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第十二章1无穷级数§1

常数项级数的概念及其性质一、基本概念

定义 给了数列将它们依次用加号连接起来而得的表达式称为常数项无穷级数，简称常数项级数，或级数，记为，即2给了级数设为任一正整数，定义为级数的前3项部分和。部分和数列定义 若级数 的部分和数列的极限存在，极限值记为，即则称级数为级数若是发散的。是收敛的，并称极限值的和，记为

.的极限不存在，则称级数4例1

讨论等比级数（又称几何级数）的收敛性。解 级数的前项部分和，，讨论:收敛，且其和为5发散。发散。不存在6由(1)(2)(3)得：发散，收敛，且和为，7证级数的前项部分和发散。例2证明级数是发散的。8例3解判定级数的收敛性。收敛。9是发散的。例4

证明调和级数证 （反证）假设是收敛的。存在，设它的部分和为记极限值为 ，即,

则10即(*)另一方面，11这与(*)式矛盾！是发散的。二、级数的基本性质1、若 收敛，设其和为，则也收敛，且其和为.122、若收敛，其和为收敛，其和为则(1)收敛，且其和为(2)收敛，且其和为133、在级数的前面或中间,去掉、添加或改变有限项，所得级数与原级数的收敛性相同。（

注意：和变了

）4、若一个级数收敛，则对其项任意加括号后所得级数也收敛，且其和不变。（注意：反之不然）反例：14不存在发散即()

(

)收敛但发散15的部分和加括号说明：性质4

的逆否命题：若一个级数加括号后所得级数发散，则原级数也发散。可利用这个命题，来判断一个级数是发散的。三、级数收敛的必要条件设定义 收敛，其和为，设它的前的余项，项部分和为 ，

称

为记为

，即16定理若收敛，则证设的部分和为收敛17注意其逆命题不对。反例：但发散。18推论

若，则发散。

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