第九节-定积分的物理应用举例课件

第九节定积分的物理应用举例一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力四、小结一、变力沿直线所作的功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为

W=F·s如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而要采用“微元法”的思想解决.例1把一个带+q电量的点电荷放在x轴上坐标原点O处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为(k是常数)，当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿x轴移动到r=b(a<b)处时，计算电场力F对它所作的功．解功元素所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处点击图片任意处播放\暂停解建立坐标系如图例2一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？这一薄层水的重力为功元素为(千焦)．例2一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？如果把例中的蓄水池改为球形或锥形的情况,如何分析？解设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为例3

用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？设

次击入的总深度为厘米次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等．次击入的总深度为第次击入的深度为二、水压力由物理学知道，在水深为

h处的压强为

p=

·g·h,这里

是水的密度．如果有一面积为

A的平板水平地放置在水深为

h处，那么平板一侧所受的水静压力为F=p·A=

·g·h

·A．如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而要采用“微元法”的思想解决．例1某水库闸门为长a米、宽b米的矩形，垂直放在水中，水面超过门顶c米，求闸门一侧所受的水压力。一般地可以解决：例2设平板由曲线y=f(x)与x=a,x=b及x轴围成，且垂直放置在水中，设y轴为水平面，求平板一侧所受的压力。解建立坐标系如图面积微元例3

将直角边分别为2a

及a

的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，较长的直角边与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力．

解在端面建立坐标系如图例4一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为

，计算桶的一端面上所受的压力．三、引力如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算,而要采用“微元法”的思想解决．

解建立坐标系如图将典型小段近似看成质点小段的质量为例1

有一长度为

l

、线密度为

的均匀细棒，在其中垂线上距棒

a

单位处有一质量为

m

的质点

M

，计算该棒对质点

M

的引力．

小段与质点的距离为引力水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为例长为l

线密度为

的均匀细棒，在离端点为a处有一质量为m的质点，求细棒对质点的引力。例长为l

质量为M的均匀细棒，在离端点为a处有一质量为m的质点，求细棒对质点的引力。利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．（注意熟悉相关的物理知识）四、小结1.从实际情况出发建立恰当的坐标系对于物理量的计算是至关重要的.注1.一个物理问题的提出通常并不附带坐标系,而建立物理量的积分表达式则离不开坐标系,且在建立坐标系时,必需明确指明原点位置和坐标轴的正向.2.计算时对同类量要采用统一的单位.思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．练习题练习题答案物理问题还要注意单位：例2一弹簧，5牛顿的力可以把它拉伸1cm，求把弹簧拉0.1m，外力所做的功.例1某水库闸门为长a米、宽b米的矩形，垂直放在水中，水面超过门顶c米，求闸门一侧所受的水压力。一般地可以解决：例2设平板由曲线y=f(x)与x=a