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文档简介
吉林省长春市东北师大附中明珠校2024届中考数学最后冲刺模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(―3,6)、B(―9,一3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是()A.(―1,2)B.(―9,18)C.(―9,18)或(9,―18)D.(―1,2)或(1,―2)2.如图,经过测量,C地在A地北偏东46°方向上,同时C地在B地北偏西63°方向上,则∠C的度数为()A.99° B.109° C.119° D.129°3.已知,如图,AB//CD,∠DCF=100°,则∠AEF的度数为()A.120° B.110° C.100° D.80°4.下列各式正确的是()A.﹣(﹣2018)=2018 B.|﹣2018|=±2018 C.20180=0 D.2018﹣1=﹣20185.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH=()A. B. C.12 D.246.如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA在x轴上,OB在y轴上,点A、B的坐标分别为(,0),(0,1),把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B,则点O′的坐标为()A. B. C. D.7.下面四个立体图形,从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是A. B. C. D.8.函数(为常数)的图像上有三点,,,则函数值的大小关系是()A.y3<y1<y2 B.y3<y2<y1 C.y1<y2<y3 D.y2<y3<y19.对于代数式ax2+bx+c(a≠0),下列说法正确的是()①如果存在两个实数p≠q,使得ap2+bp+c=aq2+bq+c,则a+bx+c=a(x-p)(x-q)②存在三个实数m≠n≠s,使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac<0,则一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c④如果ac>0,则一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+cA.③ B.①③ C.②④ D.①③④10.下列运算正确的是()A.a12÷a4=a3 B.a4•a2=a8 C.(﹣a2)3=a6 D.a•(a3)2=a711.如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为(
)A.35° B.45° C.55° D.65°12.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,⊙O的半径为4,则AC的长等于()A.4 B.6 C.2 D.8二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,在正方形中,对角线与相交于点,为上一点,,为的中点.若的周长为18,则的长为________.14.在数轴上与表示11的点距离最近的整数点所表示的数为_____.15.若关于的一元二次方程(m-1)x2-4x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为_____________.16.在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是_____.17.若一组数据1,2,3,的平均数是2,则的值为______.18.如图,无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°,如果无人机距地面高度CD为米,点A、D、B在同一水平直线上,则A、B两点间的距离是_____米.(结果保留根号)三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)五一期间,小红到郊野公园游玩,在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向,然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向,求景点A与景点B之间的距离.(结果保留整数)参考数据:sin37≈0.60,cos37°=0.80,tan37°≈0.7520.(6分)庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲,乙两种T恤共400件,其每件的售价与进货量(件)之间的关系及成本如下表所示:T恤每件的售价/元每件的成本/元甲50乙60(1)当甲种T恤进货250件时,求两种T恤全部售完的利润是多少元;若所有的T恤都能售完,求该商店获得的总利润(元)与乙种T恤的进货量(件)之间的函数关系式;在(2)的条件下,已知两种T恤进货量都不低于100件,且所进的T恤全部售完,该商店如何安排进货才能使获得的利润最大?21.(6分)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图所示,求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).22.(8分)如图,在中,AB=AC,,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.(1)∠EDB=_____(用含的式子表示)(2)作射线DM与边AB交于点M,射线DM绕点D顺时针旋转,与AC边交于点N.①根据条件补全图形;②写出DM与DN的数量关系并证明;③用等式表示线段BM、CN与BC之间的数量关系,(用含的锐角三角函数表示)并写出解题思路.23.(8分)如图,在△ABC中,BC=12,tanA=,∠B=30°;求AC和AB的长.24.(10分)某新建成学校举行美化绿化校园活动,九年级计划购买A,B两种花木共100棵绿化操场,其中A花木每棵50元,B花木每棵100元.(1)若购进A,B两种花木刚好用去8000元,则购买了A,B两种花木各多少棵?(2)如果购买B花木的数量不少于A花木的数量,请设计一种购买方案使所需总费用最低,并求出该购买方案所需总费用.25.(10分)实践体验:(1)如图1:四边形ABCD是矩形,试在AD边上找一点P,使△BCP为等腰三角形;(2)如图2:矩形ABCD中,AB=13,AD=12,点E在AB边上,BE=3,点P是矩形ABCD内或边上一点,且PE=5,点Q是CD边上一点,求PQ得最值;问题解决:(3)如图3,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=3,BC=6,DC=4,点E在AB边上,BE=2,点P是四边形ABCD内或边上一点,且PE=2,求四边形PADC面积的最值.26.(12分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠BAC=60°,∠ABE=25°.求∠DAC的度数.27.(12分)如图,网格的每个小正方形边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.已知和的顶点都在格点上,线段的中点为.(1)以点为旋转中心,分别画出把顺时针旋转,后的,;(2)利用(1)变换后所形成的图案,解答下列问题:①直接写出四边形,四边形的形状;②直接写出的值;③设的三边,,,请证明勾股定理.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、D【解题分析】
试题分析:方法一:∵△ABO和△A′B′O关于原点位似,∴△ABO∽△A′B′O且=.∴==.∴A′E=AD=2,OE=OD=1.∴A′(-1,2).同理可得A′′(1,―2).方法二:∵点A(―3,6)且相似比为,∴点A的对应点A′的坐标是(―3×,6×),∴A′(-1,2).∵点A′′和点A′(-1,2)关于原点O对称,∴A′′(1,―2).故答案选D.考点:位似变换.2、B【解题分析】
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角,根据平行线的性质求得∠ACF与∠BCF的度数,∠ACF与∠BCF的和即为∠C的度数.【题目详解】解:由题意作图如下∠DAC=46°,∠CBE=63°,由平行线的性质可得∠ACF=∠DAC=46°,∠BCF=∠CBE=63°,∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=46°+63°=109°,故选B.【题目点拨】本题考查了方位角和平行线的性质,熟练掌握方位角的概念和平行线的性质是解题的关键.3、D【解题分析】
先利用邻补角得到∠DCE=80°,然后根据平行线的性质求解.【题目详解】∵∠DCF=100°,∴∠DCE=80°,∵AB∥CD,∴∠AEF=∠DCE=80°.故选D.【题目点拨】本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.4、A【解题分析】
根据去括号法则、绝对值的性质、零指数幂的计算法则及负整数指数幂的计算法则依次计算各项即可解答.【题目详解】选项A,﹣(﹣2018)=2018,故选项A正确;选项B,|﹣2018|=2018,故选项B错误;选项C,20180=1,故选项C错误;选项D,2018﹣1=,故选项D错误.故选A.【题目点拨】本题去括号法则、绝对值的性质、零指数幂的计算法则及负整数指数幂的计算法则,熟知去括号法则、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解决问题的关键.5、A【解题分析】
解:如图,设对角线相交于点O,∵AC=8,DB=6,∴AO=AC=×8=4,BO=BD=×6=3,由勾股定理的,AB===5,∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD,即5DH=×8×6,解得DH=.故选A.【题目点拨】本题考查菱形的性质.6、B【解题分析】
连接OO′,作O′H⊥OA于H.只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题.【题目详解】连接OO′,作O′H⊥OA于H,在Rt△AOB中,∵tan∠BAO==,∴∠BAO=30°,由翻折可知,∠BAO′=30°,∴∠OAO′=60°,∵AO=AO′,∴△AOO′是等边三角形,∵O′H⊥OA,∴OH=,∴OH′=OH=,∴O′(,),
故选B.【题目点拨】本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是发现特殊三角形,利用特殊三角形解决问题.7、B【解题分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的图形.【题目详解】解:A、主视图为三角形,左视图为三角形,俯视图为有对角线的矩形,故本选项错误;B、主视图为等腰三角形,左视图为等腰三角形,俯视图为圆,从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形,故本选项正确;C、主视图为长方形,左视图为长方形,俯视图为圆,故本选项错误;D、主视图为长方形,左视图为长方形,俯视图为长方形,故本选项错误.故选:B.【题目点拨】本题重点考查三视图的定义以及考查学生的空间想象能力.8、A【解题分析】试题解析:∵函数y=(a为常数)中,-a1-1<0,∴函数图象的两个分支分别在二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大,∵>0,∴y3<0;∵-<-,∴0<y1<y1,∴y3<y1<y1.故选A.9、A【解题分析】设(1)如果存在两个实数p≠q,使得ap2+bp+c=aq2+bq+c,则说明在中,当x=p和x=q时的y值相等,但并不能说明此时p、q是与x轴交点的横坐标,故①中结论不一定成立;(2)若am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c,则说明在中当x=m、n、s时,对应的y值相等,因此m、n、s中至少有两个数是相等的,故②错误;(3)如果ac<0,则b2-4ac>0,则的图象和x轴必有两个不同的交点,所以此时一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c,故③在结论正确;(4)如果ac>0,则b2-4ac的值的正负无法确定,此时的图象与x轴的交点情况无法确定,所以④中结论不一定成立.综上所述,四种说法中正确的是③.故选A.10、D【解题分析】
分别根据同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则逐一计算即可得.【题目详解】解:A、a12÷a4=a8,此选项错误;
B、a4•a2=a6,此选项错误;
C、(-a2)3=-a6,此选项错误;
D、a•(a3)2=a•a6=a7,此选项正确;
故选D.【题目点拨】本题主要考查幂的运算,解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则.11、C【解题分析】分析:由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°;而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°,则由∠CAB=90°-∠B即可求得.详解:∵∠ADC=35°,∠ADC与∠B所对的弧相同,∴∠B=∠ADC=35°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°-∠B=55°,故选C.点睛:本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.12、A【解题分析】
解:连接OA,OC,过点O作OD⊥AC于点D,∵∠AOC=2∠B,且∠AOD=∠COD=∠AOC,∴∠COD=∠B=60°;在Rt△COD中,OC=4,∠COD=60°,∴CD=OC=2,∴AC=2CD=4.故选A.【题目点拨】本题考查三角形的外接圆;勾股定理;圆周角定理;垂径定理.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、【解题分析】
先根据直角三角形的性质求出DE的长,再由勾股定理得出CD的长,进而可得出BE的长,由三角形中位线定理即可得出结论.【题目详解】解:∵四边形是正方形,∴,,.在中,为的中点,∴.∵的周长为18,,∴,∴.在中,根据勾股定理,得,∴,∴.在中,∵,为的中点,又∵为的中位线,∴.故答案为:.【题目点拨】本题考查的是正方形的性质,涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识,难度适中.14、3【解题分析】11≈3.317,且11在3和4之间,∵3.317-3=0.317,4-3.317=0.683,且0.683>0.317,∴11距离整数点3最近.15、且【解题分析】试题解析:∵一元二次方程有两个不相等的实数根,∴m−1≠0且△=16−4(m−1)>0,解得m<5且m≠1,∴m的取值范围为m<5且m≠1.故答案为:m<5且m≠1.点睛:一元二次方程方程有两个不相等的实数根时:16、2+【解题分析】
试题分析:过P点作PE⊥AB于E,过P点作PC⊥x轴于C,交AB于D,连接PA.∵PE⊥AB,AB=2,半径为2,∴AE=AB=,PA=2,根据勾股定理得:PE=1,∵点A在直线y=x上,∴∠AOC=45°,∵∠DCO=90°,∴∠ODC=45°,∴△OCD是等腰直角三角形,∴OC=CD=2,∴∠PDE=∠ODC=45°,∴∠DPE=∠PDE=45°,∴DE=PE=1,∴PD=∵⊙P的圆心是(2,a),∴a=PD+DC=2+.【题目点拨】本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用,属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就是在于作出辅助线,将所求的线段放入到直角三角形中.本题还需要注意的一个隐含条件就是:直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°,这一个条件的应用也是很重要的.17、1【解题分析】
根据这组数据的平均数是1和平均数的计算公式列式计算即可.【题目详解】∵数据1,1,3,的平均数是1,∴,解得:.故答案为:1.【题目点拨】本题考查了平均数的定义,根据平均数的定义建立方程求解是解题的关键.18、100(1+)【解题分析】分析:如图,利用平行线的性质得∠A=60°,∠B=45°,在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100,在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100,然后计算AD+BD即可.详解:如图,∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°,∴∠A=60°,∠B=45°,在Rt△ACD中,∵tanA=,∴AD==100,在Rt△BCD中,BD=CD=100,∴AB=AD+BD=100+100=100(1+).答:A、B两点间的距离为100(1+)米.故答案为100(1+).点睛:本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题:解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、景点A与B之间的距离大约为280米【解题分析】
由已知作PC⊥AB于C,可得△ABP中∠A=37°,∠B=45°且PA=200m,要求AB的长,可以先求出AC和BC的长.【题目详解】解:如图,作PC⊥AB于C,则∠ACP=∠BCP=90°,由题意,可得∠A=37°,∠B=45°,PA=200m.在Rt△ACP中,∵∠ACP=90°,∠A=37°,∴AC=AP•cosA=200×0.80=160,PC=AP•sinA=200×0.60=1.在Rt△BPC中,∵∠BCP=90°,∠B=45°,∴BC=PC=1.∴AB=AC+BC=160+1=280(米).答:景点A与B之间的距离大约为280米.【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,对于解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.20、(1)10750;(2);(3)最大利润为10750元.【解题分析】
(1)根据“利润=销售总额-总成本”结合两种T恤的销售数量代入相关代数式进行求解即可;(2)根据题意,分两种情况进行讨论:①0<m<200;②200≤m≤400时,根据“利润=销售总额-总成本”即可求得各相关函数关系式;(3)求出(2)中各函数最大值,进行比较即可得到结论.【题目详解】(1)∵甲种T恤进货250件∴乙种T恤进货量为:400-250=150件故由题意得,;(2)①②;故.(3)由题意,,①,,②,综上,最大利润为10750元.【题目点拨】本题考查了二次函数的应用,找出题中的等量关系以及根据题意确定二次函数的解析式是解题的关键.21、100米.【解题分析】【分析】如图,作PC⊥AB于C,构造出Rt△PAC与Rt△PBC,求出AB的长度,利用特殊角的三角函数值进行求解即可得.【题目详解】如图,过P点作PC⊥AB于C,由题意可知:∠PAC=60°,∠PBC=30°,在Rt△PAC中,tan∠PAC=,∴AC=PC,在Rt△PBC中,tan∠PBC=,∴BC=PC,∵AB=AC+BC=PC+PC=10×40=400,∴PC=100,答:建筑物P到赛道AB的距离为100米.【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用,正确添加辅助线构造直角三角形,利用特殊角的三角函数值进行解答是关键.22、(1);(2)(2)①见解析;②DM=DN,理由见解析;③数量关系:【解题分析】
(1)先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C=90°﹣α,然后利用互余可得到∠EDB=α;(2)①如图,利用∠EDF=180°﹣2α画图;②先利用等腰三角形的性质得到DA平分∠BAC,再根据角平分线性质得到DE=DF,根据四边形内角和得到∠EDF=180°﹣2α,所以∠MDE=∠NDF,然后证明△MDE≌△NDF得到DM=DN;③先由△MDE≌△NDF可得EM=FN,再证明△BDE≌△CDF得BE=CF,利用等量代换得到BM+CN=2BE,然后根据正弦定义得到BE=BDsinα,从而有BM+CN=BC•sinα.【题目详解】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C(180°﹣∠A)=90°﹣α.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴∠EDB=90°﹣∠B=90°﹣(90°﹣α)=α.故答案为:α;(2)①如图:②DM=DN.理由如下:∵AB=AC,BD=DC,∴DA平分∠BAC.∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF,∠MED=∠NFD=90°.∵∠A=2α,∴∠EDF=180°﹣2α.∵∠MDN=180°﹣2α,∴∠MDE=∠NDF.在△MDE和△NDF中,∵,∴△MDE≌△NDF,∴DM=DN;③数量关系:BM+CN=BC•sinα.证明思路为:先由△MDE≌△NDF可得EM=FN,再证明△BDE≌△CDF得BE=CF,所以BM+CN=BE+EM+CF﹣FN=2BE,接着在Rt△BDE可得BE=BDsinα,从而有BM+CN=BC•sinα.【题目点拨】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质.23、8+6.【解题分析】
如图作CH⊥AB于H.在Rt△BHC求出CH、BH,在Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题;【题目详解】解:如图作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中,∵BC=12,∠B=30°,∴CH=BC=6,BH==6,在Rt△ACH中,tanA==,∴AH=8,∴AC==10,【题目点拨】本题考查解直角三角形,锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.24、(1)购买A种花木40棵,B种花木60棵;(2)当购买A种花木50棵、B种花木50棵时,所需总费用最低,最低费用为7500元.【解题分析】
(1)设购买A种花木x棵,B种花木y棵,根据“A,B两种花木共100棵、购进A,B两种花木刚好用去8000元”列方程组求解可得;(2)设购买A种花木a棵,则购买B种花木(100﹣a)棵,根据“B花木的数量不少于A花木的数量”求得a的范围,再设购买总费用为W,列出W关于a的解析式,利用一次函数的性质求解可得.【题目详解】解析:(1)设购买A种花木x棵,B种花木y棵,根据题意,得:,解得:,答:购买A种花木40棵,B种花木60棵;(2)设购买A种花木a棵,则购买B种花木(100﹣a)棵,根据题意,得:100﹣a≥a,解得:a≤50,设购买总费用为W,则W=50a+100(100﹣a)=﹣50a+10000,∵W随a的增大而减小,∴当a=50时,W取得最小值,最小值为7500元,答:当购买A种花木50棵、B种花木50棵时,所需总费用最低,最低费用为7500元.考点:一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.25、(1)见解析;(2)PQmin=7,PQmax=13;(3)Smin=,Smax=18.【解题分析】
(1)根据全等三角形判定定理求解即可.(2)以E为圆心,以5为半径画圆,①当E、P、Q三点共线时最PQ最小,②当P点在位置时PQ最大,分类讨论即可求解.(3)以E为圆心,以2为半径画圆,分类讨论出P点在位置时,四边形PADC面积的最值即可.【题目详解】(1)当P为AD中点时,,△BCP
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