2023年人教版初中数学《实际问题与一元二次方程》（教学案例）

2023年人教版初中数学《实际问题与一元二次方程》（教学案例）

一、教学内容分析

本课的主要内容是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究传播问题和

平均变化率问题中的数量关系。活动的侧重点是列方程解应用题，提高学生应用

方程分析解决问题的能力。活动中涉及了一元二次方程解法，列方程解应用题的

一般规律等。这些问题在现实世界中有许多原型，让学生理解两轮传播和两个时

间段的平均变化率可以用一元二次方程作为数学模型，从而使问题得到解决。

二、教学目标

1、知识目标：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是

刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。

.（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

2、能力目标：（1）经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量

关系，并能用一元二次方程对之进行描述。

（2）体验解决问题的多样性，发展实践应用意识。

3、情感目标：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价

值，提高学生学习数学的兴趣。

4、德育目标：了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

三、教学策略

在本课的学习中，应重视相关内容与实际的联系，加强对一元二次方程是解

决现实问题的一种数学模型的认识。分析和解决的关键是找出问题中的相关数量

之间的相等关系，并把这样的关系“翻译”为一元二次方程。在教学中借助现代

化教学媒体和网络资源，让学生通过观察、试验、操作、分析、猜想、发现其中

的等量关系，从而正确的理解问题情境，最后能够解决问题。

四、教学环境和资源准备

1、教学环境：多媒体网络教室

2、资源准备：多媒体课件。

五、教学过程

（一）总结回顾、引入新知：

教师活动：（1）通过前面的学习你知道解一元二次方程有那些方法吗？你有何体

会？

（2）列一元二次方程解应用题分几步呢？应注意那些？

学生活动：利用局域网聊天系统讨论交流、然后发言回答。

教师用教师机归纳板书。（如图）

复习回顾：

1.解一元二次方程有哪些方法？

配方法（直接开平方法）、公式法、因式分解法.

2.列一元一次方程解应用题的步骤？

①审题②设出未知数③找等量关系

④列方程⑤解方程⑥答.

（3）和一元一次方程、二元一次方程一样，一元二次方程也可以作为反

映某些实际问题中数量关系的数学模型，下面我们来看几个例子：

（二）合作探究、学习新知：

（1）教师机出示探究1内容

教师布置：问题1、本题中有那些数量关系？

问题2、第二轮传染时第一个还传染吗？

学生活动：利用局域网聊天系统分9个小组进行讨论。

每一小组请代表发言，教师听取回答、并随时口头予以点评。

最后明确：开始的一个人、第一轮的人数、第二轮的人数、总人数，

第二轮他还应传染。

问题3、怎样设未知数？你能找出一个相等关系吗？怎样列方程？

学生讨论后，教师明确，强调第一论后有x+1个人继续传染。然后学生在学生

机上完成解题过程：

教师在教师机上出示完整解答过程：

掇究1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有

外兀121人患了流感，每轮传染中平均一个人

传染了几个人？

解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有土1

人，患了流感.第二轮后共有1+x+x（x+l）人患了流感.

列方程得l+x+x（x+l）=121

x2+2x-120=0

解方程，得（不合题意，舍去）

X]=-I2x2=10

答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.

思考:按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？

121+121X10=1331

强调：格式、检验及学生机中出现的问题。

教师归纳：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解方程的步骤类似

即：审、设、找、歹U、解、答。这里要特别注意，在列一元二次方程

解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符

合实际问题的要求。

（2）巩固练习：教师机先出示巩固练习（如图）;

学生利用局域网讨论；

■某种鼐的星检出若干数目的支干，每个支

干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小

分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？

分析：设每个支干长出x个小分支，则主干有工

个，支干有上个，小分支有些

解：设每个支干张出x个小分支。

2

1+x+x=91

整理得：x2+x-90=0

解得:xi=9,x2=一10（舍）

答:设每个支干张出9个小分支.

教师机出示分析的内容；

学生合作完成解答过程；

教师机出示完整解答过程。

（3）教师机出示探究2内容

问题1、你知道何为年下降率吗？

学生讨论，发言

教师明确：（前一年成本一本年成本）♦前一年成本

问题2、本题有那些数量关系？

请学生回答，教师在题目中指出。

问题3、（5000-3000）+2是表示甲的年平均下降率吗？由这些数量关系

你有什莫新的体会？

学生利用局域网讨论，然后回答

教师作补充，最后明确：它表示年平均下降额不等于年平均下降率。

问题4、怎样求甲的年平均下降率呢？数量关系如何？怎样列方程呢?

学生分小组合作、交流、探究。

教师请各小组代表发言，并作必要地补充，之后要求学生合作完成解答过

程，最后教师机出示完整解答过程。

解:设甲叶药W成本的年平均下降率刑X,则一年后

甲林四具官本为5000(1-x)无，两年后甲叶药品段本

为5000(1-X)2无，假麴,寿痔

5000(1)2=3000

外方H,痔

光产0.225,无。1.775(不合题意,舍去)

答:甲种药品血本的年平均下降率的为22.5%.

“t一算:乙汁药易成本的年平均下降率是多少？

22.5%

比桂依种药具成本的年平均下降率(相同)

讨论思考：经过你的计算，你能得出什莫结论？下降额大的药品他的下降

率一定大吗？怎样全面的比较对象的变化状况呢？

学生利用局域网讨论、并发言

教师用教师机板书归纳：

M城计算,悻恨得出竹么络否7武*P**

矮大的♦品，虫豺就*千常率一定也矮支

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经过计算发现，变化额与变化率不同；成本

下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较

大；应对变化额与变化率两者综合分析才能全

面认识他的变化状况。

归纳：类似地这种增长率的问题在实际

生活普遍存在，有一定的模式

若平均增长（或降低）百分率为X,增长

（或降低）前的是a,增长（或降低）n次后

的量是b,则它们的数量关系可表示为

a(l±x)"=b

其中增长取+,降低取一

（4）巩固练习

教师出示习题：学生先独立思考，分小组讨论后在学生机上完成；电脑打出分数

后把所有学生的分数发送至教师机；教师对全部学生的分数归拢，了解学生对知

识的掌握情况，有的放矢。

学绘网8

i.某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量

为720吨，平均每月增长率是x,列方程（B）

A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720

C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=500

2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明

两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在

实验器材投资上的平均增长率是X,则可列方程

为2（1+1）+2（1+X）2=8.

（三）本课小节

教师活动：通过本课的学习，大家有什莫新的收获和体会？

你能用你的话说一下列一元二次方程解应用题的一般步骤和需要注意的问题

吗？

学生活动：学生总结发表个人意见。

教师关注：（1）学生对知识的归纳、总结、整理能力；

（2）学生对知识的横向联结能力、数学语言表达能力。

教师用教师机板书归纳；

1、平均增长（降低）率公式（两年）

a（1±x）2=b

2、注意（1）1与x的位置不要调换

（2）解这类问题列出的方程