2022年全国甲卷数学（理科）高考真题含答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若z=-l+gi,贝iJ^-=()

zz-1

1y/3.

A.-l+6iB.-l->/3iC.——+-^-iD.------1

33

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识•为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让

他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这1。位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确

率如下图：

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.设全集。={一2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8=例/-4尤+3=0},则常(AUB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

5.函数y=（3'-37）cosx在区间—的图像大致为（）

7.在长方体—44GA中，已知耳。与平面A3CD和平面所成的角均为30°,则（）

A.AB=2ADB.AB与平面A4G。所成的角为30°

C.AC=CB.D.BQ与平面BBC。所成的角为45°

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是

以。为圆心，为半径的圆弧，C是AB的中点，。在AB上，CDLAB.“会圆术”给出的弧长的

CD2

近似值s的计算公式：s=A8+——.当。4=2,44。8=60°时，s=（）

OA

D

11-3>/311-473C9-3百9-46

A.--------B.--------

22'-2-'-2~

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为幅

和%.若&=2,贝|］强=（）

S乙七

5丽

A.亚B.272C.VioD.——

4

%22

10.椭圆C：—7+y=1（。〉〃〉0）的左顶点为A,点尸，。均在C上，且关于），轴对称.若直线ARAQ

的斜率之积为,，则C的离心率为（）

4

口611

A.D.----C.一D.-

2223

71

11.设函数f(x)=sinCDX+—在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是（）

3

5135191381319

A.B.C.D.

3，-?

77

已知a=亘/=cos!,c=4sinL

12.则)

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分。

b的夹角的余弦值为:，且|a|=l,|b|=3,则（2a+b）/=

13.设向量a,

2

14.若双曲线V—二=1（机>0）的渐近线与圆f+/一4丁+3=0相切，则"?

m

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

16.己知△ABC中，点。在边BC上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.当——取得最小值时，BD=

AB

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

2S

记S,,为数列｛凡｝的前〃项和.已知j+〃=2an+1.

（1）证明：｛q｝是等差数列；

（2）若%，%，4成等比数列，求S“的最小值.

18.（12分）

在四棱锥P-ABCD中，底面A3CO,CZ）〃AB,AZ）=OC=C5=1,A8=2,OP=6.

（1）证明：BD±PA；

（2）求尸。与平面RLB所成的角的正弦值.

19.（12分）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得。分，没有平局.三个

项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,

各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

20.（12分）

设抛物线。：丁=2〃叱〃>0）的焦点为尸，点。（20）,过尸的直线交C于M,N两点.当直线俯。垂直

于x轴时，|ME|=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线加力,ND与C的另一个交点分别为4,B,记直线MN,A3的倾斜角分别为a,尸.当a-力取

得最大值时，求直线A8的方程.

21.（12分）

已知函数/(x)=---\x\x+x-a.

(I)若/(x)NO,求a的取值范围；

(2)证明：若/(X)有两个零点西,々，贝1」中2<1.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

2+/2+5

X=-----,X=-----,

在直角坐标系中，曲线G的参数方程为｛6G为参数)，曲线G的参数方程为《6

y=\［t［>,=-77

(s为参数).

(1)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。3的极坐标方程为2cose-sin6>=0,求

与&交点的直角坐标，及与C?交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,b,c均为正数，且a2+〃+4c2=3,证明：

(1)a+b+2c<3；

(2)若b=2c,则工+,»3.

ac

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.11

14.B

3

16.^/3-l##-l+V3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

2s

17.(1)解：因为—^+〃=2〃“+1,即25〃+=2〃勺+〃①,

n

当几22时，②,

①一②得，2s“+_2S“_]--1)=2"a“+〃_2(/i_-1),

即2a“+2〃-1=2〃a“一2(“—+1,

即2(〃一1”“一2(〃一1)4_]=2(〃一1),所以a“一/_1=1，/之2且〃eN*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

(2)-78.

18.(1)证明：在四边形A8CD中，作。E_LAB于E，于尸，

因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四边形ABC。为等腰梯形，

所以AE=BF=L,

2

Gi_________

故。E=E，BDZDE^+BE?=G，

所以+=452,

所以AD_LBO，

因为P£>_L平面ABC。，BDu平面A5CD,

所以P0J.8。，

又PDcAD=D,

所以8。，平面EV),

又因Q4u平面PAD,

所以8£>J_B4；

⑵—.

5

19.(1)0.6；

(2)分布列见解析，E(X)=13.

【解析】依题可知，X的可能取值为010,20,30,所以，

p(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

X=10)=0.5x0.4x().8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5X0.6X0.8+().5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.()6.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(1)/=4x；

(2)AB:x-yf2y+4.

x

e

21.已知函数=----+.

X

(1)(-oo,e+l]

(2)由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设%V1<工2

1

要证玉光2<1,即证王<一

1(1A

因为知一e(0,l),即证—

々1X21

(1)

因为/(玉)=/(9)，即证/(々)>/—

\X2J

即证----lnx+x-xev-Inx->0,X€(l,+oO)

XX

e*1.rif4)]>0

即证----xe'—2Inx—x-

x21

ex-O.lnx-lfx-1)

下面证明1>1时，----xev>

X2(X)

、e*-

设g(x)=-----xex,x>1,

X

所以O(x)>0(l)=e,而1«

所以J—e'>0,所以g'O。

x

所以g(x)在(1,内)单调递增

即g(x)>g(l)=0,所以£—xe!>0

x

令〃(元)=lnx-g|九,x>l

X

,，/、1If.112x--1

h(x)=---\1+^-

x2\xJ¥<。

所以〃(x)在(1,4W)单调递减

即力(%)</i(l)=0,所以In九一!［1一，］<0；

综上，----xe'-2In^—―fx—j>0,所以玉工2<1・

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(1)/=6x-2(y>0)；

（2）G，G的交点坐标为G，1），（1,2）,C3C2的交点坐标为H，T）,（-1,-2）.

［选修4-5：不等式选讲］

23.（1）证明：由柯西不等式有［a2+〃+（2c）［（12+F+12"（a+/；+2c）2,

所以a+Z?+2cW3,

当且仅当a=匕=2c=l时，取等号，

所以a+人+2cW3；

（2）证明：因为b=2c,a>0,b>0,c>0,由（1）得a+b+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以」一2，,

Q+4c3

由权方和不等式知_1+_1=£+2iz（+2）-=923

aca4c〃+4c〃+4c

当且仅当工=——，即a=l,c=，时取等号，

a4c2

所以

ac

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.11

16.73-1##-1+73

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

25

17.(1)解：因为—^+”=2a“+l,即2s“++〃①，

n

当时，2S,_1+(/L1)2=25_1)4I+(〃_1)②，

①一②得，2s“+-2S._1--1)=a+“_1),

即2a“+2〃—1=2na“一2("—1)+1,

即“一=2(〃一1),所以a“一2且“wN*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

(3)-78.

18.(1)证明：在四边形A8CO中，作于E,于F,

因为CD//A民40=8=08=1,48=2,

所以四边形ABCD为等腰梯形,

所以AE=BF=J,

2

Gi_____

故DE=TBD=NDE2+BE2=5

所以+=AB2,

所以AD_LBO，

因为P£>_L平面ABCD,BDu平面A5CD,

所以

又PDcAD=D,

所以8。，平面小。，

又因B4u平面PAD，

所以8。，24；

⑵—.

5

19.(1)0.6；

(2)分布列见解析，E(X)=13.

【解析】依题可知，X的可能取值为010,20,30,所以，

p(X=0)=().5x0.4x().8=().16,

p(X=10)=().5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.()6.

即X的分布列为

X0102030

p0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(1)=4x；

(2)A3:x=0y+4.

21.已知函数〃x)=---Inx+x-^z.

(1)(-00,6+1]

(2)由题知J(X)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设玉<1〈尤2

1

要证玉工2<1,即证X<一

X2

因为玉,一£(0,1),即证一

/、,、/(1

因为/(%)=/(赴)，即证—

7

x

e-1

即证---lnx+x-xeA-Inx——>0,XG(1,+OO)

xx

e-ifn

即证----xe'—