基础典型题归类与解析-选修2-2导数及其应用(全章)

根底典型题归类与解析--------选修2—2导数及其应用〔全章〕对根底典型题进行归类解析，并辅之以同类变式题目进行稳固练习，是老师教学笔记的核心内容与教学精华所在，也是提高学生好题本含金量的试题秘集。当学生会总结数学题，会对所做的题目分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，他才真正掌握了学数学的窍门，才能真正做到"任它千变万化，我自岿然不动"。一、题型一：利用导数概念求导数例1．s=，求t=3秒时的瞬时速度。解析：由题意可知某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限。V===〔6+=3g=29.4(米/秒)。变式练习：求函数y=的导数。解析：=-2、例2函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，那么lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－2Δx－fx0,Δx)＝____解析：lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－2Δx－fx0,Δx)＝－2lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(－2Δx→0))eq\f(fx0－2Δx－fx0,－2Δx)＝－2f′(x0)＝－2×变式练习：假设f′(x0)＝2，求eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)的值．解：令－k＝Δx，∵k→0，∴Δx→0.那么原式可变形为eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,－2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－eq\f(1,2)×2＝－1.二、题型二：深入领会导数的几何意义导数的几何意义:导数值对应函数在该点处的切线斜率。1、曲线上的点求此点切线斜率例3．曲线y＝2x2上一点A(2,8)，那么A处的切线斜率为()A．4B．16解析：选C.曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．f′(x)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(2x＋Δx2－2x2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(4x·Δx＋2Δx2,Δx)＝4x.那么f′(2)＝8.变式训练〔1〕：曲线y＝eq\f(1,2)x2－2上一点P(1，－eq\f(3,2))，那么过点P的切线的倾斜角为________．解析：∵y＝eq\f(1,2)x2－2，∴y′＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)x＋Δx2－2－\f(1,2)x2－2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)Δx2＋x·Δx,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))(x＋eq\f(1,2)Δx)＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点P(1，－eq\f(3,2))处的切线的斜率为1，那么切线的倾斜角为45°.变式训练〔2〕：求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解：曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率k＝y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.切线斜率求相关点坐标例4函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，那么x0＝_________.解析：2＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋4x0＋Δx－x\o\al(2,0)－4x0,Δx)＝2x0＋4，∴x0＝－1.变式训练：以下点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为eq\f(π,4)的是()A．(0,0)B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16))D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))解析：选D.k＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.∵倾斜角为eq\f(π,4)，∴斜率为1.∴2x＝1，得x＝eq\f(1,2)，应选D.三、题型三：利用求导公式及法那么求导及其应用1、对数函数求导及应用例5．f(x)＝logeq\r(2)x；解：f′(x)＝(logeq\r(2)x)′＝eq\f(1,xln\r(2))＝eq\f(2,xln2).变式练习：〔1〕、设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，那么a＝_________解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴lna＝－1，a＝eq\f(1,e).〔2〕、直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，那么k的值等于________．解析：因为y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，设切点为(x0，y0)，那么切线方程为y－y0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq\f(1,x0)x＋lnx0x0－1＝0，得x0＝e.∴k＝eq\f(1,e).2、指数函数求导例6f(x)＝2－x解∵2－x＝(eq\f(1,2))x，∴f′(x)＝[(eq\f(1,2))x]′＝(eq\f(1,2))xlneq\f(1,2)＝－(eq\f(1,2))xln2.3、幂函数求导及应用例7．f(x)＝xa，那么f′(－1)＝－4，那么a的值等于()A．4B．－4解析：选A.f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，aA.变式练习．求与曲线y＝eq\r(3,x2)在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．解：∵y＝eq\r(3,x2)，∴y′＝(eq\r(3,x2))′＝(xeq\f(2,3))′＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)，∴y′|x＝8＝eq\f(2,3)×8－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).即在点P(8,4)的切线的斜率为eq\f(1,3).∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y－4＝－3(x－8)，即3x＋y－28＝0.四、题型四：复合函数求导及应用1、用和、差、积、商求导法那么求复合函数导数例8求以下复合函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝eq\f(x,1＋x)；(3)y＝lgx－ex；解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝eq\f(1＋x－x,1＋x2)＝eq\f(1,1＋x2).(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝eq\f(1,xln10)－ex.2、例9．求以下复合函数的导数：(1)f(x)＝ln(8x)；(2)f(x)＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)；(3)y＝5log2(2x＋1)．(4)y＝sin2x－cos2x.解：(1)因为f(x)＝ln(8x)＝ln8＋lnx，所以f′(x)＝(ln8)′＋(lnx)′＝eq\f(1,x).(2)因为f(x)＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)＝1－eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))－1＝－eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))＝eq\f(1－x,\r(x))，所以f′(x)＝eq\f(－1·\r(x)－1－x·\f(1,2\r(x)),x)＝－eq\f(1,2\r(x))(1＋eq\f(1,x))．(3)设y＝5log2u，u＝2x＋1，那么y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝eq\f(10,uln2)＝eq\f(10,2x＋1ln2).(4)法一：y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))．法二：∵y＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))，∴y′＝eq\r(2)cos(2x－eq\f(π,4))·2＝2eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))．3、复合函数求导的应用例10、f(x)＝ax3＋3x2＋2，假设f′(－1)＝4，那么a的值是()A.eq\f(19,3)B.eq\f(16,3)C.eq\f(13,3)D.eq\f(10,3)解析：选D.∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a∴a＝eq\f(10,3).变式练习〔1〕．假设函数f(x)＝eq\f(ex,x)在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，那么c的值为________．解析：∵f(x)＝eq\f(ex,x)，∴f(c)＝eq\f(ec,c)，又f′(x)＝eq\f(ex·x－ex,x2)＝eq\f(exx－1,x2)，∴f′(c)＝eq\f(ecc－1,c2).依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴eq\f(ec,c)＋eq\f(ecc－1,c2)＝0，∴2c－1＝0得c＝eq\f(1,2).变式练习〔2〕假设函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，那么f′(－1)＝()A．－1B．－2解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，假设f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b4、导数中利用待定系数法求解析式例11、f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(xf(x解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，那么f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(xx2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c要使方程对任意x恒成立，那么需有a＝b，b＝2c，c解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.小结：〔1〕求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少过失；如：例8中1、2〔2〕有的函数虽然外表形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以防止使用商的求导法那么，减少运算量。五、题型五：借助导数处理单调区间、极值和最值问题1、函数解析式求其单调区间例12．求以下函数的单调区间．(1)y＝x－lnx；(2)y＝eq\f(1,2x).解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－eq\f(1,x).令1－eq\f(1,x)>0，解得x>1；再令1－eq\f(1,x)<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y′＝－eq\f(1,2x2)，所以当x≠0时，y′＝－eq\f(1,2x2)<0，而当x＝0时，函数无意义，所以y＝eq\f(1,2x)在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，即y＝eq\f(1,2x)的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．变式练习：函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，应选D.2、函数单调区间求解析式中的参数值例13、假设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，那么b＝___，c＝___解析：∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－eq\f(3,2)，c＝－6.变式练习：假设函数y＝－eq\f(4,3)x3＋ax有三个单调区间，那么a的取值范围是________．解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.3、用导数解复杂函数中的恒成立问题例14．函数y＝ax3－x在R上是减函数，那么()A．a≥eq\f(1,3)B．a＝1C．a＝2D．a≤0解析：选D.因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，即3ax2≤1恒成立．当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；变式练习．函数f(x)＝ax－eq\f(a,x)－2lnx(a≥0)，假设函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．解：f′(x)＝a＋eq\f(a,x2)－eq\f(2,x)，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，只需f′(x)在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.当a＝0时，f′(x)＝－eq\f(2,x)<0在(0，＋∞)内恒成立；当a>0时，要使f′(x)＝a(eq\f(1,x)－eq\f(1,a))2＋a－eq\f(1,a)≥0恒成立，∴a－eq\f(1,a)≥0，解得a≥1.综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.4、通过导数解决函数极值问题例15、函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，在(－1,5)上f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值＝f(5)＝－98.变式练习：函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2B．2，－1解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)·(x＋1)，∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，∴x＝－1时取极小值．例16、函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，f(x)在x＝－3时取得极值，那么a＝()A．2B．3解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a∴a＝5.变式练习〔1〕：函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，那么a、b的值为()A．a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确解析：选A.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1处f′(x)有极值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或a＝－4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝11.))当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝－3))时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝－3))舍去．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝11.))变式练习〔2〕：假设函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，那么实数m等于________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.例17、设a∈R，假设函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，那么a的取值范围为________．解析：y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.∴(－∞，－1)变式练习：函数y＝x－ln(1＋x2)，那么y的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D.f′(x)＝1－eq\f(2x,1＋x2)＝eq\f(x－12,1＋x2)≥0，∴函数f(x)在定义域R上为增函数。综合练习：(2023年高考安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1〔0<x<2π〕，求函数f(x)的单调区间与极值．解：由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，于是f′(x)＝1＋eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))．令f′(x)＝0，从而sin(x＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，得x＝π，或x＝eq\f(3π,2).当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，π)π(π，eq\f(3π,2))eq\f(3π,2)(eq\f(3π,2)，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)↗π＋2↘eq\f(3π,2)↗因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(eq\f(3π,2)，2π)，单调递减区间是(π，eq\f(3π,2))，极小值为f(eq\f(3π,2))＝eq\f(3π,2)，极大值为f(π)＝π＋2.5、通过导数解决函数最值问题例18、〔06浙江卷〕在区间上的最大值是〔〕(A)－2(B)0(C)2(D)4解析：，令可得x＝0或2〔2舍去〕，当－1x0时，0，当0x1时，0，所以当x＝0时，f〔x〕取得最大值为2。选C；变式练习〔1〕：函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．解析：由y′＝12x2－16x＝0，得x＝0或x＝eq\f(4,3).当x＝0时，y＝0；当x＝eq\f(4,3)时，y＝－eq\f(128,27)；当x＝－2时，y＝－64；当x＝2时，y＝0.比拟可知ymax＝0，ymin＝－64.变式练习〔2〕：函数y＝xex的最小值为________．解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1.当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.∴ymin＝f(－1)＝－eq\f(1,e).例19．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，那么其最小值为()A．－10B．－71C．－15D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.变式练习(1):f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，那么m的取值范围是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(m,2).由题设得eq\f(m,2)∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．变式练习(2)．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，那么a＝________，b＝________.解析：y′＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，x1＝0，x2＝eq\r(2)，x3＝－eq\r(