湖南部分校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）

高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占20％，必修第二册占30％，选择性必修第一册占50％.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.设直线，若，则（）A. B. C. D.3.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（）A. B.34 C.52 D.4.已知函数的图象过定点，则函数在区间上的值域为（）A. B. C. D.5.已知圆和圆，其中，则使得两圆相交一个充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为，动点P在抛物线C上，点，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.57.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知，，，P为内一点，记，则的最小值为（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各对事件中，为相互独立事件的是（）A.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”B.袋中有3白､2黑共5个大小相同小球，依次有放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”10.设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（）A.的最小值为1 B.的最小值为2C.最大值为2 D.的最大值为211.已知.则下列判断正确的是（）A.若，，且，则；B.若在上恰有9个零点，则的取值范围为；C.存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；D.若在上单调递增，则的取值范围为.12.已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是体对角线上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A.存在某一位置，与垂直B.三棱锥体积的最大值是C.二面角的正切值是D.当最大时，三棱锥的外接球表面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13设，则______.14.已知向量，满足，，且，则__________.15.，对于，，都有成立，则的取值范围是__________.16.已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线l交双曲线于、两点，线段的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是__________.四、解答题：本题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知圆，直线.（1）求证直线恒过定点；（2）直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.18.“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间，湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：请完成以下问题：（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为和的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在内的概率.19.在直三棱柱中，D，E分别是，的中点.（1）求证：平面；（2），，，求二面角正切值.20.如图，在四边形中，，.（1）求证：（2）若，，，求的面积.21.如图，四面体中，，，，E为的中点.（1）证明：平面平面；（2），，点F在上，当的面积最小时，