2023届高三年级下册二模数学试卷（含解析）

2023届高三下学期二模数学试卷

学校:姓名：班级：—

一、单选题

1.设集合A=<0集合8={x|x2-4x+3<o},则AB=()

A.{x|-l<x<l)B.(x|l<x<3jC.{x|l<x<2}D.(x|l<x<2j

2.'3>4”是“x>2”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

4.如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方

图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为

a,h,c,则（）

4s密

a+cb+c

A.b>a>cB.a>b>cC.>bD.>

22

5.已知1.3"=2,2"=3,3c=2则a,Ac的大小关系为(）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

6.一个圆锥的表面积为)，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为

()

A.1B.y/2C.2D.2y/2

->2

7.已知双曲线a春■=l(a>0,6>0))过点(3,26)，且渐近线方程为产土立X,

则双曲线。的方程为()

8.已知函数〃x)=2卜inx|cosx+V5cos2x，若/(x)在［0,〃?］上有且仅有2个最大值点,

则加的取值范围是(

2342523万474)

/FD-[hid

9.已知函数/(x)=-，若函数〃x)在[0,+CO)内恰有5个零

x2-（2a+l）x+〃+2,x>a

点，则a的取值范围是()

二、填空题

10.i是虚数单位，复数?刊的虚部是____.

l+2i一

11.直线/：>=x与圆C:(x—l『+(y-2)2=〃(a>0)交A,B两点，若ABC为等边三

角形，则”的值为

12.从8名老师和6名学生中选出5名代表，要求老师和学生各至少一名，则不同的选

法共有种.

13.若关于x的不等式3-卜-。|>/在(—,0)上有解，则实数”的取值范围是—

三、双空题

3

14.某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为二，乙、丙

4

科目合格的概率均为;，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X

则P(X=2)=；E(X)=.

15.已知向量AB,AC,AD满足AC=AB+AD,\AB\=2,|AD|=1,E,F分别是线段BC,CD

的中点，若DE，BF=-?,则陛+AB卜_；若点P为DE上的动点，且

x2+y

AP=xAB+yAD,则:~-的最小值为.

四、解答题

16.如图，在长方体465-466"中，4?=加/=1,AB=2,点£在棱四上移动.

(1)证明：D,EVA,D.

(2)当6为的中点时，求点后到面｛傲的距离.

17.已知函数/("=4<：0$心布&+看卜.

(1)求“X)的最小正周期和对称中心；

TT7T

(2)求.f(x)在区间最大值和最小值

o4

x

18.已知函数

e

(1)求/(x)的单调区间和极值；

⑵若X=0是函数g(x)=,/(a)-/(x)+sinx的极值点.

(i)证明：-21n2<a<0；

(ii)讨论g(x)在区间(-兀,兀)上的零点个数.

19.已知数列｛%｝满足：《=3,«„=«„_,+2M-'(n>2,neN*).

(1)求数列｛4｝的通项；

(2)若2=〃(qT(〃eN")，求数列也｝的前"项和S“；

⑶设％7>2j+22c2++2%(〃eN*),求证：^<7；,<|(neN,).

anan+\13J

r22

20.已知椭圆G]+方=l(a>6>0)的焦距为20，其短轴的两个端点与长轴的一个

端点构成正三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点0(1,0)且不过点E(2,l)的直线与椭圆C交于4,6两点，直线力£与直线x=3交

于点M.试判断直线例/与直线庞的位置关系，并说明理由.

参考答案：

1.D

【分析】分别解出集合A和集合3,再根据交集的定义即可得到答案.

【详解】由题得[(二叱一2)"°则A={x|-1"<2},

Z?=1x|l<x<3},Ac8={x[l<x<2j

故选：D.

2.B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：因为寸>4解得xv—2或x>2,

所以"J〉"是"x>2”成立的必要不充分条件，

故选：B

3.D

【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质.

【详解】令/(x)=ln-卜得—=1即，1=0,此有方程有两根，故“X)有

两个零点，排除A选项；

函数/(x)=ln(x-J)有意义满足x-J>0解得x>l或一1cx<0,

当x<-l时函数无意义，排除B、C选项；

对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，

又•.•当-l<x<0与及x>l时，函数y=x-1单调递增，

X

结合对数函数的单调性可得函数/(x)=ln(x-g)单调递增，故单调性也符合，所以

的图象可能是D；

故选：D

4.B

【解析】根据频率分布直方图读出众数&计算中位数力，平均数。，再比较大小.

【详解】由频率分布直方图可知：众数“=四詈=75；

中位数应落在70-80区间内，则有：0.01x10+0.015x10+0.015x10+0.03x(/2-70)=0.5,

解得：〃2专20=731%

-T71Ar八〜1八40+50八八，八50+60八八1八604-70

平均数c=0.01xlOx------+0.015x10x------F0.015x1Ox------+

222

试卷第5页，共16页

70+80+0.025xl0x80+904-0.005X10X90+100

0.03xl0x

222

=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71

所以0>6>c

故选：B

【点睛】从频率分布直方图可以估计出的几个数据：

(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；

(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；

(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标.

5.A

【分析】根据指对数互化，利用对数函数的性质判断a、6、c的大小.

【详解】由题设，2>^=10^3>1>6=—^—>0,X0<log21.3<l<log23,

而则"二册>寻―2>6=陶3,

-t，a>b>c.

故选：A

6.B

【详解】试题分析：设圆锥底面半径是1母线长；，所以-丁；-二，即，・：-匚[1，

》

根据圆心角公式二一==2，即？=A，所以解得，•=±1,，=二3，那么高

3I22

h=｛广-尸=^2

考点：圆锥的面积

7.A

【分析】由点(3,2百)代入双曲线和渐近线方程，联立得到〃,"c的方程组，求解即可.

【详解】点(3,20)代入双曲线，焦点在x轴上，渐近线方程为y=土，x,所以

'2上

:，解得《厂，故双曲线的方程为土-匕=L

2=应[b=y/636

.a

故选：A.

8.C

【分析】讨论xw[0,句、xw(阳2旬时，取最大值时x的值，由其周期性找到第三

个最大值对应x的值，由此确定〃?的取值范围.

试卷第6页，共16页

【详解】当xw［O,句时，/（x）=sin2%+73cos2x=2sin^2x+yj,

当x卡时，第1次取到最大值，

当XE（凡2同时，/（x）=-sin2x+V3cos2x=2cos^2x+^,

当》=箸时，“X）第2次取到最大值，

由/（x+24）=〃可知：当工=黄时，/（可第3次取到最大值.

.23万，254

••------£m<------.

1212

故选：C

【点睛】关键点点睛：讨论X的范围，通过确定了（X）第二、三个最大值对应X的值，进

而得到，”的取值范围.

9.D

【分析】分析可知”>（），对实数。的取值进行分类讨论，确定函数/（X）在［〃,心）上的

零点个数，然后再确定函数/（X）在［0,4）上的零点个数，可得出关于实数。的不等式

（组），综合可得出实数”的取值范围.

t详解】当440时,对任意的x20,f（x）=x2-伽+l）x+〃+2在［0,+g上至多2个

零点，不合乎题意，所以，a>Q.

函数y=d-（2a+l）x+〃+2的对•称轴为直线x=a+；,

A=（26/+l）2-4（a2+2）=4<7-7.

所以，函数/（x）在上单调递减，在（“+；,+8）上单调递增，且/（“）=2-“.

7

①当A=4a—7v0时，即当0<〃<w时，则函数/（x）在侄）上无零点，

所以，函数〃x）=2sin2乃［-〃+在［0,a）上有5个零点,

当OVxca时，；一a4x-a+；<g,则(1-24)万4271

X-4+—<)，

2

由题意可得-5%<（1-2a）乃4T乃，解得■|wa<3,此时。不存在；

②当△=（）时，即当时，函数/（x）在j+oo）上只有一个零点，

当xe0高时，〃x）=—2cos2mv,则042乃则函数/（x）在0,j上只有3个

零点,

试卷第7页，共16页

此时，函数在［o,+e）上的零点个数为4,不合乎题意；

③当=时，即当!<“42时，函数“X）在［a,+o））上有2个零点，

A=4tz-7>04

则函数〃x）=2sin2乃卜-a+g）］在［0,a）上有3个零点，

37

则一3万<（1-幼）乃4-2万，解得14a<2,此时彳<a<2；

④当‘!!?；：；：；°时，即当">2时，函数f（x）在卜/,+00）上有1个零点，

则函数f（x）=2sin2乃+在［0,4）上有4个零点，

贝-4］<（1—2a）乃4—3乃,解得2Va<5，此时，2<a<—.

综上所述，实数0的取值范围是（：2卜（2,|）.

故选：D.

【点睛】己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

10.-2

【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算.

【详解】121^1=（1-2）=5（1-2i）=］_方.虚部为-2.

l+2i（l+2i）（l-2i）5

故答案为：-2.

11.如

33

【分析】结合几何关系和点到直线的距离即可求解.

【详解】由条件和几何关系可得圆心C到直线/：y=x的距离为匕3=J/-C,解得

-72V4

V6

（I---------•

3

故答案为：述.

3

12.1940

试卷第8页，共16页

【分析】间接求，用总数减去不符合要求的选法即可求解

【详解】不考虑限制要求，所有不同的选法有C：4=2002

全选教师的选法有C；=56,全选学生的选法有C：=6

所以至少一名教师一名学生的选法有C：「C；-C：=1940

故答案为：1940

13.“€(--},3)

4

【分析】将3-|x-a|>Y在(YO,0)上有解转化为3-x2>|x-“|至少有一个负数解，构造

/(x)=3-x2,g(x)=|x-a|,画出图像,平移g(x)=U-a|图像即可.

【详解】由题知，可将3-|x-a|>x2在(—,0)上有解，

转化为3-丁至少有一个负数解，

构造/(x)=3-f,g*)=|x-a,

画出图形，如图：

要使“X)与g(x)相交于y轴左侧,

则需满足。<3,

在函数g(x)不断左移的过程中，

若与/(x)左侧曲线相切，

则有3-f=x-a,

即x2+x-a-3=0>

对应的△=(),

即44+13=0,

解得4=-1g3

4

试卷第9页，共16页

则a＞一；,

4

13

故答案为：ae(~,3).

4

一425-1

14.—；—##2一.

91212

【分析】根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.

3223223224

【详解】P(X=2)=(l--)x-x-+-x(l--)x-+-x-x(l--)=-；

4334334339

3221

P(X=0)=(1--)X(1--)X(1--)=—,

43336

n/vix3223223227

3221

P(X=3)=­)x—x—=—,

4333

174125

所以E(X)=Oxh—+2XW+3X1二，

36369312

475

故答案为：—;—

1R历5

22

【分析】由AC=A3+AD得A3CD是平行四边形，把。瓦4尸用AB,AQ表示后，由数

量积的运算求得4*AO,同样用表示OE+AB后平方可求得模，由向量的线性

运算得4尸=xA8+yAO=x4E+(-gx+y)A。，利用三点共线得出gx+y=1,代入

2

三士上，化简后引入函数/(X),由导数求得其最小值.

孙

【详解】因为AC=AB+A£＞，所以ABCQ是平行四边形，

由题意OE=QC+CE=AB—gAO,BF=BC+CF=AZ)-gAB,

DEBF=(AB--AD)(--AB+AD)=--AB2+-ABAD--AD2,

22242

即一;=一4*22+二48.40一4*『，ABAD=-1

4242

DE+AB=2AB--AD,

2

22

|DE+Aq=J(2AB-^AD)=-2AB-AD+AD=^4x4-2x(-l)+lxl=乎

AB=AE+-EB=AE--AD,

22

AP=xAB+yAD=x(AE-^AD)+yAD=xAE+(-^x+y)AD,

又E,P,O共线，所以x+(_gx+y)=l,即gx+y=l,

?在线段£＞E上，因此04x41,

试卷第10页，共16页

x2+yX"+1~2X2f-x+2c3x+2

——-=-----=—=-2+—

22

时，/r(x)<0,/(x)递减，—<x<10*]*,ff(x)>0,/(元)递增,

所以/(外而.=/(|)=2,

2

所以王r4口-v的最小值为-2+Q9=5g.

xy22

故答案为：叵：.

22

16.(1)证明见解析:

【分析】(1)证明4ELAQ、ACAR,由线面垂直的判定定理可证明平面ARE,

即证；

(2)由勾股定理求出△月以各个边长，设点E到平面4cA的距离为〃，由

^E-ACDf=%-八CE即可求解.

【详解】(1)因为，平面AORA，平面AORA，

所以A£_LA»,

因为四边形A。。A是矩形，AD=AA,,

所以四边形是正方形，

所以AOLA。，

又45iU平面ARE,AEu平面4QE,ADtnAE=A,

所以4。J.平面ARE,又因为0Eu平面ARE,

所以

试卷第11页，共16页

(2)因为AO=4A=1，AB=2,E为AB的中点,

所以AD]=V2>AC=CD1=5/5，CE=y/2，AE=1,

所以S.AS=，必卜-号=|,SACE=gxlxl=g,

设点E到平面AC。的距离为〃,

由LACD,=%TCE可得：，

13,

gnr1j-X—/?=—X—x1,

3232

解得：/?=；，

所以点〃到面4微的距离为;.

17.(1)最小正周期7=兀；称中心为(日哈0),^eZ;(2)/(x)m.n=-l；/(x),im=2.

【分析】(1)先利用三角恒等变换公式对函数化简变形得/(x)=2sin(2x+2；从而可

求出其最小正周期和对称中心；

TTTT冗

(2)由xeIT求出-£42万+JT占429,然后结合正弦函数的性质可求出函数的最

164」663

值

【详解】(1)/(x)=4cosxsinfx+—'l-l=4cosx|—sinx+icosx-1

I6JI22J

=2>/3sinxcosx+2cos2x-1=石sin2x+cos2x=2sin(2x+^),

所以/(x)的最小正周期7=兀，

TTIciTTT

由题意2x+：=E,kGZ,解得工==——■rkGZ,

6212

所以/'(x)称中心为'keZ；

(2)'：--<x<~,：.--<2x<-,

6432

.♦.」42X+30,

663

•••当2x+2=4,即x=4,〃％=T；

当2x+t=(时，即x=£，，(X)3=2.

o2o

18.(1)函数在(-8,1)上单调递增，在(1,+a))上单调递减，有极大值工，无极小值.

e

⑵(i)证明见解析；(ii)2

试卷第12页，共16页

【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.

(2)(i)计算得至ljg'(x)=?•9+cosx,确定e"+a=O,设尸(x)=e、+x,根据函

数的单调性结合*0)=1,F(-21n2)<0得到证明；

(ii)求导得到导函数，考虑XW(F,0),x=0,xe(O,兀)三种情况，构造

F(x)=e'sinx-x,确定函数的单调区间，根据尸(0)=0,/(%)>0,尸⑺<0得到零

点个数.

【详解】(D/«=4>ra)=W，取尸(x)=上/=o得到x=i,

eee

当x<l时，函数单调递增；当X>1时，r(x)<0,函数单调递减.

故函数在(F,l)上单调递增，在(1,一)上单调递减，有极大值/(1)=’,无极小值.

e

(2)(i)g(x)=/(a)・/(x)+sinx=3•二+sinx,g'(x)==・^~^+cosx,

eeee

g'(0)==+1=。，故e"+a=0,

e

设尸(x)=e、+x,函数单调递增，

尸(0)=1>0,F(-21n2)=e-2M2_21n2=；-ln4<0.

根据零点存在定理知-21n2vav0.

(ii)g(x)=-^+sinx,g(0)=0,/(x)=/^+cosx,

x—12—x

设/z(x)=-----+cosx,/?"(%)=---------sinx,

exeA

当xe(—兀,0)时，?>0,sinx<0,故〃(x)>0,g'(x)单调递增，g'(x)<g'(O)=7+1=0,

故函数g(x)单调递减，g(x)>g(o)=o,

故函数在(-兀,0)上无零点；

当x£(0,兀)时，g(x)=--+sinx=二(e"sinx-x),

设F(^)=evsinx-x,(x)=ev(sinx+cosx)-1,

ig：A:(A)=ex(sinx+cosx)-1,则〃(x)=2e*cosx,

当元£(0,1■卜寸，Z'(x)=2e*cosx>0,当XE[?兀)时，Z'(x)=2e，cosx<0

故心)在由单调递增，在生)上单调递减，

试卷第13页，共16页

50）=0,《5）=一一1＞0,A:（7r）=-en-l＜o,

故存在及仁（方,兀）使&（%）=0,

当xe（（）,x.）时，刈刈＞0,F（x）单调递增;

当XG（如兀）时,A:（x）＜0,尸（X）单调递减.

F（0）=0,故尸（不）＞0,F（兀）=一兀＜0,故函数在5，兀）上有1个零点.

综上所述：g（x）在区间（-兀,兀）上的零点个数为2

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数,

零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题

的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.

n+,

19.（1）a„=2"+l;（2）S„=（H-l）-2+2；（3）证明见解析.

【分析】（1）采用叠加法可直接求出

（2）通项为等差乘等比的形式，采用错位相减法可求得

（3）复杂题型的裂项需要先进行试值，经检验

2"（2,,+l+l）-（2n+l）11

"（2』）（2*『（2』）（2］）=对一药・符合裂项公式’再采用叠

加法求值即可.

【详解】（1）因为。“=41+2”'（鼠22,〃€汽*）,

所以当“22时，％=4+（々-4）+（03-％）++（«„_（-a„-2）+（a„=

3+2'++2"-2+2"-'=3+=2"+1；

又q=3=2、l,故a,,=2"+l(〃eN*).

（2）由（1）及题设知：b„=nx2",

,,

所以S“=1x2】+2x2?+3x23++(n-l)-2"-'+n-2)

所以2s“=1x22+2x23+3x2,++(rt-l)-2n+«-2"+|,

所以S“=〃・2""—(2+22+23++2")=(〃-l>2""+2.

1

(3)由(1)及题设知：%=(2"+1)(2/+1)'所以

试卷第14页，共16页

2"c=—2—=（一+1）-（2*）,____

"（2n+l）（2"+l+l）（2n+l）（2"+,+l）2"+12,,+1+r'

=（77T-27+T）+（2y+T-F+T）++G^'+i-F+T）+（F+T-2,,+1+i）'

即7>十一看」一看‘所叱4

又亿｝是递增数列，所以｛瑁的最小值为1=：-*=[,

即证卷4方与

【点睛】错位相减法一定要注意位置对应关系及两式相减后的符号正负.数列求恒成立

问题基本上是通过叠加法、放缩法、裂项法、构造函数法等相关方法求得.

20.（l）J+y2=l；

（2）直线5M与直线小平行，理由见解析.

【分析】（1）根据题意建立方程组，进而解出a,。，然后得到答案；

（2）讨论直线16的斜率不存在和存在两种请，若斜率存在，设其方程为

y=进而求出点M的坐标，然后将直线方程代入椭圆并化简，进而结合

根与系数的关系得到。,并化简，进而解得问题.

（1）

>/a2+b2=2/7,

由已知可得｛,------「

2c==2夜，

解得4=3,82=1,所以椭圆6l的标准方程是不+/=1.

3

（2）

直线与直线原平行.

证明如下：当直线力6的斜率不存在时，则乎],8“，-手），

所以直线加■的方程为y-i=1-用（x-2）,

所以妁3,2-9），所以原“=1.

1-0

又因为直线班的斜率的后=有=1,所以BM〃DE.

当直线用的斜率存在时，设其方程为y=%（》-1）仪丰1）.

试卷第15页，共16页

设A（XQJ,8（々,必），则直线熊的方程为，-1=晨（尢-2）.

令X=3,得点”3,%+%;3

1%-2

X2+3y2=3w心，

由,7二：得（1+3/）/一622%+3々2_3=0,易知△＞（），所以玉

y=A（x-l）,'71+3K

弘+.-3

中2=售!，直线囱/的斜率“_芭一2一一%.

1+弘K，BM--

3-^2

人（F一1）+再一3-左（&-1）（玉一2）2Mx+%2）-公径+X1-3（左+1）

（3一4）（七一2）—玉/+2（须+/）+玉一6

33

12k3k-3k”,n

=1+3%2―]+3/+、—（+）=%—3=l=k

-3/_312H,演-3DE，

~U3k^+Mi^+X'~6

所以〃DE.综上，直线例/与直线应平行.

【点睛】本题第（2）问运算量较大，但根据题意容易想到应当判断两条直线的斜率关

系，于是设出直线方程并代入椭圆方程化简，进而运用根与系数的关系解决问题.

2023届高三下学期三模数学试卷

学校:姓名:班级：

一、单选题

1.已知集合4=k|一2＜》41/€2},集合8={-1,0,1,2},贝IJA8=（）

A.{0,1}B.{-1,0}C.H,0,I}D.{-1,0,1,2）

2.设xeR,贝ij"x＞l”是“》＞一工”的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3函数y=G'二l》n（c°sf）的部分图象大致为（）

-3x+l

试卷第16页，共16页

7

4.设a=3°,Z?=（；）,c=log070.8,则。也c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

5.为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛.根据参赛学生的成

绩，得到如图所示的频率分布直方图.若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖

学生的最低成绩可能为（）

A.65

B.75

C.85

D.95

6.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，旦圆锥的底面圆与圆台的较大

底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1,圆锥与圆台的高分别为6-1和3,则

此组合体的外接球的表面积是（）

试卷第17页，共16页

A.164B.204C.24万D.284

7.已知中心在原点的双曲线E的离心率为2,右顶点为A,过E的左焦点尸作x轴的

垂线/,且/与E交于M,N两点，若AMN的面积为9,则E的标准方程为()

A」一.

B.C.=1D.

412

8.将函数/(x)=cos(s+0)(3>0,网<热的图象向左平移;个单位长度得到如图所示

的奇函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于直线x=q对称，则下列选项不正确的是()

A./(x)在区间—上为增函数

C.佃>〃。)

D./(-1)+/(0)<0

9.已知函数/(力=］卜：；)；(一2

函数g(x)=〃-”2-x),其中bcR,若函数

2-|x|,x>-2

y=/(x)-g(x)恰有4个零点，则8的取值范围是()

7D.D

A.B.-,4-00C.2

-卜4-?

二、填空题

10.若复数z=上工为实数，则实数。的值为

2-a\

ii.二项式(9-2］的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值，则展开式中

I2X)

6项的系数是

试卷第18页，共16页

12.过圆f+V—2x+4y-4=0内的点M(3,0)作一条直线/,使它被该圆截得的线段最

短，则直线/的方程是.

13.已知b>\,且lga=l-21g。，则log^+logM的最小值为.

三、双空题

14.一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出2个球，

至少得到一个白球的概率是(，则袋中的白球个数为，若从袋中任意摸出3个球，

记得到白球的个数为列则随机变量f的数学期望.

15.如图在..ABC中，ZABC=90,8c=8,AB=\2,尸为AB中点，E为CF上一点.

若CE=3,则以.殖=；^CE=ACF(O<A<1),则次.破的最小值为_____.

C

四、解答题

16.已知sina=W,ae\

1312

(1)求sin2a的值;

⑵求cos(a-2的值.

17.在如图所示的多面体中，43〃8,"_1e,4后，平面488,。/_1平面4"》,

AB=AE=CF=\,AD^CD=2,M,N分别是8尸,£>E的中点.

(1)求证：MN〃平面CDF；

(2)求£)/与平面8EF所成角的正弦值;

试卷第19页，共16页

(3)设平面8EFI平面C£^=/,求二面角B-1-C的正弦值.

22

18.设椭圆。:京+a=1(。＞人＞。)的右焦点为尺右顶点为力，已知椭圆离心率为g，

过点尺且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设过点A的直线1与椭圆C交于点B(5不在x轴上)，垂直于1的直线与1交于点

M,与y轴交于点"若以掰为直径的圆经过点尸，设直线/的斜率为4，直线Q"的斜

率为九，且Z+《＜(),求直线/斜率A的取值范围.

19.已知数列｛%｝是公比大于1的等比数列，5“为数列｛%｝的前〃项和，$3=7,且q+3,

3-，4+4成等差数列.等差数列也｝满足4=%，&=4-2.

⑴求数列｛叫，包｝的通项公式；

⑵设%

①求fG的值；

k=\

②设4=㈠)°")〃+")•21,数列｛4｝的前n项和为7“，求T”的最大值和最小

%*Cn+\

值.

20.已知函数f(x)=lnx-ar+a(aeR).

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)若“X)在(1,一)上有零点％,

①求a的取值范围；

O—Z7—

②求证：----＜x＜ea.

a()

试卷第20页，共16页

参考答案：

1.C

【分析】根据集合的交集运算即可求解.

【详解】由4={目-2<犬41,犬€2}={-1,0,1},B={-1,0,1,2),故A8={-1,0,1},

故选：C

2.A

【分析】由集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断.

【详解】1〉一』可化为x+，>0,即:^>0,

因为1+1>0,所以不等式X>—的解集为{小>0}

因为{x|x>l}是卜k>0}的真子集，所以“x>l”是的充分不必要条件.

故选：A

3.B

【分析】通过函数的奇偶性可排除AC,通过x-0•时函数值的符号可排除D,进而可得结

果.

【详解】令小)=，-1";),其定义域为(-、+2E，5+2而)&eZ关于原点对称，

、(3-A-l)ln(cos-x)(l-3v)lncosx

/(t)==1+3，=一小)’

所以函数/(x)为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC,

当x-0+时，3A-1>0,3v+1>0,lncosx<0,即/(x)vO,故排除D,

故选：B.

4.B

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.

【详解】y=3"是单调递增函数，a=307,。=6「=3。8,

Q>=bggX是单调递减函数

c=log。70.8<log。70.7=1,

:.h>a>c,

故选：B

5.C

【分析】根据频率分布直方图分别求出成绩在［90,100］,［80,90］的频率，进而得解.

【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在［90,100］的频率为0.018x10=0.18

成绩在［80,90］的频率为0.044x10=0.44,0.044x10=^=0.22

又0.18+0.22=0.4,所以40%成绩较高的学生的分数在［80,100］之间，且最低分数为85

故选：C

6.B

【解析】设外接球半径为此球心为。，圆台较小底面圆的圆心为。-根据球的性质。。|与

圆台的上下底面垂直，从而有OO；+/=R2,且球心在上下底面圆心的连线上，

OO,=75+2-7?,即可求出R,得出结论.

【详解】解：设外接球半径为花球心为。，圆台较小底面圆的圆心为。一

则OO：+F=R2,而。01=石+2—R,

故於=1+(石+2-R)2=R=后nS=4;rR2=20万.

故选：B.

【点睛】本题考查组合体外接球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于基础题.

7.A

【分析】设出双曲线的方程，根据离心率可得c=2tz,根据题意求出点双川的坐标，进而

求得|MV|,结合三角形的面积公式化简计算即可求出a,b.

22

【详解】设双曲线的方程为二-4=1(。>0,人>0),则A(a,0)，F(—C,O),

a"b~

由离心率为2,得£=2,则c=2a,

a

因为直线1过点尸(-c，。)且垂直于x轴交£于点M、N,

所以点材、N的横坐标都为-c,有R-£=1,解得y=±Q,

ab~a

所以M(-c,Z),N(-c,--),所以|MN|=五，

aaa

又AF=a+c,AF工MN,贝I」

SAMN=^\AF\\MN\=^-(a+c)--=(a+c)--~-=(a+c)--~—=9a=9,

122aaa

所以a=1,故c=2。=2,得b=7c2-a2=百，

所以双曲线的方程为：x2-^=\,

3

故选：A

8.D

【分析】根据三角函数平移变换原则可知g(x)=cos,x+50+0)；根据图象、g(x)的对

称轴和对称中心可确定最小正周期T,从而得到。；由g(x)为奇函数可知三。+。=5+桁，

由此可得夕，从而确定/(x)的解析式；利用代入检验法可确定A正确；根据特殊角三角函

数值可知B正确；结合y=cosx的单调性可判断出CD正误.

【详解】由题意知：8(洋=1卜+1)=♦(5+10+可,

由图象可知：:则x=-：与(。，0)是相邻的对称轴和对称中心,

.•.7'=4x(0+?)=7r,即0=/=2,

g(x)为奇函数，.,.g0+*=^+*='|+E(/eZ),

解得：<p=~+kn(keZ),又倒

62

对于A,当xc煞时,2＞台上干,则“X)在箓上为增函数，A正确;

对于B,

对于C,f(；)=cosn

/(0)=coscos—,

6

一=88》在„上单调递减，1£哈.•.吗卜/⑼，C正确；

对于D,/(-l)=cos^-2—^J=cos^2+^,〃0)=cos(q)=cos器，

y=cosx在兀］上单调递减，—<2+—<,

12)266

0>cos|2H—I>cos—=—cos—,cos|2H—|+cos->0,即/(-1)+/(0)>0,D错误.

\6766\6/6

故选：D.

9.C

【分析】由题知〃x)+〃2—x)=b有4个实数根，进而令力(力=〃司+〃27),则函数

〃(x)图像与y=b图像有4个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.

【详解】解：因为函数y=/(x)-g(x)恰有4个零点,

所以〃x)-g(x)=O恰有4个实数根，即〃力+〃2-x)=6有4个实数根,

令MX)=〃X)+〃2—X),则函数/i(x)图像与y=b图像有4个交点,

〔黑匕\所以小人(4-X)2,X>4

因为，〃x)=

2-12-

(x+2)〜+2-12--2

所以,/2(X)=/(X)+/(2-X)=-4-|x|-12-x|,-2<x<4,

2-|x|+(4-x)2,x>4