第4章三角形证明 题型解读15 全等证明中的几何动点题型-2020-2021学年北师大版七年级数学下册

《三角形证明》题型解读15全等证明中的几何动点题型【解题方法与思路】：“一动两静”+“复制粘贴+略作修改”（1）“一动”：就是指图形或点的位置是发生的变化；（2）“二静”：①“一静”：就是指题目主要条件、所要证明的结论却大致相同；②“二静”：就是指解题思路分析、解题方法、解题过程，甚至辅助线、证明过程的所涉及的数学性质与定理、证明结论也会大致相同【典型例题】例1．在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明思路分析：（1）此题在同一题干下，由于直线MN运动到不同的位置，产生了三种变化图形，对三种变化图形中的同一结论：DE、AD、BE的数量关系进行论证，属于典型的动点动态问题。（2）此图是数学典型模型“一线三垂直模型”：先证全等，再利用全等性质解题。解题过程：点评：从过程看，它们有高度的相似性，简直可以说是“复制粘贴+略作修改”，而这恰恰就是解决初一全等证明题中动点动态问题的最大的解题技巧。第（3）小题留给我们同学自己去证，看一看是不是也存在这样高度相似的证明过程？我们是不是理解和掌握了这一解题技巧？例2.如图1，在等边△ABC中，点M从点B出发沿射线BC方向运动，在点M运动的过程中，连接AM，并以AM为边在射线BC上方作等边△AMN，连接CN。⑴当M点运动到线段BC的中点时，∠CAM=_________º；⑵当点M运动到线段BC（不含端点B、C）之间时，求证：CN∥AB；⑶如图2，当点M运动到BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，猜测⑵中结论CN∥AB还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由。思路分析：（1）此题中的（2）、（3）小题，也是在同一题干下，由于点M运动到不同位置，对同一结论：CN//AB进行论证，也属于典型的几何动点问题。（2）此题是数学典型模型“手拉手模型”；解题过程：（1）当M运动到线段BC中点时，BM=MC，由题可知：AB=AC，∠B=∠ACB=60º,∴△ABM≌△ACM（SAS），∴∠BAM=∠CAM,∵∠BAC=60º,∴∠CAM=30º.（2）∵△ABC、△AMN是等边三角形∴∠BAC=∠MAN=60º即∠BAM+∠MAC=∠CAN+∠MAC∴∠BAM=∠CAN又∵AB=AC,AM=AN∴△BAM≌△CAN（SAS）∴∠B=∠ACN=60º∵∠ACB=60º,∴∠NCB=120º∴∠B+∠NCB=120º∴CN//AB（3）∵△ABC、△AMN是等边三角形∴∠BAC=∠MAN=60º∴∠BAM+∠MAC=∠CAN+∠MAC即∠BAM=∠CAN又∵AB=AC,AM=AN∴△BAM≌△CAN（SAS）∴∠B=∠ACN=60º∴CN//AB点评：仔细对比解题过程，也是“复制粘贴+略作修改”。抓住“一动二静”，也就抓住了解决三角形证明中几何动点动态问题的关键与钥匙。例3.在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，求∠DCE的度数；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β.①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请你直接写出α与β之间的数量关系，不需证明；解析：（1）由“共角模型”可得∠BAD=∠CAE，由AB=AC,AD=AE,可证△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE=45°,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°.（2）①由（1）同理可证△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE,∵∠B=∠ACB,∴∠DCE=∠B+∠ACB=180°-∠BAC,即α+β=180°②α=β，理由如下：如图4，由（1）同理可证△ABD≌△AC