第三节-三重积分1课件

一、问题的提出引言:我们知道，求非均匀平面薄片的质量、重心等问题是二维空间的问题，要用二元函数的积分（二重积分）去解决；类似的，求非均匀空间物体的质量、重心等问题是三维空间的问题，要用三元函数的积分（三重积分）去解决【实例】【解决方法】（1）分割近似视为均匀（2）取近似类似二重积分解决问题的思想,采用“分割,取近似,求和,取极限”

（3）求和（4）取极限m精确值二、三重积分的概念【说明】(1)（2）存在条件（充分性）（3）三重积分有与二重积分相类似的性质（7条）（4）三重积分的物理意义（5）三、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分——将三重积分化为三次积分．以下只限于叙述计算方法1.直角坐标下2.柱面坐标下3.球面坐标下方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(切片法)(“先二后一”)先假设连续函数最后,推广到一般可积函数的积分计算.方法1：投影法【“先一后二”】如图∥z轴得X—型域【注意】此式称为先对z、次对y、最后对x的三次积分得计算公式（1）（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那样，将Ω分割，化为部分区域上的三重积分之和.（3）也可把Ω投影到yoz面或zox面上，便可把三重积分化为其它顺序的三次积分.（要求平行于x

轴或y

轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S相交不多于两点）.【例1】【解】如图X—型域作直线穿越Ω内部故则【方法Ⅱ】截面法(切片法)【“先二后一”】(?)Dz之面积【解】原式(?)Dz之面积椭圆面积公式2、利用柱面坐标计算三重积分设空间一点M(x,y,z),点M在xoy面上的投影P的极坐标为则称为点M

的柱面坐标.［变化范围］［与直角坐标的关系］0xz

yM(ρ,

,z)z

ρPxyz柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三组坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标系中的体积元素为此即柱面坐标系下的三重积分表达式如图六面体近似看作长方体柱面坐标下的三重积分的计算仍然化为三次积分来进行，积分限是根据在积分域Ω中的变化范围来确定的，以下举例说明单积分二重积分（极坐标系下计算）【方法】【适用范围】1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单

;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.0xz

y1Dxy.Dxy:z=1锥面化为:

ρ=z1.用柱面坐标【例4】..【解】0xz

y4Dxy2【例5】利用柱面坐标计算三重积分【解】即则故【思考】本题是否可考虑用截面法来求解？3、利用球面坐标计算三重积分0xz

yM(r,

,

)r

Pyxz球面坐标圆锥面；球面；半平面．球面坐标系中的体积元素为如图，此即球面坐标下三重积分表达式六面体近似看作长方体用三组坐标面将积分区域分成许多小闭区域【注】(1)则球面坐标下的三重积分的计算【规定】(3)(2)其中【例6】【解】如图建立坐标系则立体体积为【补充：利用对称性化简三重积分计算】使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．对称性简化运算六、小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系