基本知识极坐标和参数方程

高中数学回归课本校本教材24〔一〕根底知识参数极坐标1.极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是，那么有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，，。2.常见的曲线的极坐标方程〔1〕直线过点M,倾斜角为常见的等量关系：正弦定理，；〔2〕圆心P半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；〔3〕圆锥曲线极坐标：，当时，方程表示双曲线；当时，方程表示抛物线；当时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程表示的曲线是双曲线3.参数方程：〔1〕圆的参数方程：〔2〕椭圆的参数方程：〔3〕直线过点M,倾斜角为的参数方程：即，即注：，据锐角三角函数定义，T几何意义是有向线段的数量；如：将参数方程为参数化为普通方程为将代入即可，但是；如：直线为参数被圆截得的弦长为____直线为，弦长.4.极坐标和直角坐标互化公式：或，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.〔1〕它们互化的条件那么是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.〔2〕将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5.极坐标的几个注意点：〔1〕极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点)如：圆的参数方程为〔为参数〕，假设是圆与轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程。如：抛物线，以焦点F为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即。〔2〕对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识缺乏如：椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？〔3〕直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：某曲线的极坐标方程为。〔1〕将上述曲线方程化为普通方程；〔2〕假设点是该曲线上任意点，求的取值范围。〔二〕根本计算1.求点的极坐标：有序实数实数对,叫极径，叫极角；如：点的直角坐标是，那么点的极坐标为提示：都是点的极坐标.2.求曲线轨迹的方程步骤：〔1〕建立坐标系；〔2〕在曲线上取一点P；〔3〕写出等式；〔4〕根据几何意义用表示上述等式，并化简〔注意：〕；〔5〕验证。如：长为的线段，其端点在轴和轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为，求点的轨迹的极坐标方程〔轴为极轴〕，再化为直角坐标方程.解：设点的极坐标为，那么，且，，∴点的轨迹的极坐标方程为.由可得，∴其直角坐标方程为.3.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹最根本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程⑶代入法(相关点法或转移法).如：从极点作圆的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点的极坐标为,圆上的动点的极坐标为由题设可知,,将其代入圆的方程得:.⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某曲线定义,那么可由曲线定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.4.参数和极径的几何意义的运用：表示OM的长度；T几何意义是有向线段的数量；如：过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于AB两点，那么AB最小值为提示：设倾斜角为，那么或AB=，，那么，令，所以，，注意：此题可以取倾斜角的补角为如过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和，，，∴.∴线段的长度为16.如一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.这慧星距太阳千米时，极半径和轨道的轴成角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系，设轨道的极坐标方程为，因为时，，∴，∴，∴轨道的极坐标方程为，当时，.∴这颗慧星轨道的极坐标方程为，它的近日点离太阳的距离为千米.5.参数方程的应用----求最值：如：点是