中考数学重要考点题型精讲精练人教版：专题09 锐角三角函数（热考题型）-原卷版

专题09锐角三角函数【思维导图】◎考点题型1正弦的概念和求正弦值锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)对边对边邻边斜边ACB【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。例．（2022·安徽合肥·九年级期末）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（

）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定变式1．（2021·上海宝山·九年级期末）在中，，，，那么的值为（

）．A． B． C． D．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）在中，，则=(

)A． B． C． D．变式3．（2022·湖北襄阳·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D在△ABC的外接圆上，则sin∠ADC等于（

）A．1 B． C． D．◎考点题型2已知正弦值求边长例．（2021·广东·深圳外国语学校九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm变式1．（2022·安徽滁州·九年级期末）在中，，若，，则的长是（

）A．80 B． C．60 D．变式2．（2022·四川绵阳·三模）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，D是AB的中点，连接CD，作DE⊥AC于E，则△CDE的周长为（

）A．4+ B．6+ C．4+ D．6+变式3．（2022·四川南充·一模）如图，∠C＝90°，AC＝DC，EC＝BC，AB＝10，sinA＝0.6，则AE长为（

）A．2.4 B．2 C．1.6 D．1◎考点题型3余弦的概念和求余弦值例．（2021·吉林长春·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（

）A．sinA＝ B．a＝sinB×c C．cosA＝ D．tanA＝变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在中，、、对边分别为、、，，若，则（

）A． B． C． D．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为（）A． B． C． D．2◎考点题型4已知余弦值求边长例．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）如图，在中，，且，若，，则的长度为（

）A． B． C． D．变式1．（2022·广西·南宁二中三模）如图，在中，，则长为（

）A．4 B．8 C． D．12变式2．（2022·江苏南通·模拟预测）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是(

)A．20cm B．cm C．cm D．5cm变式3．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则的长为（

）A．B．C． D．◎考点题型5正切的概念和求正切值例．（2021·全国·九年级专题练习）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（

）A． B． C． D．变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）在中，，a，b，c分别是，，的对边，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．变式2．（2018·上海市致远中学九年级期末）坡比等于的斜坡的坡角等于（

）A． B． C． D．变式3．（2018·上海市致远中学九年级期末）在△中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．◎考点题型6已知正切值求边长例．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm变式1．（2021·北京·潞河中学九年级阶段练习）在中，，，，，则CD的长为（

）A．2 B．3 C． D．变式2．（2022·广东广州·二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB=，若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB刚好相切，则r等于（

）A．3 B．4 C．2.4 D．2.5变式3．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为（

）．A．4 B．3 C． D．◎考点题型7求特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°1正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大例．（2022·河北沧州·九年级期末）的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为，，则的值为（

）A． B． C． D．变式1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（

）A． B． C． D．变式2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）在平面直角坐标系中，点A（，－）关于y轴对称的点的坐标是（

）A．（－，－） B．（，） C．（，） D．（－，－）变式3．（2022·天津河北·二模）3tan60°的值为(

)A． B． C． D．3◎考点题型8特殊角的三角函数值判断三角形的形状例．（2022·广西贺州·九年级期末）在△ABC中，，则△ABC一定是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．锐角三角形 D．直角三角形变式2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）在中，，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定变式3．（2022·湖南邵阳·九年级期末）在△ABC中，若锐角∠A、∠B满足，则对△ABC的形状描述最确切的是（

）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形◎考点题型9已知角度比较三角函数值的大小例．（2020·四川·西昌一中俊波外国语学校九年级阶段练习）已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（

）A． B． C． D．变式1．（2019·江苏南京·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，则下列结论正确的是(

)A．sinA＜sinB B．cosA＜cosBC．tanA＜tanB D．sinA＜cosA变式2．（2019·全国·九年级单元测试）当锐角，的值（

）A．小于 B．大于 C．小于 D．大于变式3．（2021·全国·九年级专题练习）若锐角、满足条件时，下列式子中正确的是（）A． B． C． D．◎考点题型10利用同角三角函数求值例．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，是锐角，则的值是（

）A． B． C． D．变式1．（2022·山东省青岛实验初级中学九年级开学考试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．变式2．（2021·全国·九年级专题练习）已知为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在中，于点，若，则的值为（

）A． B． C． D．◎考点题型11根据三角函数值判断锐角的取值范围例．（2021·全国·九年级课时练习）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（

）A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60°变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°变式2．（2021·全国·九年级课时练习）已知为锐角，且，那么下列判断正确的是（

）A． B．C． D．变式3．（2022·山东淄博·九年级期末）已知，则锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．◎考点题型12互余两角三角函数关系例．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，在Rt中，，则的值为（

）A． B．