新教材同步辅导2023年高中数学课时评价作业六等差数列前n项和的性质及其应用新人教A版选择性必修第二册

课时评价作业（六）等差数列前n项和的性质及其应用A级基础巩固1.(2023·广东深圳二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=10,则S30=()A.0B.-10C.-30 D.-40解析:根据题意,数列{an}为等差数列,则S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,则有S10+(S30-S20)=2(S20-S10),即20+(S30-10)=2×(10-20),解得S30=-30.答案:C2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S6=36,Sn=324,Sn-6=144(n>6),则n=()A.15 B.16C.17 D.18解析:因为后6项的和等于Sn-Sn-6=324-144=180,因此6(a1+an)=180+36,所以a1+an=36.因为Sn=324,所以Sn=n2(a1+an)=所以n2×36=324,所以n=18答案:D3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若公差d=12,且S100=145,则a2+a4+a6+…+a98+a100的值为()A.70 B.75C.80 D.85解析:设P=a1+a3+…+a99,Q=a2+a4+…+a100,则Q+P答案:D4.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有SnTn=2n-34n-3A.37 B.521C.19解析:因为SnTn所以a3b4+b8+a9b5+b7=a3答案:C5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=解析:因为{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am.由am-1+am+1-am2=0,得2am-am由S2m-1=38,知am≠0,所以am=2.又因为S2m-1=38,即(2m-1)(a1+a2m-1)2=38,则6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=5.解析:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,故d=1.因为Sm=0,故ma1+m(m-1)2d=0,因为am+am+1=Sm+1-Sm-1=5,所以am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=m=5.7.已知等差数列{an}满足a4=7,a10=19,其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn;(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a1+所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n(1+(2)bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12B级能力提升8.已知等差数列{an}的项数为奇数,若奇数项的和为40,偶数项的和为32,则a5=()A.8 B.9C.10 D.11解析:设等差数列{an}共有2k+1(k∈N*)项,公差为d.因为奇数项的和为40,偶数项的和为32,所以40=a1+a3+…+a2k+1,32=a2+a4+…+a2k,所以72=(2k+1)(a1+又8=a2k+1-kd=ak+1,所以9=2k+1,即等差数列{an}共有9项,且S9=(a1+a9)所以a5=8.答案:A9.设等差数列{an}的公差不为0,其前n项和为Sn,若(a2-1)3+(a2-1)=821,(a820-1)3+(a解析:设f(x)=x3+x,易知f(x)在R上为奇函数,且单调递增.因为f(a2-1)=821,f(a820-1)=-821,所以a2-1+a820-1=0,所以a1+a821=a2+a820=2,所以S821=821(a110.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+9n+2(n∈N*).(1)判断数列{an}是否为等差数列.(2)设Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求Rn.(3)设bn=1n(12-an)(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn,是否存在最小的正整数n0,使得不等式Tn<n032对一切正整数n总成立?如果存在,解:(1)由题意,知数列{an}的前n项和Sn=-n2+9n+2(n∈N*),当n=1时,a1=S1=10,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+9n+2-[-(n-1)2+9(n-1)+2]=-2n+10,当n=1时,不符合此式,所以数列{an}的通项公式为an=10所以数列{an}不是等差数列.(2)由(1)知,令an≥0,解得n≤5,所以当1≤n≤5,n∈N*时,an≥0,当n≥6,n∈N*时,an<0.①当n≤5时,Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+9n+2.②当n≥6时,Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+…+an)=R5-(n-5)(a6+综上,可得Rn=-(3)由(1),可得当n=1时,b1=12当n≥2时,bn=1n(12-aTn=b1+b2+b3+…+bn=12+1212-13+1要使得不等式Tn<n032对一切正整数n总成立,则34≤n032所以n0的最小值为24.C级挑战创新11.多选题数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,…,1A.a24=2B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等差数列C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=nD.若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=5解析:以2到7为分母的项共有1+2+3+…+6=21(个),故a22=18,a23=28,a24=38,故对于B项,设构造的新数列为{bn},则bn=1n+1+2n+1+…+则d=bn-bn-1=12,则{bn}为等差数列,故B项正确数列n2的前n项和为Tn=12+n2×n÷2=n根据C项可知,T6=62+64=212,即S又S20=212-67<10,所以k=20,又a20=57,故答案:BCD12.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=12x2+12x(1)求{an}的通项公式;(2)设数列1anan+2的前n项和为Tn,不等式Tn>13loga(1-a)对任意正整数解:(1)因为点(n,Sn)在函数y=12x2+12x所以Sn=12n2+12n(n∈N*).当n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,Sn-1=12(n-1)2+12(n-1),①-②,得an=n.当n=1时,a1=S1=1,符合an=n.所以an=n(n∈N*).(2)由(1),得