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文档简介

§3

有理函数和可化为有理函数的不定积分本节给出了求有理函数等有关类型的不定积分的方法与步骤.一、有理函数的部分分式分解二、有理真分式的递推公式三、三角函数有理式的不定积分四、某些无理函数的不定积分前页后页返回一、有理函数的部分分式分解m

>

n

时称为真分式,

m

≤

n

时称为假分式.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数,其一般形式为:前页后页返回2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分前页后页返回分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下:1.对分母Q(x)在实数系内作标准分解:真分式又可化为与之和,其式.

对应于的部分分式是对应于前页后页返回的部分分式是把所有部分分式加起来,使之等于Q(x),由此确定上述部分分式中的待定系数Ai

,Bi

,Ci

.3.确定待定系数的方法前页后页返回分式分解.把所有分式通分相加,所得分式的分子与原分子P(x)

应该相等.

根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则,

得到待定系数所满足的线性方程组,由此解出待定系数.例1作部分前页后页返回比较同次项系数,得到线性方程组解得于是完成了R(x)的部分分式分解:前页后页返回二、有理真分式的递推公式下面解这两类积分.前页后页返回任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形式的不定积分之和：前页后页返回前页后页返回解得前页后页返回例2解

由例1,前页后页返回其中于是前页后页返回例3解

由于而前页后页返回由递推公式前页后页返回于是前页后页返回有理函数的不定积分.

把三、三角函数有理式的不定积分sin

x,cos

x

及常数经过有限次四则运算得到的函数R

(sin

x,cos

x)称为三角函数有理式.前页后页返回代入原积分式，得到前页后页返回例4解前页后页返回对三角函数有理式的不定积分,在某些条件下还可选用如下三种变换,使不定积分简化.前页后页返回前页后页返回前页后页返回前页后页返回例5解前页后页返回前页后页返回例6解前页后页返回四、某些无理函数的不定积分例7解

由于前页后页返回前页后页返回例8解前页后页返回前页后页返回型不定积分可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,有时也可直接化为有理函数的不定积分.前页后页返回把它们转化为三角函数有理式的不定积分.方法2(欧拉变换)前页后页返回例9解

用方法

1:前页后页返回前页后页返回前页后页返回因此前页后页返回注1

对于本题来说,方法

2

显然比方法

1

简捷.注2

由以上两种方法所得的结果,

形式虽不相同但实质上只相差某一常数而已.例10解前页后页返回从而有前页后页返回注

虽然初等函数都是连续函数,从而它们都存

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