2+32，x2＝16+x2﹣8x+32，解得：x＝．答：物品中转站与车站之间的距离为千米．5．〔2021秋•惠来县期末〕如下图，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为米．〔1〕假设梯子底端离墙角的距离OB为米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？〔2〕在〔1〕的条件下，如果梯子的顶端A下滑米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【分析】〔1〕利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．〔2〕由〔1〕可以得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解析】〔1〕根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO=AB2〔2〕梯子下滑了米即梯子距离地面的高度为OA′＝〔2﹣〕＝〔米〕，根据勾股定理：OB′=A'B'所以当梯子的顶端下滑米时，梯子的底端水平后移了2﹣＝〔米〕，答：当梯子的顶端下滑米时，梯子的底端水平后移了米．6．〔2021秋•郫都区期末〕如图，把一块直角三角形〔△ABC，∠ACB＝90°〕土地划出一个三角形〔△ADC〕后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．〔1〕求证：∠ADC＝90°；〔2〕求图中阴影局部土地的面积．【分析】〔1〕先由勾股定理求出AC＝5米，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC＝90°即可；〔2〕由三角形面积公式求解即可．【解答】〔1〕证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，∴AC=AB2-∵CD＝3米，AD＝4米，∴AD2+CD2＝AC2＝25，∴∠ADC＝90°；〔2〕解：图中阴影局部土地的面积=12A×BC-12AD×CD=12×5×12-17．〔2021秋•金川区校级期末〕如图，一架m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为m．如果将梯子的底端B外移m，顶端A沿着墙壁也下滑m吗？【分析】利用勾股定理解答即可．【解析】依题意，得AB＝，BO＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理，可得：OA=AB2在Rt△COD中，根据勾股定理，可得：OC=CD2∴顶端A沿着墙壁下滑了6﹣＝≠，答：顶端A沿着墙壁没有下滑m．8．〔2021秋•三元区期中〕如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点．〔1〕求AD的长；〔2〕判断△ABD的形状，并说明理由．【分析】〔1〕根据勾股定理解答即可；〔2〕利用勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可．【解析】〔1〕∵AB＝5cm，AC＝4cm，CD＝2cm，由勾股定理得，AD=AC2+C〔2〕由勾股定理得，DB=CD2+C∵AB2＝52＝25，AD2+DB2=(25)2∴AB2＝AD2+DB2，∴△ABD是直角三角形．9．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？【分析】作AH⊥MN于H，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH=12AP＝80，那么点A到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，那么AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性质得BH＝CH，接下来利用勾股定理计算出BH＝60，所以BC＝2BH＝120，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．【解析】学校会受到噪声影响．理由：作AH⊥MN于H，如图，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH=12AP=12×160°＝80而80＜100，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，那么AB＝AC＝100m，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH=1002-80∴BC＝2BH＝120〔m〕，∵拖拉机的速度＝18km/h＝5m/s，∴学校受到的影响的时间=1205=2410．〔2021春•荔湾区校级月考〕如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，那么：〔1〕E站应建在距A站多少千米处？〔2〕DE和EC垂直吗？说明理由．【分析】〔1〕根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE＝CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE＝BC＝10km；〔2〕DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC＝90°，进而可以证明．【解析】〔1〕∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，那么BE＝AB﹣AE＝〔25﹣x〕，∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝〔25﹣x〕2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km．∴BE＝15km．〔2〕DE和EC垂直，理由如下：在△DAE与△EBC中，AD=BE∠∴△DAE≌△EBC〔SAS〕，∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，即DE⊥EC．11．〔2021春•绥宁县期末〕如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，那么满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a〔m〕，AC＝b〔m〕，AD＝x〔m〕，根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x．【解析】Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝a〔m〕，AC＝b〔m〕，AD＝x〔m〕那么10+a＝x+b＝15〔m〕．∴a＝5〔m〕，b＝15﹣x〔m〕又在Rt△ABC中，由勾股定理得：〔10+x〕2+a2＝b2，∴〔10+x〕2+52＝〔15﹣x〕2，解得，x＝2，即AD＝2〔米〕∴AB＝AD+DB＝2+10＝12〔米〕答：树高AB为12米．12．〔2021秋•亭湖区期中〕如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺〔AC＝1尺〕，将它往前推进两步〔EB＝10尺〕，此时踏板升高离地五尺〔BD＝5尺〕，求秋千绳索〔OA或OB〕的长度．【分析】设OA＝OB＝x尺，用x表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解析】设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4〔尺〕，OE＝OA﹣AE＝〔x﹣4〕尺，在Rt△OEB中，OE＝〔x﹣4〕尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝〔x﹣4〕2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝，那么秋千绳索的长度为尺．13．〔2021春•华容县期末〕如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请答复：〔1〕梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？〔2〕梯子顶端A下落的长度AE有多少米？【分析】〔1〕在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，由于梯子的长度不变，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长，从而即可得出答案；〔2〕由AE＝AC﹣EC即可求得结果．【解析】〔1〕∵在Rt△ABC中，AB＝25米，BC＝15米，∴AC=AB2-在Rt△CDE中，∵DE＝AB＝25米，CD＝BC+BD＝15+5＝20〔米〕，∴EC=DE2-答：梯子滑动后，梯子的高度CE是15米；〔2〕由〔1〕知，AC＝20米，EC＝15米，那么AE＝AC﹣EC＝20﹣15＝5〔米〕．答：梯子顶端A下落的长度AE有5米．14．〔2021秋•盐湖区期中〕如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．〔1〕求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；〔2〕求喷泉B到小路AC的最短距离．【分析】〔1〕根据勾股定理解答即可；〔2〕根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．【解析】〔1〕在Rt△MNB中，BN=BM2-MN∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160〔m〕，在Rt△AMN中，AM=AN2+MN∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350〔m〕；〔2〕∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，∴AB2＝BM2+AM2，∴△ABM是直角三角形，∴BM⊥AC，∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．15．〔2021秋•南山区期末〕如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面〔如图为示意图〕．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．【分析】设AB＝x，那么AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝〔x+1〕2，进而得出风筝距离地面的高度AB．【解析】设AB＝x，那么AC＝x+1，由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+52＝〔x+1〕2，解得x＝12，答：风筝距离地面的高度AB为12米．16．〔2021春•南川区期中〕为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行播送，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使播送车P周围1000米以内能听到播送宣传，播送车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假设小明此时在家，他是否能听到？假设能，请求出他总共能听到多长时间的播送？【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．【解析】小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到播送，行驶到Q点小明听不到播送，那么AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=10002-∴PQ＝1600米，∴小明听到播送的时间为：1600÷250＝〔分钟〕，∴他总共能听到分钟的播送．17．〔2021秋•渝中区校级月考〕一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m．〔1〕这个梯子的顶端距地面有多高？〔2〕如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？【分析】应用勾股定理求出AO的高度，以及B′O的距离即可解答．【解析】〔1〕由题意，得AB2＝AO2+BO2，所以：AO=AB2-〔2〕由A′B′2＝A′O2+OB′2，得B′O=A'B'∴BB′＝B′O﹣BO＝15﹣7＝8〔米〕．答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．18．〔2021秋•长春期末〕?城市交通管理条例?规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，假设小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．【解析】由勾股定理可得：BC=AB2-40米＝千米，2秒=11800小时．÷11800=72＞70所以超速了．19．〔2021秋•仪征市期末〕如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．大门宽4尺，请求出竹竿的长．【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．【解析】设门高为x尺，那么竹竿的长为〔x+1〕尺，根据勾股定理可得：x2+42＝〔x+1〕2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝，∴门高尺，竹竿的长＝7.5+1＝〔尺〕．20．〔2021秋•成都期中〕台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．〔1〕海港C受台风影响吗？为什么？〔2〕假设台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】〔1〕利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；〔2〕利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解析】〔1〕海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD=300×400500=240〔km∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．〔2〕当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED=EC2-CD2∴EF＝140km∵台风的速度为25km/h，∴140÷25＝〔小时〕即台风影响该海港持续的时间为小时．21．〔2021春•永定区期中〕如图，木工师傅将一根长米的梯子〔AB〕，斜靠在与地面〔OM〕垂直的墙〔ON〕上，这时梯足B到墙底端O的距离是米，如果梯子的顶端A沿墙下滑米到点A′时，梯足将外移多少米？【分析】在直角△ABO中，AB，BO可以求AO，在△A′OB′中，再利用勾股定理计算出B′O的长，进而可得BB′的长．【解析】在直角△ABO中，AB为斜边，AB＝米，BO＝米，那么根据勾股定理求得AO=AB2∵A点下移米，∴A′O＝2米，在Rt△A′OB′中，A′B′＝米，A′O＝2米，那么根据勾股定理B′O=A'B∴BB′＝OB′﹣BO＝﹣＝〔米〕，所以梯子向外平移米．22．〔2021春•临潼区期末〕如图，一个直径为12cm〔即BC＝12cm〕的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm〔即FG＝2cm〕，当筷子GE倒向杯壁时〔筷子底端不动〕，筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．【分析】根据题意可得DE＝GE，EF＝GE﹣2，在Rt△DFE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解析】设筷子GE的长度是xcm，那么杯子的高度是〔x﹣2〕cm，∵杯子的直径为12cm，∴杯子半径为6cm，∴〔x﹣2〕2+62＝x2，即x2﹣4x+4+36＝x2，解得：x＝10，答：筷子GE的长度是10cm．23．〔2021秋•雁江区期末〕拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．〔1〕学校C会受噪声影响吗？为什么？〔2〕假设拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】〔1〕利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；〔2〕利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【解析】〔1〕学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角