第24章解直角三角形复习讲义学生版

第24章解直角三角形复习讲义一、基础知识精讲：（一）锐角三角函数定义：在中，，设，，，则有：，，（二）同角三角函数的关系:1.平方关系：：（三）互余两角的三角函数关系：（四）特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1（五）直角三角形的性质：如图：在中，，设，，，则有：1.角角关系：两锐角互余，即；2.边边关系：勾股定理，即；3.边角关系：锐角三角函数，即，，，，（六）相关概念：1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。2.仰角：视线在水平线上方的角；3.俯角：视线在水平线下方的角。4.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.5.坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)，用字母表示，即；把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么二、解直角三角形主要考点：考点一：两个概念：锐角三角函数，解直角三角形（一）求锐角三角函数（Ⅰ）运用定义求锐角三角函数值CDAB1.在中，，垂足为D，则下列比值中不等于的是（）CDABA、B、C、D、中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为___________．3.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（

）A．B．C．D．4.如图，过矩形ABCD的顶点B作BE丄AC，垂足为E，延长BE交AD于点F，若点F是边AD的中点，则的值是__________.5.如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．（1）求证：；（2）若，，求的值．（Ⅱ）巧设参数求锐角三角函数值1.在△ABC中，，，则等于()A.B.C.D.2.是中，，所对的边，且，则的值为（）A.B.C.D.（Ⅲ）利用等角转换求锐角三角函数值1.如图，在中，，AC=BC=4，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为_______．2.如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．（1）求证：∽；（2）若，求的值．3.如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线∥∥∥且间距相等，，则的值为 A．B．C．D．（Ⅳ）利用构造（直角三角形）法求锐角三角函数值（ⅰ）化斜三角形为直角三角形求锐角三角函数值1.在中,,,，则（ⅱ）利用网格构建直角三角形求锐角三角函数值1.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则____。2．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（

）A．B．C．D．3.如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（）A、 B、 C、 D、（Ⅴ）利用同角三角函数关系求锐角三角函数值1.已知是锐角，且，求的值。2.若为锐角，，求的值．3.在中，已知，，则．4.若为锐角且,求的值（Ⅵ）利用互余角三角函数关系求锐角三角函数值1.计算：＝。2.计算：＝（二）解直角三角形1.在中，，，，则.考点二：一个运算：特殊角的三角函数值与实数运算1.已知是锐角，，则等于()A.30°B.45°C.60°D.不能确定2.若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形为(

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.计算：考点三：一个性质：直角三角形的性质1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A．2a B． C．3a D．2.如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．考点四：两个应用：解直角三角形几何图形中的应用，解直角三角形的实际应用（一）解直角三角形几何图形中的应用1.如图，已知中，，，，，为边上的中线．（1）求的长；（2）求的值．2.如图，中，，，垂直平分，，则．已知，在中，，，，则的面积为（二）解直角三角形的实际应用（Ⅰ）仰角、俯角问题（ⅰ）“独立”型1.2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是_________米（结果精确到米，）．（ⅱ）两个直角三角形并排型1．如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为____．（，结果精确到）2.超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，,在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．(1)求两点之间的距离（结果精确到）；(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：）（ⅲ）两个直角三角形叠合型1.为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）2.我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）3.某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．4．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD，如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°，线段AM的长为无人机距离底面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中，米。（1）求无人机的飞行高度AM（结果保留根号）；（2）求河流的宽度CD.（结果精确到1米，参考数据：，）（ⅳ）两个直角三角形斜截型1.“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）（Ⅱ）坡度、坡角问题（ⅰ）“独立”型1.雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等。如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑65m，则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度为（）A、13m B、25m C、D、156m（ⅱ）两个直角三角形并排型2.如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（B）米．A.B.C.D.3.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，米，米（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由。（ⅲ）两个直角三角形叠合型1.宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）

2.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性．工人师傅欲减少传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为5米．（参考数据：,,,）（1）求新传送带的长度；（2）如果需要在货物着地点的正前方留出1米的通道，试判断距离点3米的货物是否需要挪走．并说明理由．（ⅳ）两个直角三角形斜截型1．春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为，再沿着坡面向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为，坡面的坡度，，(假设A、B、C、D、E在同一平面内)．(1)求点B的高度(2)求“新”字的高度．(长保留一位小数，参考数据)（Ⅲ）方位角问题（ⅰ）“独立”型1.深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（，，）（ⅱ）两个直角三角形并排型1.人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．(1)求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：，）（ⅲ）两个直角三角形叠合型1.某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？（Ⅳ）生活情景、实物类问题10m18°DCEAB1.地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题，如图是某小区的地下停车场坡道入口的设计示意图，其中，，，C在BD上，.根据规定，地下停车场坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入，小刚认为CD的长就是所限制的高度，而